Страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите значение выражения (10.101–10.102).

10.101 а) $6,144 : 12 + 1,64;$

б) $0,07 – 0,1001 : 1,43;$

в) $(62,1 – 61,44) : 1,2;$

г) $48 : (73,29 + 46,71).$

а) $6,144 : 12 + 1,64$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.
1) Вычислим частное: $6,144 : 12 = 0,512$.
2) Вычислим сумму: $0,512 + 1,64 = 2,152$.
Полное решение: $6,144 : 12 + 1,64 = 0,512 + 1,64 = 2,152$.
Ответ: $2,152$.

б) $0,07 - 0,1001 : 1,43$

Сначала выполняем деление, а затем вычитание.
1) Вычислим частное: $0,1001 : 1,43$. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 100, чтобы избавиться от дроби в делителе: $10,01 : 143 = 0,07$.
2) Вычислим разность: $0,07 - 0,07 = 0$.
Полное решение: $0,07 - 0,1001 : 1,43 = 0,07 - 0,07 = 0$.
Ответ: $0$.

в) $(62,1 - 61,44) : 1,2$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем деление.
1) Вычислим разность в скобках: $62,1 - 61,44 = 62,10 - 61,44 = 0,66$.
2) Вычислим частное: $0,66 : 1,2$. Умножим делимое и делитель на 10: $6,6 : 12 = 0,55$.
Полное решение: $(62,1 - 61,44) : 1,2 = 0,66 : 1,2 = 0,55$.
Ответ: $0,55$.

г) $48 : (73,29 + 46,71)$

Сначала выполняем действие в скобках, а затем деление.
1) Вычислим сумму в скобках: $73,29 + 46,71 = 120$.
2) Вычислим частное: $48 : 120$. Можно представить это как дробь $\frac{48}{120}$ и сократить ее. Разделим числитель и знаменатель на 24: $\frac{48 : 24}{120 : 24} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Полное решение: $48 : (73,29 + 46,71) = 48 : 120 = 0,4$.
Ответ: $0,4$.

10.102 а) $40.28 - 22.5 \div 12.5 + 1.7$;

б) $(4.8 - 0.42 \cdot 8.5) \div 0.5$;

в) $30 - 19.56 \div (4.2 + 3.95)$;

г) $(2.6 - 1.04) \div 0.24 \cdot 0.8$.

а) $40,28 - 22,5 : 12,5 + 1,7$
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются деление и умножение, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.
1. Выполним деление: $22,5 : 12,5$. Чтобы упростить деление, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы избавиться от дробей: $225 : 125$.
$225 : 125 = 1,8$
2. Теперь подставим результат в исходное выражение: $40,28 - 1,8 + 1,7$.
3. Выполним вычитание: $40,28 - 1,8 = 38,48$.
4. Выполним сложение: $38,48 + 1,7 = 40,18$.
Ответ: 40,18

б) $(4,8 - 0,42 \cdot 8,5) : 0,5$
В этом примере сначала выполняются действия в скобках, причем умножение имеет приоритет над вычитанием. Затем результат делится на 0,5.
1. Выполним умножение в скобках: $0,42 \cdot 8,5$.
$0,42 \cdot 8,5 = 3,57$
2. Теперь выполним вычитание в скобках: $4,8 - 3,57$.
$4,8 - 3,57 = 4,80 - 3,57 = 1,23$
3. Выполним деление: $1,23 : 0,5$. Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2.
$1,23 \cdot 2 = 2,46$
Ответ: 2,46

в) $30 - 19,56 : (4,2 + 3,95)$
Порядок действий: сначала операция в скобках, затем деление, и в конце — вычитание.
1. Выполним сложение в скобках: $4,2 + 3,95$.
$4,2 + 3,95 = 4,20 + 3,95 = 8,15$
2. Теперь выполним деление: $19,56 : 8,15$.
$19,56 : 8,15 = 1956 : 815 = 2,4$
3. Выполним вычитание: $30 - 2,4$.
$30 - 2,4 = 27,6$
Ответ: 27,6

г) $(2,6 - 1,04) : 0,24 \cdot 0,8$
Сначала выполняем действие в скобках. Затем деление и умножение выполняются последовательно слева направо.
1. Выполним вычитание в скобках: $2,6 - 1,04$.
$2,6 - 1,04 = 2,60 - 1,04 = 1,56$
2. Выполним деление: $1,56 : 0,24$.
$1,56 : 0,24 = 156 : 24 = 6,5$
3. Выполним умножение: $6,5 \cdot 0,8$.
$6,5 \cdot 0,8 = 5,2$
Ответ: 5,2

10.103 Чтобы сшить кухонные полотенца, хозяйка отрезала от куска полотна длиной 5,5 м несколько кусков по 0,65 м. У неё остался кусок длиной 0,95 м. Сколько полотенец сшила хозяйка?

Для того чтобы найти, сколько полотенец сшила хозяйка, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем общую длину полотна, которое ушло на пошив всех полотенец. Для этого из первоначальной длины куска вычтем оставшуюся часть:

$5,5 - 0,95 = 4,55$ м

2. Теперь разделим полученную длину на длину одного полотенца, чтобы узнать их количество:

$4,55 : 0,65$

Для удобства вычислений можно избавиться от дробей, умножив делимое и делитель на 100:

$455 : 65 = 7$

Таким образом, хозяйка сшила 7 полотенец.

Ответ: 7 полотенец.

10.104 РАССУЖДАЕМ

Известно, что $17 : 8 = 2,125$. Используя этот результат, Найдите частное: $1,7 : 0,8$; $0,17 : 8$; $17 : 0,08$.

Для решения задачи будем использовать данное равенство $17 : 8 = 2,125$ и правила деления десятичных дробей. Основная идея заключается в том, чтобы проанализировать, как изменение делимого и делителя влияет на частное.

1,7 : 0,8
Сравним это выражение с исходным $17 : 8$. Делимое $1,7$ в 10 раз меньше, чем $17$. Делитель $0,8$ также в 10 раз меньше, чем $8$. Если и делимое, и делитель уменьшить (или увеличить) в одинаковое количество раз, то частное не изменится.
Можно представить это в виде дроби: $1,7 : 0,8 = \frac{1,7}{0,8}$. Умножим числитель и знаменатель на 10: $\frac{1,7 \times 10}{0,8 \times 10} = \frac{17}{8}$.
Так как нам известно, что $17 : 8 = 2,125$, то и $1,7 : 0,8 = 2,125$.
Ответ: 2,125

0,17 : 8
Сравним это выражение с исходным $17 : 8$. Делимое $0,17$ в 100 раз меньше, чем $17$ ($0,17 = 17 : 100$). Делитель $8$ не изменился. Если делимое уменьшить в некоторое количество раз, а делитель оставить прежним, то частное уменьшится во столько же раз.
Следовательно, результат нужно уменьшить в 100 раз: $0,17 : 8 = (17 : 100) : 8 = (17 : 8) : 100 = 2,125 : 100 = 0,02125$.
Ответ: 0,02125

17 : 0,08
Сравним это выражение с исходным $17 : 8$. Делимое $17$ не изменилось. Делитель $0,08$ в 100 раз меньше, чем $8$ ($0,08 = 8 : 100$). Если делитель уменьшить в некоторое количество раз, а делимое оставить прежним, то частное, наоборот, увеличится во столько же раз.
Следовательно, результат нужно увеличить в 100 раз: $17 : 0,08 = 17 : (8 : 100) = (17 : 8) \times 100 = 2,125 \times 100 = 212,5$.
Ответ: 212,5

10.105 Для одинаковых подарков к детскому празднику взяли 4,2 кг шоколадных конфет, а карамели на 2,4 кг больше. Чему равна масса конфет в подар- ке, если в каждом из них 0,175 кг шоколадных конфет?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем количество одинаковых подарков

Для этого общую массу шоколадных конфет разделим на массу шоколадных конфет в одном подарке.

$4,2 \text{ кг} / 0,175 \text{ кг} = 24$ (подарка)

2. Найдем общую массу карамели

По условию, карамели было на 2,4 кг больше, чем шоколадных конфет.

$4,2 \text{ кг} + 2,4 \text{ кг} = 6,6$ (кг) - общая масса карамели.

3. Найдем массу карамели в одном подарке

Так как подарки одинаковые, разделим общую массу карамели на количество подарков.

$6,6 \text{ кг} / 24 = 0,275$ (кг) - масса карамели в одном подарке.

4. Найдем общую массу конфет в одном подарке

Сложим массу шоколадных конфет и массу карамели в одном подарке.

$0,175 \text{ кг} + 0,275 \text{ кг} = 0,45$ (кг)

Ответ: $0,45$ кг.

10.106 На покраску двух стен дома израсходовали 7,26 кг краски. Сколько килограммов краски было израсходовано на каждую стену, если площадь одной из них на 6 $\text{м}^2$ больше, чем площадь другой, а на каждый квадратный метр требуется 0,22 кг краски?

Для решения этой задачи выполним последовательность действий.

1. Найдем общую площадь двух окрашенных стен.

   Нам известно, что всего было израсходовано $7,26 \text{ кг}$ краски, а расход на один квадратный метр составляет $0,22 \text{ кг}$. Чтобы найти общую площадь, необходимо общее количество краски разделить на расход на $1 \text{ м}^2$:

   $7,26 \text{ кг} \div 0,22 \text{ кг/м}^2 = 33 \text{ м}^2$

   Таким образом, суммарная площадь двух стен равна $33 \text{ м}^2$.

2. Найдем площадь каждой стены.

   Пусть площадь меньшей стены равна $x \text{ м}^2$. Согласно условию, площадь большей стены на $6 \text{ м}^2$ больше, значит, ее площадь равна $(x + 6) \text{ м}^2$. Зная общую площадь, составим и решим уравнение:

   $x + (x + 6) = 33$

   $2x + 6 = 33$

   $2x = 33 - 6$

   $2x = 27$

   $x = 27 \div 2$

   $x = 13,5$

   Итак, площадь меньшей стены составляет $13,5 \text{ м}^2$.

   Теперь найдем площадь большей стены:

   $13,5 \text{ м}^2 + 6 \text{ м}^2 = 19,5 \text{ м}^2$

3. Найдем количество краски, израсходованной на каждую стену.

   Для этого умножим площадь каждой стены на расход краски ($0,22 \text{ кг/м}^2$).

   Количество краски для меньшей стены:

   $13,5 \text{ м}^2 \times 0,22 \text{ кг/м}^2 = 2,97 \text{ кг}$

   Количество краски для большей стены:

   $19,5 \text{ м}^2 \times 0,22 \text{ кг/м}^2 = 4,29 \text{ кг}$

4. Проверка.

   Сложим количество краски, потраченное на обе стены, чтобы убедиться, что результат совпадает с общим расходом:

   $2,97 \text{ кг} + 4,29 \text{ кг} = 7,26 \text{ кг}$

   Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: на одну стену было израсходовано $2,97 \text{ кг}$ краски, а на другую — $4,29 \text{ кг}$.

10.107 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что вы помогаете родителям делать ремонт в ванной комнате, которая имеет длину 3,5 м и ширину 2,5 м. Стены высотой 2,5 м требуется обложить плитками, исключая окно и дверь, которые занимают 0,1 площади стен. Сколько требуется плиток квадратной формы со стороной 25 см?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать площадь стен, подлежащую облицовке, и площадь одной плитки, а затем найти их соотношение.

1. Расчет периметра ванной комнаты

Ванная комната представляет собой прямоугольное помещение. Периметр ($P$) находится по формуле $P = 2 \times (длина + ширина)$.

$P = 2 \times (3,5 \text{ м} + 2,5 \text{ м}) = 2 \times 6 \text{ м} = 12 \text{ м}$

2. Расчет общей площади стен

Общая площадь стен ($S_{стен}$) вычисляется как произведение периметра на высоту ($h$).

$S_{стен} = P \times h = 12 \text{ м} \times 2,5 \text{ м} = 30 \text{ м}^2$

3. Расчет площади для облицовки плиткой

По условию, окно и дверь занимают 0,1 от общей площади стен. Значит, площадь, которую нужно обложить плиткой ($S_{облицовки}$), составляет $1 - 0,1 = 0,9$ от общей площади стен.

$S_{облицовки} = S_{стен} \times 0,9 = 30 \text{ м}^2 \times 0,9 = 27 \text{ м}^2$

4. Расчет площади одной плитки

Плитка имеет квадратную форму со стороной 25 см. Для удобства расчетов переведем сантиметры в метры: $25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$. Площадь одной плитки ($s_{плитки}$) равна квадрату ее стороны.

$s_{плитки} = (0,25 \text{ м})^2 = 0,0625 \text{ м}^2$

5. Расчет необходимого количества плиток

Чтобы найти общее количество плиток ($N$), необходимо разделить площадь для облицовки на площадь одной плитки.

$N = \frac{S_{облицовки}}{s_{плитки}} = \frac{27 \text{ м}^2}{0,0625 \text{ м}^2} = 432$

Ответ: 432 плитки.

10.108 Какие цифры можно подставить вместо звёздочки, чтобы полученное неравенство было верным:

а) $0,566 < 0,5*6$;

б) $2*,03 < 23,03$;

в) $0,*7 < 0,17$?

а) Чтобы неравенство $0,566 < 0,5*6$ было верным, нужно сравнить числа поразрядно, начиная слева.
Целые части (0) и десятые доли (5) у обоих чисел одинаковы. Следовательно, сравнивать нужно сотые доли.
В левом числе в разряде сотых стоит цифра 6, а в правом — *.
Если $* > 6$, то число справа будет больше, и неравенство будет верным. Подходят цифры 7, 8, 9.
- При $* = 7$: $0,566 < 0,576$ (верно).
- При $* = 8$: $0,566 < 0,586$ (верно).
- При $* = 9$: $0,566 < 0,596$ (верно).
Если $* = 6$, то числа будут равны до тысячных. Сравним тысячные: $6=6$. Значит, $0,566 = 0,566$, и неравенство $0,566 < 0,566$ неверно.
Если $* < 6$, то число справа будет меньше, и неравенство будет неверным. Например, при $* = 5$: $0,566 < 0,556$ (неверно).
Таким образом, подходят цифры 7, 8, 9.
Ответ: 7, 8, 9.

б) Чтобы неравенство $2*,03 < 23,03$ было верным, сравним сначала целые части чисел: $2*$ и $23$.
Неравенство будет верным, если целая часть левого числа будет меньше целой части правого, то есть $2* < 23$.
Сравнивая числа $2*$ и $23$, видим, что цифра в разряде десятков у них одинакова (2). Значит, нужно сравнить цифры в разряде единиц: * и 3.
Неравенство $2* < 23$ будет верным, если $* < 3$. Подходят цифры 0, 1, 2.
- При $* = 0$: $20,03 < 23,03$ (верно).
- При $* = 1$: $21,03 < 23,03$ (верно).
- При $* = 2$: $22,03 < 23,03$ (верно).
Если $* = 3$, то целые части равны, дробные части тоже ($03=03$), поэтому $23,03 = 23,03$. Неравенство $23,03 < 23,03$ неверно.
Если $* > 3$, то целая часть левого числа будет больше, и неравенство будет неверным. Например, при $* = 4$: $24,03 < 23,03$ (неверно).
Таким образом, подходят цифры 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

в) Чтобы неравенство $0,*7 < 0,17$ было верным, сравним числа поразрядно.
Целые части у них равны (0). Сравним цифры в разряде десятых.
В левом числе в разряде десятых стоит *, а в правом — 1.
Неравенство будет верным, если цифра в разряде десятых левого числа будет меньше цифры в разряде десятых правого, то есть $* < 1$.
Единственная цифра, которая удовлетворяет этому условию, — это 0.
- При $* = 0$: $0,07 < 0,17$ (верно).
Если $* = 1$, то нужно будет сравнивать сотые, а они равны (7). Значит, $0,17 = 0,17$, и неравенство $0,17 < 0,17$ неверно.
Если $* > 1$, то левое число будет больше правого, и неравенство будет неверным. Например, при $* = 2$: $0,27 < 0,17$ (неверно).
Таким образом, подходит только цифра 0.
Ответ: 0.

10.109 Вычислите устно и результат проверьте сложением:

a) $0,13 - 0,06$;

б) $0,15 - 0,09$;

в) $0,75 - 0,32$;

г) $0,48 - 0,45$;

д) $2 - 0,4$;

е) $3 - 0,7$;

ж) $1,5 - 0,8$;

з) $2,1 - 0,3$.

а) Выполним вычитание десятичных дробей:

$0,13 - 0,06 = 0,07$

Проверим результат сложением. Для этого к разности прибавим вычитаемое. Сумма должна быть равна уменьшаемому.

$0,07 + 0,06 = 0,13$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 0,07

б) Выполним вычитание десятичных дробей:

$0,15 - 0,09 = 0,06$

Проверим результат сложением:

$0,06 + 0,09 = 0,15$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 0,06

в) Выполним вычитание десятичных дробей:

$0,75 - 0,32 = 0,43$

Проверим результат сложением:

$0,43 + 0,32 = 0,75$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 0,43

г) Выполним вычитание десятичных дробей:

$0,48 - 0,45 = 0,03$

Проверим результат сложением:

$0,03 + 0,45 = 0,48$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 0,03

д) Выполним вычитание, представив целое число 2 как десятичную дробь 2,0:

$2 - 0,4 = 2,0 - 0,4 = 1,6$

Проверим результат сложением:

$1,6 + 0,4 = 2,0 = 2$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 1,6

е) Выполним вычитание, представив целое число 3 как десятичную дробь 3,0:

$3 - 0,7 = 3,0 - 0,7 = 2,3$

Проверим результат сложением:

$2,3 + 0,7 = 3,0 = 3$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 2,3

ж) Выполним вычитание десятичных дробей:

$1,5 - 0,8 = 0,7$

Проверим результат сложением:

$0,7 + 0,8 = 1,5$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 0,7

з) Выполним вычитание десятичных дробей:

$2,1 - 0,3 = 1,8$

Проверим результат сложением:

$1,8 + 0,3 = 2,1$

Проверка показала верный результат.

Ответ: 1,8

10.110 Какие натуральные числа заключены между данными десятичными дробями? Запишите ответ в виде цепочки неравенств:

а) 2,75 и 4,05;

б) 1,08 и 5,06;

в) 12,001 и 16,9.

Образец. $11,3 < 12 < 13 < 14 < 15 < 16 < 16,5$

а) Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые больше 2,75 и меньше 4,05.
Первое натуральное число, которое больше 2,75, это 3.
Следующее натуральное число — 4. Оно также меньше 4,05.
Следующее натуральное число — 5. Оно уже больше 4,05, поэтому не подходит.
Таким образом, между числами 2,75 и 4,05 заключены натуральные числа 3 и 4.
Запишем ответ в виде цепочки неравенств, как в образце.
Ответ: $2,75 < 3 < 4 < 4,05$

б) Найдем все натуральные числа, которые больше 1,08 и меньше 5,06.
Первое натуральное число, большее 1,08, это 2.
Далее идут натуральные числа 3, 4, 5. Все они меньше 5,06.
Следующее натуральное число — 6, но оно больше 5,06, поэтому не подходит.
Значит, искомые натуральные числа — это 2, 3, 4 и 5.
Запишем ответ в виде цепочки неравенств.
Ответ: $1,08 < 2 < 3 < 4 < 5 < 5,06$

в) Найдем все натуральные числа, которые больше 12,001 и меньше 16,9.
Первое натуральное число, большее 12,001, это 13.
Далее идут натуральные числа 14, 15, 16. Все они меньше 16,9.
Следующее натуральное число — 17. Оно больше 16,9, поэтому не входит в искомый диапазон.
Следовательно, между числами 12,001 и 16,9 находятся натуральные числа 13, 14, 15 и 16.
Запишем ответ в виде цепочки неравенств.
Ответ: $12,001 < 13 < 14 < 15 < 16 < 16,9$