Страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.3 У многогранника 4 вершины. Найдите такой многогранник на рисунке 11.2. Сколько граней сходится в каждой вершине этого многогранника? Сколько всего граней? Какую форму они имеют? Сколько у этого многогранника рёбер и сколько рёбер выходит из каждой вершины?

Многогранник, у которого 4 вершины, — это тетраэдр (или треугольная пирамида). Поскольку в задании не приводится сам рисунок 11.2, мы будем исходить из свойств этого классического многогранника.

Сколько граней сходится в каждой вершине этого многогранника?
В каждой вершине тетраэдра пересекаются три плоскости, образующие три грани. Таким образом, в каждой вершине сходится по 3 грани.
Ответ: 3.

Сколько всего граней?
Тетраэдр имеет 4 грани. Одна из них является основанием, а три другие — боковыми гранями.
Ответ: 4.

Какую форму они имеют?
Все грани тетраэдра (как основание, так и боковые) имеют форму треугольника.
Ответ: Треугольную.

Сколько у этого многогранника рёбер и сколько рёбер выходит из каждой вершины?
У тетраэдра 6 рёбер (3 ребра в основании и 3 боковых ребра). Каждая вершина соединена рёбрами с тремя другими вершинами, поэтому из каждой вершины выходит по 3 ребра.
Ответ: Всего 6 рёбер; из каждой вершины выходит по 3 ребра.

Для проверки можно использовать теорему Эйлера о соотношении числа вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: $В - Р + Г = 2$.
Подставим наши значения: $4 - 6 + 4 = 2$.
Равенство $2 = 2$ выполняется, значит, все характеристики найдены верно.

АНАЛИЗИРУЕМ (11.4–11.5)

11.4 a) Различаются ли рисунки 1 и 2 (рис. 11.4)? Какая фигура сверху: треугольник или квадрат? Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю фигуру.

б) Различаются ли рисунки 1 и 2 (рис. 11.5)? Сверните лист бумаги пополам и расположите его перед собой так, как показано на рисунках.

Рис. 11.4

Рис. 11.5

Рис. 11.6

а) Рисунки ① и ② на рис. 11.4 различаются тем, как показано взаимное расположение фигур. На обоих рисунках изображены одинаковые квадрат и треугольник, но показано, какая из фигур находится сверху (ближе к зрителю).

На рисунке ① все линии сплошные, но обычно в таких случаях фигура, чьи контуры не прерываются, считается верхней. Здесь это треугольник. Его сторона совпадает со стороной квадрата, и он полностью виден.

На рисунке ② часть треугольника, которая перекрывается квадратом, показана пунктирной линией. Это однозначно указывает на то, что квадрат находится сверху, а треугольник — под ним.

Таким образом, на рисунке ① сверху находится треугольник, а на рисунке ② — квадрат. При переносе рисунков в тетрадь нужно раскрасить треугольник на первом рисунке и квадрат — на втором.

Ответ: Да, рисунки различаются. На рисунке ① сверху треугольник, а на рисунке ② — квадрат.

б) Рисунки ① и ② на рис. 11.5, по сути, не различаются. Оба рисунка изображают один и тот же объект — сложенный пополам лист бумаги, поставленный на стол. Разница между изображениями заключается только в ориентации этого объекта в пространстве (или в точке обзора).

Если выполнить указанное действие: свернуть лист бумаги пополам и поставить его перед собой, — можно легко убедиться, что это один и тот же предмет. Рисунок ② — это просто повернутый объект с рисунка ①. Таким образом, рисунки изображают идентичный объект в разном положении.

Ответ: Нет, рисунки не различаются. Они изображают один и тот же объект (сложенный пополам лист бумаги), но в разном положении.

11.5 Сложите полоску бумаги гармошкой и расположите её на столе так, как показано на рисунке 11.6, а–г.

11.5

Данный текст является инструкцией к выполнению практического задания, а не задачей, требующей решения. В нем описан подготовительный этап, который заключается в изготовлении бумажной "гармошки" и ее размещении на столе в соответствии с рисунком 11.6, а-г. Поскольку сам рисунок и последующие вопросы к заданию отсутствуют, можно лишь подробно описать шаги по выполнению данной инструкции.

Порядок действий для складывания полоски бумаги "гармошкой":

1. Подготовка: Возьмите прямоугольную полоску бумаги. Для удобства можно использовать полоску длиной около 30 см и шириной 3-4 см.
2. Первый сгиб: Загните край полоски на небольшую ширину, например, на 2 см. Это будет шаг вашей гармошки. Тщательно прогладьте сгиб.
3. Последующие сгибы: Переверните полоску и сделайте следующий сгиб на такое же расстояние (2 см), но в противоположную сторону. Продолжайте делать параллельные сгибы через равные промежутки, постоянно чередуя направление: один сгиб "горой" (от себя), следующий "долиной" (на себя).
4. Результат: Когда вся полоска будет сложена, у вас получится зигзагообразная структура.

Размещение на столе:

В задании указано, что "гармошку" нужно расположить на столе так, "как показано на рисунке 11.6, а-г". Без этого рисунка невозможно выполнить данный шаг. Рисунок, вероятно, иллюстрирует конкретную конфигурацию (или несколько конфигураций), на основе которой ставятся дальнейшие вопросы. Например, гармошка могла быть поставлена на ребра, образуя арки, или растянута на определенную длину. Именно эта конфигурация является ключевым условием для дальнейшего анализа (например, расчета устойчивости, сил упругости, площади и т.д.).

Ответ: Задание является инструкцией к практической работе. Для его полного выполнения необходимо иметь рисунок 11.6, а-г, который в условии отсутствует. Выполнение инструкции заключается в складывании бумажной полоски в виде "гармошки" (последовательные параллельные сгибы в противоположных направлениях) и последующем ее размещении на столе согласно недостающему рисунку.

11.6 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ На рисунке 11.7 изображён многогранник.

1) Назовите его невидимые рёбра. Назовите грани, у которых: а) все рёбра видимые; б) есть и видимые, и невидимые рёбра; в) все рёбра невидимые. Сделайте вывод, в каких случаях грань будет видимой, а в каких нет.

2) Сколько рёбер сходится в вершине A? Какие из них видимые, а какие — невидимые? Назовите вершины, в которых сходятся: а) и видимые, и невидимые рёбра; б) только видимые рёбра; в) только невидимые рёбра. Сделайте вывод, в каких случаях вершина видима, а в каких нет.

Рис. 11.7

1) Невидимыми рёбрами многогранника являются те, что изображены штриховыми линиями. На данном рисунке это рёбра AE, ED, DC, TE и TD.

Ответ: AE, ED, DC, TE, TD.

а) все рёбра видимые

Грань считается видимой, если все рёбра, её ограничивающие, являются видимыми (изображены сплошными линиями). Такими гранями являются боковые грани TAB и TBC.

Ответ: TAB, TBC.

б) есть и видимые, и невидимые рёбра

Такие грани частично видны или находятся на границе видимой и невидимой частей. К ним относятся:

• Грань основания ABCDE: рёбра AB и BC видимые, а рёбра CD, DE и EA — невидимые.
• Боковая грань TCD: ребро TC видимое, а рёбра CD и TD — невидимые.
• Боковая грань TEA: ребро TA видимое, а рёбра TE и EA — невидимые.

Ответ: ABCDE, TCD, TEA.

в) все рёбра невидимые

Это грань, полностью скрытая от наблюдателя. Все её рёбра изображены штриховыми линиями. В данном многограннике это боковая грань TDE.

Ответ: TDE.

Вывод: грань является видимой, если все её рёбра видимы. Если хотя бы одно ребро грани является невидимым, то грань считается невидимой.

2) В вершине А сходятся три ребра: AB, AE и AT. Из них рёбра AB и AT изображены сплошными линиями (видимые), а ребро AE — штриховой линией (невидимое).

Ответ: В вершине A сходятся 3 ребра; видимые — AB и AT, невидимое — AE.

а) и видимые, и невидимые рёбра

Такие вершины лежат на границе видимой и невидимой частей многогранника. Это вершины A, C и T.

• Вершина A: видимые рёбра AB, AT; невидимое ребро AE.
• Вершина C: видимые рёбра BC, TC; невидимое ребро CD.
• Вершина T: видимые рёбра TA, TB, TC; невидимые рёбра TD, TE.

Ответ: A, C, T.

б) только видимые рёбра

Это вершина, все рёбра которой видимы. Такой вершиной является B (рёбра AB, BC, TB).

Ответ: B.

в) только невидимые рёбра

Это вершины, которые полностью скрыты от наблюдателя. Все рёбра, сходящиеся в них, невидимы. Такими вершинами являются D (рёбра CD, DE, TD) и E (рёбра DE, EA, TE).

Ответ: D, E.

Вывод: вершина является видимой, если из неё исходит хотя бы одно видимое ребро. Если все рёбра, сходящиеся в вершине, являются невидимыми, то и сама вершина считается невидимой.