Страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.7 Ищем способ копирования Перерисуйте в тетрадь многогранник (рис. 11.8, а, б). Закрасьте его видимые грани, используя для каждой грани свой цвет. Найдите такой многогранник на рисунке 11.2.

а) б) Рис. 11.8

а) На рисунке представлено изображение невыпуклого многогранника. Сплошные линии на рисунке являются видимыми ребрами, которые разделяют видимую часть поверхности многогранника на отдельные грани. В данном ракурсе у многогранника видны четыре грани, которые и следует закрасить разными цветами:

• Верхняя грань, имеющая форму треугольника.
• Левая боковая грань, имеющая форму четырехугольника.
• Правая боковая грань, имеющая форму четырехугольника.
• Нижняя передняя грань, имеющая форму треугольника.

Задание "Найдите такой многогранник на рисунке 11.2" выполнить невозможно, так как рисунок 11.2 не представлен.

Ответ: у многогранника на рисунке а) 4 видимые грани.

б) На рисунке изображена треугольная пирамида (или тетраэдр). Сплошные линии показывают видимые ребра, а штриховые — невидимые. С данного ракурса видны две боковые грани многогранника:

• Передняя левая грань, имеющая форму треугольника.
• Передняя правая грань, имеющая форму треугольника.

Именно эти две грани необходимо закрасить двумя разными цветами.

Задание "Найдите такой многогранник на рисунке 11.2" выполнить невозможно, так как рисунок 11.2 не представлен.

Ответ: у многогранника на рисунке б) 2 видимые грани.

11.8 Ищем способ подсчёта

Сколько нужно кубиков, чтобы сложить многогранник, изображённый на рисунке 11.9? Составьте числовое выражение.

$5 \times 5 + 3 \times 3 + 1 \times 1$

Рис. 11.9

Чтобы найти общее количество кубиков, из которых состоит многогранник, можно посчитать количество кубиков в каждом горизонтальном слое и затем сложить полученные значения. Фигура состоит из трёх слоёв.

1. Нижний слой представляет собой квадратное основание со стороной 5 кубиков. Следовательно, количество кубиков в этом слое составляет:
$5 \times 5 = 25$

2. Средний слой также является квадратом, но со стороной 3 кубика. Количество кубиков в среднем слое равно:
$3 \times 3 = 9$

3. Верхний слой состоит из одного кубика:
$1$

Чтобы найти общее количество кубиков, необходимо сложить их количество во всех слоях. Таким образом, мы можем составить числовое выражение:

$5 \times 5 + 3 \times 3 + 1$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$25 + 9 + 1 = 35$

Ответ: чтобы сложить многогранник, нужно 35 кубиков; числовое выражение для подсчёта: $5 \times 5 + 3 \times 3 + 1$.

11.9 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ От куба отрезали угол (рис. 11.10).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А вершин?

2) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

3) Начертите пятиугольную грань, если известно, что ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

1) Исходный куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер. Когда от куба отрезают угол, плоскость среза образует одну новую грань. Таким образом, общее количество граней увеличивается на 1 и становится равным $6 + 1 = 7$.
Формы граней получившегося многогранника:
- 3 грани, которые не примыкали к срезанному углу, остаются квадратами.
- 3 грани, которые сходились в срезанной вершине, из квадратов превращаются в пятиугольники.
- 1 новая грань, образовавшаяся на месте среза, является треугольником.
При срезании угла одна вершина куба удаляется, но на трёх рёбрах, которые в ней сходились, появляются 3 новые вершины. Общее число вершин становится $8 - 1 + 3 = 10$.
Срез также добавляет 3 новых ребра (стороны треугольной грани). Общее число рёбер становится $12 + 3 = 15$.
На типичном изображении куба в аксонометрии, где видна передняя-верхняя-правая часть, не видны 3 грани: задняя, левая и нижняя. Из 10 вершин нового многогранника невидимой остается одна (та, что соответствует заднему-нижнему-левому углу исходного куба).
Ответ: У получившегося многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 1 вершину.

2) При отрезании одного угла от многогранника количество его граней увеличивается на одну. Так как после первого среза у многогранника стало 7 граней, то после отрезания ещё одного угла количество граней снова увеличится на одну.
$7 + 1 = 8$ граней.
Ответ: У многогранника будет 8 граней.

3) Пятиугольная грань — это бывшая квадратная грань куба, у которой срезали один из углов.
По условию, ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер. Это значит, что от одной из вершин квадрата (бывшей грани куба) по двум смежным сторонам отсекаются отрезки длиной $4 / 2 = 2$ см.
Полученный пятиугольник имеет следующие характеристики:
- Две стороны равны исходной стороне квадрата: 4 см.
- Две другие стороны равны половинам сторон квадрата: 2 см.
- Пятая сторона соединяет точки разреза. Её длину можно найти по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами по 2 см: $c = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см (приблизительно 2,83 см).
- Три угла этого пятиугольника прямые ($90^\circ$), а два других угла, образованных срезом, равны $135^\circ$ каждый.
Чтобы начертить такую грань:
1. Начертите квадрат со стороной 4 см.
2. От одной из вершин отмерьте по 2 см вдоль каждой из двух выходящих из неё сторон. Отметьте полученные точки.
3. Соедините эти точки отрезком.
4. Фигура, ограниченная этим отрезком и оставшимися частями сторон квадрата, является искомым пятиугольником.
Ответ: Чтобы начертить пятиугольную грань, нужно взять квадрат со стороной 4 см, на двух смежных сторонах отметить их середины и соединить их отрезком, отсекая угол. В результате получится пятиугольник со сторонами 4 см, 4 см, 2 см, 2 см и $2\sqrt{2}$ см.

11.10 Перерисуйте многогранники, изображённые на рисунке 11.8, так, чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые — видимыми.

Задача заключается в том, чтобы перерисовать многогранники, поменяв местами видимые и невидимые рёбра. На чертежах видимые рёбра изображаются сплошными линиями, а невидимые — пунктирными. Следовательно, необходимо все сплошные линии на исходном рисунке заменить пунктирными, а все пунктирные — сплошными. Такое преобразование равносильно изменению точки обзора на противоположную (например, вместо вида спереди-сверху-справа мы получаем вид сзади-снизу-слева).

Поскольку сам рисунок 11.8 в вопросе отсутствует, решение будет продемонстрировано на примере трёх распространённых многогранников: куба, треугольной пирамиды и шестиугольной призмы.

а) Куб

Сначала рассмотрим стандартное изображение куба с невидимыми рёбрами, показанными пунктирной линией.

Исходное изображение:

Для получения требуемого изображения меняем тип линий: сплошные на пунктирные и наоборот.

Ответ:

б) Треугольная пирамида

Рассмотрим треугольную пирамиду, у которой два ребра основания невидимы при взгляде спереди.

Исходное изображение:

После замены типов линий пирамида выглядит так, как будто мы смотрим на неё сзади, и теперь передние рёбра стали невидимыми.

Ответ:

в) Шестиугольная призма

Рассмотрим правильную шестиугольную призму. При виде сверху и спереди-справа часть рёбер основания и боковых рёбер невидима.

Исходное изображение:

Перерисовав призму с заменой типов линий, мы получаем изображение, соответствующее взгляду снизу и сзади-слева.

Ответ:

11.11 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Как пройти по всем рёбрам многогранника (рис. 11.11), проходя каждое ребро только один раз? Выпишите последовательность вершин.

Подсказка. Воспользуйтесь моделью многогранника.

Рис. 11.10 Рис. 11.11 Рис. 11.12

Как пройти по всем рёбрам многогранника (рис. 11.11), проходя каждое ребро только один раз?

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться понятием эйлерова пути из теории графов. Эйлеров путь — это маршрут, который проходит по каждому ребру графа ровно один раз. Такой путь существует, если граф связный и содержит не более двух вершин с нечётной степенью (степень вершины — это количество рёбер, которые в ней сходятся).

Представим многогранник на рисунке 11.11 в виде графа. Он имеет 5 вершин (A, B, C, D, E) и 9 рёбер. Вычислим степень каждой вершины:

• Степень вершины A: $deg(A) = 3$
• Степень вершины B: $deg(B) = 4$
• Степень вершины C: $deg(C) = 3$
• Степень вершины D: $deg(D) = 4$
• Степень вершины E: $deg(E) = 4$

В данном графе две вершины, A и C, имеют нечётную степень (3), а остальные три — чётную (4). Так как число вершин с нечётной степенью равно двум, эйлеров путь существует. Он должен начинаться в одной из вершин нечётной степени (A или C) и заканчиваться в другой.

Выпишите последовательность вершин.

Одна из возможных последовательностей вершин, описывающая такой путь, начинается в вершине A и заканчивается в вершине C. Эта последовательность выглядит следующим образом:

A → B → C → D → A → E → B → D → E → C

Проходя по вершинам в указанном порядке, мы последовательно пройдём по рёбрам AB, BC, CD, DA, AE, EB, BD, DE, EC, не повторив ни одно из них. Существуют и другие правильные последовательности.

Ответ: Одна из возможных последовательностей вершин: A, B, C, D, A, E, B, D, E, C.