Номер 11.9, страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.1. Геометрические тела и их изображение. Глава 11. Многогранники - номер 11.9, страница 250.

11.9 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ От куба отрезали угол (рис. 11.10).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А вершин?

2) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

3) Начертите пятиугольную грань, если известно, что ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

1) Исходный куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер. Когда от куба отрезают угол, плоскость среза образует одну новую грань. Таким образом, общее количество граней увеличивается на 1 и становится равным $6 + 1 = 7$.
Формы граней получившегося многогранника:
- 3 грани, которые не примыкали к срезанному углу, остаются квадратами.
- 3 грани, которые сходились в срезанной вершине, из квадратов превращаются в пятиугольники.
- 1 новая грань, образовавшаяся на месте среза, является треугольником.
При срезании угла одна вершина куба удаляется, но на трёх рёбрах, которые в ней сходились, появляются 3 новые вершины. Общее число вершин становится $8 - 1 + 3 = 10$.
Срез также добавляет 3 новых ребра (стороны треугольной грани). Общее число рёбер становится $12 + 3 = 15$.
На типичном изображении куба в аксонометрии, где видна передняя-верхняя-правая часть, не видны 3 грани: задняя, левая и нижняя. Из 10 вершин нового многогранника невидимой остается одна (та, что соответствует заднему-нижнему-левому углу исходного куба).
Ответ: У получившегося многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 1 вершину.

2) При отрезании одного угла от многогранника количество его граней увеличивается на одну. Так как после первого среза у многогранника стало 7 граней, то после отрезания ещё одного угла количество граней снова увеличится на одну.
$7 + 1 = 8$ граней.
Ответ: У многогранника будет 8 граней.

3) Пятиугольная грань — это бывшая квадратная грань куба, у которой срезали один из углов.
По условию, ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер. Это значит, что от одной из вершин квадрата (бывшей грани куба) по двум смежным сторонам отсекаются отрезки длиной $4 / 2 = 2$ см.
Полученный пятиугольник имеет следующие характеристики:
- Две стороны равны исходной стороне квадрата: 4 см.
- Две другие стороны равны половинам сторон квадрата: 2 см.
- Пятая сторона соединяет точки разреза. Её длину можно найти по теореме Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами по 2 см: $c = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см (приблизительно 2,83 см).
- Три угла этого пятиугольника прямые ($90^\circ$), а два других угла, образованных срезом, равны $135^\circ$ каждый.
Чтобы начертить такую грань:
1. Начертите квадрат со стороной 4 см.
2. От одной из вершин отмерьте по 2 см вдоль каждой из двух выходящих из неё сторон. Отметьте полученные точки.
3. Соедините эти точки отрезком.
4. Фигура, ограниченная этим отрезком и оставшимися частями сторон квадрата, является искомым пятиугольником.
Ответ: Чтобы начертить пятиугольную грань, нужно взять квадрат со стороной 4 см, на двух смежных сторонах отметить их середины и соединить их отрезком, отсекая угол. В результате получится пятиугольник со сторонами 4 см, 4 см, 2 см, 2 см и $2\sqrt{2}$ см.