Номер 11.11, страница 250 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.1. Геометрические тела и их изображение. Глава 11. Многогранники - номер 11.11, страница 250.

11.11 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Как пройти по всем рёбрам многогранника (рис. 11.11), проходя каждое ребро только один раз? Выпишите последовательность вершин.

Подсказка. Воспользуйтесь моделью многогранника.

Рис. 11.10 Рис. 11.11 Рис. 11.12

Как пройти по всем рёбрам многогранника (рис. 11.11), проходя каждое ребро только один раз?

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться понятием эйлерова пути из теории графов. Эйлеров путь — это маршрут, который проходит по каждому ребру графа ровно один раз. Такой путь существует, если граф связный и содержит не более двух вершин с нечётной степенью (степень вершины — это количество рёбер, которые в ней сходятся).

Представим многогранник на рисунке 11.11 в виде графа. Он имеет 5 вершин (A, B, C, D, E) и 9 рёбер. Вычислим степень каждой вершины:

• Степень вершины A: $deg(A) = 3$
• Степень вершины B: $deg(B) = 4$
• Степень вершины C: $deg(C) = 3$
• Степень вершины D: $deg(D) = 4$
• Степень вершины E: $deg(E) = 4$

В данном графе две вершины, A и C, имеют нечётную степень (3), а остальные три — чётную (4). Так как число вершин с нечётной степенью равно двум, эйлеров путь существует. Он должен начинаться в одной из вершин нечётной степени (A или C) и заканчиваться в другой.

Выпишите последовательность вершин.

Одна из возможных последовательностей вершин, описывающая такой путь, начинается в вершине A и заканчивается в вершине C. Эта последовательность выглядит следующим образом:

A → B → C → D → A → E → B → D → E → C

Проходя по вершинам в указанном порядке, мы последовательно пройдём по рёбрам AB, BC, CD, DA, AE, EB, BD, DE, EC, не повторив ни одно из них. Существуют и другие правильные последовательности.

Ответ: Одна из возможных последовательностей вершин: A, B, C, D, A, E, B, D, E, C.