Номер 11.12, страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.1. Геометрические тела и их изображение. Упражнения - номер 11.12, страница 251.

Условие.

11.12 МОДЕЛИРУЕМ

Взяли три равных проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника (рис. 11.12). Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их. Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника? Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Каркасная модель многогранника, полученная путем спаивания трех равных проволочных квадратов в вершинах, представляет собой правильный октаэдр.

Правильный октаэдр — это многогранник, имеющий 8 граней (треугольники), 12 ребер и 6 вершин. В данном случае каркасная модель состоит только из ребер и вершин. Общее количество ребер у трех отдельных квадратов равно $3 \times 4 = 12$, что в точности совпадает с количеством ребер октаэдра. Это означает, что каждое ребро одного из квадратов становится одним ребром октаэдра.

Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их.

Поскольку изображение фигуры отсутствует, мы можем описать эти квадраты, используя обозначения вершин октаэдра. Представим октаэдр в системе координат с центром в начале. Его 6 вершин будут расположены на осях на равном расстоянии от центра.

Пусть вершины октаэдра имеют следующие координаты:
$V_1 = (a, 0, 0)$, $V_2 = (-a, 0, 0)$ — на оси Ox
$V_3 = (0, a, 0)$, $V_4 = (0, -a, 0)$ — на оси Oy
$V_5 = (0, 0, a)$, $V_6 = (0, 0, -a)$ — на оси Oz
где $a$ — положительное число.

Тогда три проволочных квадрата представляют собой три взаимно перпендикулярных сечения октаэдра, проходящих через его центр. Эти квадраты можно назвать по их вершинам:

• Первый квадрат: $V_1V_3V_2V_4$ (лежит в плоскости $z=0$)
• Второй квадрат: $V_1V_5V_2V_6$ (лежит в плоскости $y=0$)
• Третий квадрат: $V_3V_5V_4V_6$ (лежит в плоскости $x=0$)

Каждый из этих четырехугольников является квадратом, так как все его стороны являются ребрами октаэдра (и имеют равную длину $\sqrt{(a-0)^2+(0-a)^2+(0-0)^2} = a\sqrt{2}$), а его диагонали равны ($2a$).

Ответ: Три квадрата представляют собой три взаимно перпендикулярных центральных сечения октаэдра: $V_1V_3V_2V_4$, $V_1V_5V_2V_6$ и $V_3V_5V_4V_6$.

Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника?

Чтобы определить, сколько квадратов соединяется в каждой вершине, проанализируем, скольким из трех названных квадратов принадлежит каждая вершина октаэдра.

• Вершина $V_1(a, 0, 0)$ является вершиной квадрата $V_1V_3V_2V_4$ и квадрата $V_1V_5V_2V_6$. Таким образом, в этой вершине соединяются два квадрата.
• Вершина $V_3(0, a, 0)$ является вершиной квадрата $V_1V_3V_2V_4$ и квадрата $V_3V_5V_4V_6$. В этой вершине также соединяются два квадрата.

В силу симметрии правильного октаэдра, все его вершины равноправны. Следовательно, в каждой из 6 вершин многогранника соединяются по два квадрата.

Это также можно проверить с помощью простого подсчета: у трех квадратов всего $3 \times 4 = 12$ вершин. У октаэдра их 6. Чтобы получить 6 вершин из 12, нужно соединить их попарно ($12 / 6 = 2$).

Ответ: В каждой вершине многогранника соединяли по 2 квадрата.

Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник.

Для сборки модели октаэдра из трех проволочных квадратов необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Возьмите два квадрата. Мысленно пронумеруйте вершины каждого от 1 до 4 по часовой стрелке.
2. Совместите и спаяйте вершину 1 первого квадрата с вершиной 1 второго квадрата.
3. Спаяйте противолежащую вершину 3 первого квадрата с противолежащей вершиной 3 второго квадрата. В результате два квадрата окажутся соединенными в двух противоположных вершинах и будут расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях.
4. Возьмите третий квадрат. Его вершины также мысленно пронумеруйте от 1 до 4.
5. Вершину 1 третьего квадрата спаяйте с вершиной 2 первого квадрата.
6. Вершину 3 третьего квадрата спаяйте с вершиной 4 первого квадрата.
7. Вершину 2 третьего квадрата спаяйте с вершиной 2 второго квадрата.
8. Вершину 4 третьего квадрата спаяйте с вершиной 4 второго квадрата.

После выполнения всех соединений 12 вершин трех квадратов будут объединены попарно в 6 вершин итоговой фигуры. Каркас, который у вас получится, будет моделью правильного октаэдра.

Ответ: При правильной сборке из трех проволочных квадратов получается каркасная модель правильного октаэдра, у которого в каждой из 6 вершин сходятся ребра от двух разных квадратов.