Страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.29 Прямоугольный лист цветной бумаги имеет размеры 12 см и 8 см. Достаточно ли этого листа, чтобы оклеить параллелепипед длиной 3 см, шириной 4 см и высотой 5 см, если оклеивать можно кусочками бумаги любой формы?

Чтобы определить, хватит ли листа бумаги для оклейки параллелепипеда, нужно сравнить их площади. Так как по условию задачи бумагу можно резать на куски любой формы, то достаточно, чтобы площадь листа бумаги была не меньше площади полной поверхности параллелепипеда.

1. Найдем площадь листа бумаги.

Лист бумаги имеет форму прямоугольника с размерами 12 см и 8 см. Его площадь $S_{бумаги}$ равна произведению его сторон:

$S_{бумаги} = 12 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь полной поверхности параллелепипеда.

Параллелепипед имеет длину $a = 3$ см, ширину $b = 4$ см и высоту $c = 5$ см. Площадь полной поверхности $S_{парал.}$ — это сумма площадей всех его шести граней. Формула для расчета:

$S_{парал.} = 2 \cdot (ab + bc + ac)$

Подставим значения в формулу:

$S_{парал.} = 2 \cdot (3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2 \cdot (12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 \text{ см}^2$.

3. Сравним площади.

Площадь листа бумаги составляет $96 \text{ см}^2$, а площадь поверхности параллелепипеда — $94 \text{ см}^2$.

$96 \text{ см}^2 > 94 \text{ см}^2$

Поскольку площадь листа бумаги больше площади поверхности параллелепипеда, этого листа хватит для оклейки.

Ответ: да, достаточно.

11.30 Ищем способ подсчёта

Куб с ребром 3 дм окрасили зелёной краской, а затем распилили на кубики с ребром 1 дм (рис. 11.25).

1) Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань; две окрашенные грани; три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики?

2) Все кубики выложили в один ряд. Какова длина этого ряда?

Рис. 11.25

1) Для начала найдем общее количество маленьких кубиков. Большой куб имеет ребро 3 дм, а маленькие кубики – 1 дм. Таким образом, вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 / 1 = 3$ маленьких кубика.

Общее количество кубиков равно объему большого куба, измеренному в маленьких кубиках: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ кубиков.

Теперь определим, сколько граней окрашено у разных типов кубиков:

• Три окрашенные грани имеют кубики, расположенные в вершинах большого куба. У куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
• Две окрашенные грани имеют кубики, расположенные на ребрах (между вершинами). У куба 12 ребер. На каждом ребре большого куба расположено 3 маленьких кубика. Два из них — угловые (с 3 окрашенными гранями), значит, на каждом ребре остается $3 - 2 = 1$ кубик с двумя окрашенными гранями. Всего таких кубиков: $12 \times 1 = 12$.
• Одну окрашенную грань имеют кубики, расположенные в центре каждой грани. У куба 6 граней. На каждой грани находится $3 \times 3 = 9$ маленьких кубиков. Из них 8 кубиков расположены по периметру (угловые и реберные), значит в центре каждой грани остается $9 - 8 = 1$ кубик. Всего таких кубиков: $6 \times 1 = 6$.
• Неокрашенные кубики находятся внутри большого куба, не соприкасаясь с его поверхностью. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа кубиков вычесть все окрашенные: $27 - 8 - 12 - 6 = 1$. Этот кубик является ядром большого куба. Да, неокрашенные кубики есть.

Проверим: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. Все кубики учтены.

Ответ: Всего получилось 27 кубиков. Среди них 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 — две окрашенные грани, 8 — три окрашенные грани. Есть 1 неокрашенный кубик.

2) Всего получилось 27 маленьких кубиков. Ребро каждого кубика равно 1 дм. Если все эти кубики выложить в один ряд, то длина этого ряда будет равна сумме длин ребер всех кубиков, стоящих в ряду.

Длина ряда = (количество кубиков) × (длина ребра одного кубика).

$27 \times 1 \text{ дм} = 27 \text{ дм}$.

Ответ: Длина этого ряда 27 дм.

11.31 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Вылепите кубик из пластилина и разрежьте его на две части ножом. Какие многоугольники получились в разрезе? Выбирая различные направления, определите, какие многоугольники можно получить при пересечении куба плоскостью. Сколько рёбер пересечёт плоскость в каждом случае?

При пересечении куба плоскостью могут получаться различные многоугольники. Форма многоугольника в сечении зависит от того, как ориентирована секущая плоскость по отношению к граням и рёбрам куба. Количество сторон у многоугольника в сечении равно количеству граней, которые пересекает плоскость. Это также равно количеству рёбер, которые пересекает плоскость. Куб имеет 6 граней, поэтому максимальное количество сторон у многоугольника в сечении — 6. Минимальное — 3, так как многоугольника с меньшим числом сторон не существует.

Рассмотрим все возможные случаи:

Треугольник

Чтобы в сечении получить треугольник, плоскость должна пересечь три грани куба, сходящиеся в одной вершине. Такой разрез можно представить как «срезание» одного из углов куба. Плоскость при этом пересекает три ребра, выходящие из этой вершины. В зависимости от наклона плоскости, треугольник может быть равносторонним (если плоскость отсекает от рёбер равные отрезки), равнобедренным или разносторонним.

Плоскость пересекает 3 ребра.

Ответ: Треугольник, пересекает 3 ребра.

Четырёхугольник

Это один из самых распространённых видов сечения. Чтобы получить четырёхугольник, плоскость должна пересечь четыре грани куба. Существует несколько вариантов:

• Квадрат: сечение плоскостью, параллельной одной из граней куба.
• Прямоугольник: сечение плоскостью, параллельной одному из рёбер, но не параллельной ни одной из граней.
• Параллелограмм (в общем случае) или ромб: сечение наклонной плоскостью, которая пересекает две пары параллельных граней.
• Трапеция: сечение плоскостью, которая пересекает две параллельные грани, но две другие пересекаемые грани не параллельны друг другу.

Во всех этих случаях плоскость пересекает 4 ребра куба.

Ответ: Четырёхугольник (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция), пересекает 4 ребра.

Пятиугольник

Чтобы получить пятиугольник, секущая плоскость должна пересечь пять из шести граней куба. Такое сечение получается, когда плоскость «срезает» большую часть куба, проходя через рёбра пяти разных граней, не задевая лишь одну грань. Например, плоскость пересекает два ребра на верхней грани, два ребра на боковых гранях и одно ребро на нижней грани.

Плоскость пересекает 5 рёбер.

Ответ: Пятиугольник, пересекает 5 рёбер.

Шестиугольник

Чтобы получить шестиугольник, плоскость должна пересечь все шесть граней куба. Это возможно, если плоскость не параллельна ни одной из граней и ни одному из рёбер куба. Классический пример — сечение, проходящее через середины шести рёбер куба. Такое сечение образует правильный шестиугольник.

Плоскость пересекает 6 рёбер.

Ответ: Шестиугольник, пересекает 6 рёбер.

Вывод:

При пересечении куба плоскостью можно получить многоугольники с количеством сторон от 3 до 6. Количество рёбер, которое пересекает плоскость, в каждом случае равно количеству сторон получившегося в сечении многоугольника.

11.32 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что вы хотите сделать аквариум, имеющий форму параллелепипеда. Для этого необходимо в мастерской заказать стекла.

1) Сколько стекол и какого размера надо заказать, если длина аквариума должна равняться 50 см, ширина – 30 см, а высота – 40 см?

2) Сколько придется заплатить, если стоимость стекла составляет 400 р. за $1 \text{ м}^2$?

3) Такими же или нет будут затраты на изготовление аквариума, у которого длина равна 40 см, ширина – 30 см, высота – 50 см?

1) Сколько стёкол и какого размера надо заказать, если длина аквариума должна равняться 50 см, ширина – 30 см, а высота – 40 см?

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда без верхней крышки, поэтому он состоит из дна и четырёх боковых стенок. Заданные размеры: длина ($l$) = 50 см, ширина ($w$) = 30 см, высота ($h$) = 40 см.

Необходимо заказать стёкла следующих размеров:

• Дно: 1 стекло размером $l \times w$, то есть 50 см × 30 см.
• Передняя и задняя стенки: 2 одинаковых стекла размером $l \times h$, то есть 50 см × 40 см.
• Боковые стенки: 2 одинаковых стекла размером $w \times h$, то есть 30 см × 40 см.

Всего для аквариума понадобится 5 стёкол.

Ответ: нужно заказать 5 стёкол: одно размером 50 см × 30 см, два размером 50 см × 40 см и два размером 30 см × 40 см.

2) Сколько придётся заплатить, если стоимость стекла составляет 400 р. за 1 м²?

Сначала найдём общую площадь поверхности стекла, необходимого для аквариума. Площадь поверхности аквариума без крышки ($S_{общ}$) вычисляется как сумма площади дна и площади боковых стенок.

Площадь дна: $S_{дна} = l \times w = 50 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1500 \text{ см}^2$.

Площадь боковых стенок: $S_{бок} = 2(l \times h) + 2(w \times h) = 2(50 \text{ см} \times 40 \text{ см}) + 2(30 \text{ см} \times 40 \text{ см}) = 4000 \text{ см}^2 + 2400 \text{ см}^2 = 6400 \text{ см}^2$.

Общая площадь стекла: $S_{общ} = S_{дна} + S_{бок} = 1500 \text{ см}^2 + 6400 \text{ см}^2 = 7900 \text{ см}^2$.

Стоимость стекла дана за 1 м². Переведём площадь из см² в м². Зная, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$, получаем:

$S_{общ} = 7900 \text{ см}^2 = \frac{7900}{10000} \text{ м}^2 = 0,79 \text{ м}^2$.

Теперь вычислим общую стоимость:

Стоимость = $0,79 \text{ м}^2 \times 400 \text{ р./м}^2 = 316$ рублей.

Ответ: придётся заплатить 316 рублей.

3) Такими же или нет будут затраты на изготовление аквариума, у которого длина равна 40 см, ширина – 30 см, высота – 50 см?

Рассчитаем затраты для аквариума с новыми размерами: длина ($l'$) = 40 см, ширина ($w'$) = 30 см, высота ($h'$) = 50 см.

Найдём общую площадь стекла для нового аквариума ($S'_{общ}$):

Площадь дна: $S'_{дна} = l' \times w' = 40 \text{ см} \times 30 \text{ см} = 1200 \text{ см}^2$.

Площадь боковых стенок: $S'_{бок} = 2(l' \times h') + 2(w' \times h') = 2(40 \text{ см} \times 50 \text{ см}) + 2(30 \text{ см} \times 50 \text{ см}) = 4000 \text{ см}^2 + 3000 \text{ см}^2 = 7000 \text{ см}^2$.

Общая площадь стекла: $S'_{общ} = S'_{дна} + S'_{бок} = 1200 \text{ см}^2 + 7000 \text{ см}^2 = 8200 \text{ см}^2$.

Переведём площадь в м²:

$S'_{общ} = 8200 \text{ см}^2 = \frac{8200}{10000} \text{ м}^2 = 0,82 \text{ м}^2$.

Вычислим стоимость для нового аквариума:

Стоимость = $0,82 \text{ м}^2 \times 400 \text{ р./м}^2 = 328$ рублей.

Сравним затраты: 316 рублей для первого аквариума и 328 рублей для второго. Затраты не одинаковы ($316 \text{ р.} \neq 328 \text{ р.}$).

Ответ: нет, затраты будут не такими же. Изготовление второго аквариума обойдётся дороже.