Номер 11.30, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.2. Параллелепипед. Глава 11. Многогранники - номер 11.30, страница 256.

11.30 Ищем способ подсчёта

Куб с ребром 3 дм окрасили зелёной краской, а затем распилили на кубики с ребром 1 дм (рис. 11.25).

1) Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань; две окрашенные грани; три окрашенные грани? Есть ли неокрашенные кубики?

2) Все кубики выложили в один ряд. Какова длина этого ряда?

Рис. 11.25

1) Для начала найдем общее количество маленьких кубиков. Большой куб имеет ребро 3 дм, а маленькие кубики – 1 дм. Таким образом, вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 / 1 = 3$ маленьких кубика.

Общее количество кубиков равно объему большого куба, измеренному в маленьких кубиках: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ кубиков.

Теперь определим, сколько граней окрашено у разных типов кубиков:

• Три окрашенные грани имеют кубики, расположенные в вершинах большого куба. У куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
• Две окрашенные грани имеют кубики, расположенные на ребрах (между вершинами). У куба 12 ребер. На каждом ребре большого куба расположено 3 маленьких кубика. Два из них — угловые (с 3 окрашенными гранями), значит, на каждом ребре остается $3 - 2 = 1$ кубик с двумя окрашенными гранями. Всего таких кубиков: $12 \times 1 = 12$.
• Одну окрашенную грань имеют кубики, расположенные в центре каждой грани. У куба 6 граней. На каждой грани находится $3 \times 3 = 9$ маленьких кубиков. Из них 8 кубиков расположены по периметру (угловые и реберные), значит в центре каждой грани остается $9 - 8 = 1$ кубик. Всего таких кубиков: $6 \times 1 = 6$.
• Неокрашенные кубики находятся внутри большого куба, не соприкасаясь с его поверхностью. Чтобы найти их количество, нужно из общего числа кубиков вычесть все окрашенные: $27 - 8 - 12 - 6 = 1$. Этот кубик является ядром большого куба. Да, неокрашенные кубики есть.

Проверим: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. Все кубики учтены.

Ответ: Всего получилось 27 кубиков. Среди них 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 — две окрашенные грани, 8 — три окрашенные грани. Есть 1 неокрашенный кубик.

2) Всего получилось 27 маленьких кубиков. Ребро каждого кубика равно 1 дм. Если все эти кубики выложить в один ряд, то длина этого ряда будет равна сумме длин ребер всех кубиков, стоящих в ряду.

Длина ряда = (количество кубиков) × (длина ребра одного кубика).

$27 \times 1 \text{ дм} = 27 \text{ дм}$.

Ответ: Длина этого ряда 27 дм.