Номер 11.31, страница 256 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.2. Параллелепипед. Упражнения - номер 11.31, страница 256.

Условие.

11.31 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Вылепите кубик из пластилина и разрежьте его на две части ножом. Какие многоугольники получились в разрезе? Выбирая различные направления, определите, какие многоугольники можно получить при пересечении куба плоскостью. Сколько рёбер пересечёт плоскость в каждом случае?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

При пересечении куба плоскостью могут получаться различные многоугольники. Форма многоугольника в сечении зависит от того, как ориентирована секущая плоскость по отношению к граням и рёбрам куба. Количество сторон у многоугольника в сечении равно количеству граней, которые пересекает плоскость. Это также равно количеству рёбер, которые пересекает плоскость. Куб имеет 6 граней, поэтому максимальное количество сторон у многоугольника в сечении — 6. Минимальное — 3, так как многоугольника с меньшим числом сторон не существует.

Рассмотрим все возможные случаи:

Треугольник

Чтобы в сечении получить треугольник, плоскость должна пересечь три грани куба, сходящиеся в одной вершине. Такой разрез можно представить как «срезание» одного из углов куба. Плоскость при этом пересекает три ребра, выходящие из этой вершины. В зависимости от наклона плоскости, треугольник может быть равносторонним (если плоскость отсекает от рёбер равные отрезки), равнобедренным или разносторонним.

Плоскость пересекает 3 ребра.

Ответ: Треугольник, пересекает 3 ребра.

Четырёхугольник

Это один из самых распространённых видов сечения. Чтобы получить четырёхугольник, плоскость должна пересечь четыре грани куба. Существует несколько вариантов:

• Квадрат: сечение плоскостью, параллельной одной из граней куба.
• Прямоугольник: сечение плоскостью, параллельной одному из рёбер, но не параллельной ни одной из граней.
• Параллелограмм (в общем случае) или ромб: сечение наклонной плоскостью, которая пересекает две пары параллельных граней.
• Трапеция: сечение плоскостью, которая пересекает две параллельные грани, но две другие пересекаемые грани не параллельны друг другу.

Во всех этих случаях плоскость пересекает 4 ребра куба.

Ответ: Четырёхугольник (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция), пересекает 4 ребра.

Пятиугольник

Чтобы получить пятиугольник, секущая плоскость должна пересечь пять из шести граней куба. Такое сечение получается, когда плоскость «срезает» большую часть куба, проходя через рёбра пяти разных граней, не задевая лишь одну грань. Например, плоскость пересекает два ребра на верхней грани, два ребра на боковых гранях и одно ребро на нижней грани.

Плоскость пересекает 5 рёбер.

Ответ: Пятиугольник, пересекает 5 рёбер.

Шестиугольник

Чтобы получить шестиугольник, плоскость должна пересечь все шесть граней куба. Это возможно, если плоскость не параллельна ни одной из граней и ни одному из рёбер куба. Классический пример — сечение, проходящее через середины шести рёбер куба. Такое сечение образует правильный шестиугольник.

Плоскость пересекает 6 рёбер.

Ответ: Шестиугольник, пересекает 6 рёбер.

Вывод:

При пересечении куба плоскостью можно получить многоугольники с количеством сторон от 3 до 6. Количество рёбер, которое пересекает плоскость, в каждом случае равно количеству сторон получившегося в сечении многоугольника.