Страница 262 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.48 Сравните:

а) $70 \text{ мм}^3$ и $7 \text{ см}^3$;

б) $300 \text{ см}^3$ и $3 \text{ дм}^3$;

в) $6000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ дм}^3$;

г) $50000 \text{ дм}^3$ и $5 \text{ м}^3$;

д) $1000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ м}^3$;

е) $40000 \text{ мм}^3$ и $4 \text{ см}^3$;

ж) $80000 \text{ мм}^3$ и $8 \text{ дм}^3$;

з) $2000000 \text{ см}^3$ и $2 \text{ м}^3$.

Для сравнения величин объема необходимо привести их к одной единице измерения. Будем использовать следующие соотношения:

• $1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \Rightarrow 1 \text{ см}^3 = 10^3 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$
• $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \Rightarrow 1 \text{ дм}^3 = 10^3 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$
• $1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \Rightarrow 1 \text{ м}^3 = 10^3 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3$
• $1 \text{ м} = 100 \text{ см} \Rightarrow 1 \text{ м}^3 = 100^3 \text{ см}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$

а) Сравним $70 \text{ мм}^3$ и $7 \text{ см}^3$.
Переведем кубические сантиметры в кубические миллиметры. Так как $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$, то:
$7 \text{ см}^3 = 7 \times 1000 \text{ мм}^3 = 7000 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним $70 \text{ мм}^3$ и $7000 \text{ мм}^3$.
$70 < 7000$, следовательно, $70 \text{ мм}^3 < 7 \text{ см}^3$.
Ответ: $70 \text{ мм}^3 < 7 \text{ см}^3$.

б) Сравним $300 \text{ см}^3$ и $3 \text{ дм}^3$.
Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры. Так как $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$, то:
$3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $300 \text{ см}^3$ и $3000 \text{ см}^3$.
$300 < 3000$, следовательно, $300 \text{ см}^3 < 3 \text{ дм}^3$.
Ответ: $300 \text{ см}^3 < 3 \text{ дм}^3$.

в) Сравним $6000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ дм}^3$.
Переведем кубические дециметры в кубические сантиметры. Так как $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$, то:
$6 \text{ дм}^3 = 6 \times 1000 \text{ см}^3 = 6000 \text{ см}^3$.
Сравниваем $6000 \text{ см}^3$ и $6000 \text{ см}^3$.
$6000 = 6000$, следовательно, $6000 \text{ см}^3 = 6 \text{ дм}^3$.
Ответ: $6000 \text{ см}^3 = 6 \text{ дм}^3$.

г) Сравним $50 000 \text{ дм}^3$ и $5 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические дециметры. Так как $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$, то:
$5 \text{ м}^3 = 5 \times 1000 \text{ дм}^3 = 5000 \text{ дм}^3$.
Теперь сравним $50 000 \text{ дм}^3$ и $5000 \text{ дм}^3$.
$50 000 > 5000$, следовательно, $50 000 \text{ дм}^3 > 5 \text{ м}^3$.
Ответ: $50 000 \text{ дм}^3 > 5 \text{ м}^3$.

д) Сравним $1000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические сантиметры. Так как $1 \text{ м}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$, то:
Сравниваем $1000 \text{ см}^3$ и $1 000 000 \text{ см}^3$.
$1000 < 1 000 000$, следовательно, $1000 \text{ см}^3 < 1 \text{ м}^3$.
Ответ: $1000 \text{ см}^3 < 1 \text{ м}^3$.

е) Сравним $40 000 \text{ мм}^3$ и $4 \text{ см}^3$.
Переведем кубические сантиметры в кубические миллиметры. Так как $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$, то:
$4 \text{ см}^3 = 4 \times 1000 \text{ мм}^3 = 4000 \text{ мм}^3$.
Теперь сравним $40 000 \text{ мм}^3$ и $4000 \text{ мм}^3$.
$40 000 > 4000$, следовательно, $40 000 \text{ мм}^3 > 4 \text{ см}^3$.
Ответ: $40 000 \text{ мм}^3 > 4 \text{ см}^3$.

ж) Сравним $80 000 \text{ мм}^3$ и $8 \text{ дм}^3$.
Приведем обе величины к кубическим сантиметрам.
$80 000 \text{ мм}^3 = (80 000 / 1000) \text{ см}^3 = 80 \text{ см}^3$.
$8 \text{ дм}^3 = 8 \times 1000 \text{ см}^3 = 8000 \text{ см}^3$.
Теперь сравним $80 \text{ см}^3$ и $8000 \text{ см}^3$.
$80 < 8000$, следовательно, $80 000 \text{ мм}^3 < 8 \text{ дм}^3$.
Ответ: $80 000 \text{ мм}^3 < 8 \text{ дм}^3$.

з) Сравним $2 000 000 \text{ см}^3$ и $2 \text{ м}^3$.
Переведем кубические метры в кубические сантиметры. Так как $1 \text{ м}^3 = 1 000 000 \text{ см}^3$, то:
$2 \text{ м}^3 = 2 \times 1 000 000 \text{ см}^3 = 2 000 000 \text{ см}^3$.
Сравниваем $2 000 000 \text{ см}^3$ и $2 000 000 \text{ см}^3$.
$2 000 000 = 2 000 000$, следовательно, $2 000 000 \text{ см}^3 = 2 \text{ м}^3$.
Ответ: $2 000 000 \text{ см}^3 = 2 \text{ м}^3$.

11.49 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Каждому сосуду поставьте в соответствие его вместимость.

Сосуд: флакон духов, чайная ложка, канистра, заварочный чайник.

Объём: $1 \text{ дм}^3$, $5 \text{ см}^3$, $15 \text{ дм}^3$, $150 \text{ см}^3$.

Для того чтобы сопоставить каждому сосуду его вместимость, проанализируем предложенные объемы и оценим, какой из них наиболее реалистичен для каждого предмета. Для удобства переведем кубические дециметры ($ \text{дм}^3 $) и кубические сантиметры ($ \text{см}^3 $) в более привычные единицы — литры (л) и миллилитры (мл).

Вспомним соотношения единиц объема:

• $1 \text{ дм}^3 = 1 \text{ л}$
• $1 \text{ см}^3 = 1 \text{ мл}$
• $1 \text{ л} = 1000 \text{ мл} = 1000 \text{ см}^3$

Таким образом, данные объемы равны:

• $1 \text{ дм}^3 = 1 \text{ л}$
• $5 \text{ см}^3 = 5 \text{ мл}$
• $15 \text{ дм}^3 = 15 \text{ л}$
• $150 \text{ см}^3 = 150 \text{ мл}$

Теперь сопоставим сосуды и объемы, идя от наименьшего к наибольшему.

Чайная ложка

Это самый маленький из перечисленных предметов. Стандартный объем чайной ложки — около 5 мл. В списке объемов есть значение $5 \text{ см}^3$, что в точности равно 5 мл. Следовательно, этот объем соответствует чайной ложке.

Ответ: Чайная ложка — $5 \text{ см}^3$.

Флакон духов

Флаконы духов обычно имеют объем от 30 мл до 200 мл. Из оставшихся объемов ($1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ мл}$, $15 \text{ дм}^3 = 15000 \text{ мл}$, $150 \text{ см}^3 = 150 \text{ мл}$) наиболее подходящим является объем $150 \text{ см}^3$. Объемы в 1 литр и 15 литров слишком велики для духов.

Ответ: Флакон духов — $150 \text{ см}^3$.

Заварочный чайник

Вместимость обычного заварочного чайника, как правило, составляет от 0,5 до 1,5 литров. Из двух оставшихся вариантов ($1 \text{ дм}^3$ и $15 \text{ дм}^3$) подходит объем $1 \text{ дм}^3$, так как он равен 1 литру. Объем в 15 литров для чайника нереалистичен.

Ответ: Заварочный чайник — $1 \text{ дм}^3$.

Канистра

Канистра — это большая емкость, предназначенная для транспортировки жидкостей. Ее объем может составлять 5, 10, 15, 20 литров и более. Последний оставшийся объем — $15 \text{ дм}^3$, что равно 15 литрам. Это стандартный и наиболее подходящий объем для канистры из предложенных вариантов.

Ответ: Канистра — $15 \text{ дм}^3$.

11.50 РАССУЖДАЕМ

1) Вычислите объёмы аквариумов (рис. 11.38) и выразите их в литрах.

2) Аквариумы заполнили так, что уровень воды в каждом из них ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды?

Рис. 11.38

1) Для начала вычислим объём каждого аквариума. Аквариумы имеют форму прямоугольного параллелепипеда, объём которого вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его измерения (длина, ширина, высота).

Первый аквариум (слева):
Его размеры: длина = 50 см, ширина = 30 см, высота = 40 см.
Объём первого аквариума: $V_1 = 50 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 60000 \text{ см}^3$.
Чтобы выразить объём в литрах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$V_1 = 60000 \text{ см}^3 : 1000 \text{ см}^3/\text{л} = 60 \text{ л}$.

Второй аквариум (справа):
Его размеры: длина = 40 см, ширина = 30 см, высота = 50 см.
Объём второго аквариума: $V_2 = 40 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 60000 \text{ см}^3$.
Выразим объём в литрах:
$V_2 = 60000 \text{ см}^3 : 1000 \text{ см}^3/\text{л} = 60 \text{ л}$.

Ответ: объём каждого аквариума равен 60 000 см³, или 60 литров.

2) Теперь найдём, в каком аквариуме больше воды, если уровень воды в каждом из них на 10 см ниже верхнего края. Это значит, что нам нужно вычислить объём воды, используя высоту воды, а не высоту всего аквариума.

Первый аквариум (слева):
Высота аквариума 40 см. Высота воды на 10 см меньше: $h_{\text{воды1}} = 40 \text{ см} - 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Объём воды в первом аквариуме: $V_{\text{воды1}} = 50 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 45000 \text{ см}^3$.
В литрах: $45000 \text{ см}^3 = 45 \text{ л}$.

Второй аквариум (справа):
Высота аквариума 50 см. Высота воды на 10 см меньше: $h_{\text{воды2}} = 50 \text{ см} - 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Объём воды во втором аквариуме: $V_{\text{воды2}} = 40 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 48000 \text{ см}^3$.
В литрах: $48000 \text{ см}^3 = 48 \text{ л}$.

Сравним объёмы воды в двух аквариумах:
$48 \text{ л} > 45 \text{ л}$.
Следовательно, во втором аквариуме воды больше.

Ответ: во втором (правом) аквариуме больше воды.

Среди мер сыпучих и жидких тел, применяющихся в других странах

Рис. 11.38

и по сей день, сохранились английские меры бушель и галлон и американский нефтяной баррель. Найдите в специальной литературе значения этих мер, выраженные в литрах.

Бушель

Бушель — это единица объёма для сыпучих тел, используемая в английской системе мер. Важно различать английский (имперский) и американский бушели, так как их значения отличаются.
Английский (имперский) бушель, о котором идёт речь в задаче, равен 8 имперским галлонам. В пересчёте на метрическую систему: $1 \text{ имперский бушель} \approx 36,3687 \text{ литра}$.
Для сравнения, американский бушель немного меньше: $1 \text{ американский бушель} \approx 35,2391 \text{ литра}$.

Ответ: 1 английский бушель ≈ $36,37$ л.

Галлон

Галлон — это мера объёма, применяемая как для жидких, так и для сыпучих тел. Как и бушель, он имеет разные значения в английской (имперской) и американской системах.
Английский (имперский) галлон, упомянутый в условии: $1 \text{ имперский галлон} \approx 4,54609 \text{ литра}$.
Американский галлон для жидкостей, который используется, например, для определения объёма барреля, равен: $1 \text{ американский галлон} \approx 3,78541 \text{ литра}$.

Ответ: 1 английский галлон ≈ $4,55$ л.

Американский нефтяной баррель

Американский нефтяной баррель (обозначение: bbl) — это стандартная отраслевая единица измерения объёма нефти. Его объём зафиксирован и составляет 42 американских галлона.
Для перевода в литры используется значение американского галлона: $1 \text{ баррель} = 42 \text{ американских галлона} = 42 \times 3,78541 \text{ л} \approx 158,987 \text{ л}$.
В практических расчётах это значение принято округлять.

Ответ: 1 американский нефтяной баррель ≈ $159$ л.

11.52 Сколько пакетов с соком войдёт в коробку (рис. 11.39)?

Размеры пакета с соком: $17 \text{ см}$, $6 \text{ см}$, $10 \text{ см}$.

Размеры коробки: $34 \text{ см}$, $40 \text{ см}$, $60 \text{ см}$.

Рис. 11.39

Для решения этой задачи необходимо определить, какое максимальное количество пакетов с соком можно уложить в картонную коробку. Это задача на оптимальную укладку (упаковку).

Сначала определим размеры коробки и одного пакета сока:

• Размеры коробки (длина, ширина, высота): $60 \text{ см} \times 40 \text{ см} \times 34 \text{ см}$.
• Размеры пакета сока (длина, ширина, высота): $10 \text{ см} \times 6 \text{ см} \times 17 \text{ см}$.

Чтобы найти максимальное количество пакетов, необходимо проверить различные варианты их расположения внутри коробки, располагая их стороны параллельно сторонам коробки. Цель — найти такую ориентацию пакетов, которая позволит вместить их наибольшее количество.

Рассмотрим один из возможных вариантов укладки:

• Уложим пакеты вдоль длины коробки ($60$ см), используя их сторону в $6$ см. Количество пакетов в ряду: $60 \div 6 = 10$ штук.
• Уложим пакеты вдоль ширины коробки ($40$ см), используя их сторону в $10$ см. Количество рядов: $40 \div 10 = 4$ ряда.
• Уложим пакеты по высоте коробки ($34$ см), используя их сторону в $17$ см. Количество слоев: $34 \div 17 = 2$ слоя.

При такой укладке все измерения коробки делятся нацело на соответствующие размеры пакетов, это означает, что пакеты заполняют весь объем коробки без пустот.

Общее количество пакетов, которое можно вместить при такой укладке, равно произведению количества пакетов по каждому измерению:

Общее количество $= 10 \times 4 \times 2 = 80$ пакетов.

Можно проверить этот результат, сравнив объемы. Объем коробки равен $V_{\text{коробки}} = 60 \times 40 \times 34 = 81600 \text{ см}^3$. Объем одного пакета сока равен $V_{\text{пакета}} = 10 \times 6 \times 17 = 1020 \text{ см}^3$. Если разделить объем коробки на объем одного пакета, получим: $81600 \div 1020 = 80$.

Поскольку мы нашли способ укладки, при котором в коробку помещается ровно 80 пакетов, и это число совпадает с результатом деления объемов, то это и есть максимальное количество.

Ответ: 80 пакетов.

11.53 Сколько литров воды содержится в баке, имеющем форму куба с ребром $б$ дм?

Для того чтобы определить, сколько литров воды содержится в баке, необходимо сначала найти его объем. Бак имеет форму куба. Объем куба ($V$) вычисляется по формуле, где $a$ – это длина его ребра:

$V = a^3$

В условии задачи дано, что длина ребра куба составляет 6 дм. Подставим это значение в формулу для вычисления объема:

$V = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ дм³

Итак, объем бака равен 216 кубических дециметров.

По определению, 1 литр равен 1 кубическому дециметру:

$1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$

Следовательно, объем бака в литрах будет равен его объему в кубических дециметрах.

$V = 216$ литров.

Ответ: 216 литров.

11.54 Найдите объём многогранника (рис. 11.40, а–в).

Подсказка. Достройте мысленно многогранник до параллелепипеда.

а) Внешние размеры: длина 20 см, ширина 12 см, высота 2 см.

Размеры внутреннего отверстия: длина 12 см, ширина 8 см, глубина 2 см.

б) Габаритные размеры: длина 20 см, ширина 18 см, высота 21 см.

Размеры нижней ступени: длина 20 см, ширина 12 см, высота 8 см.

Размеры верхней ступени: длина 20 см, ширина 8 см, высота (21 - 8) см = 13 см.

в) Габаритные размеры: длина 6 дм, ширина 7 дм, высота 5 дм.

Размеры вырезанной части: длина 3 дм, ширина 4 дм, высота 2 дм.

Рис. 11.40

а) Объём данного многогранника можно найти как разность объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: внешнего ($V_{внешн}$) и внутреннего (вырезанной части, $V_{внутр}$).

Размеры внешнего параллелепипеда: $20$ см, $12$ см, $2$ см. Его объём: $V_{внешн} = 20 \cdot 12 \cdot 2 = 480$ см³.

Размеры внутреннего параллелепипеда (вырезанной части): $12$ см, $8$ см, $2$ см. Его объём: $V_{внутр} = 12 \cdot 8 \cdot 2 = 192$ см³.

Искомый объём многогранника равен разности этих объёмов: $V = V_{внешн} - V_{внутр} = 480 - 192 = 288$ см³.

Ответ: $288$ см³.

б) Чтобы найти объём этого многогранника, мысленно достроим его до полного прямоугольного параллелепипеда, а затем вычтем объём добавленной (отсутствующей) части.

1. Найдём объём полного параллелепипеда ($V_{полный}$), который имел бы измерения $20$ см, $18$ см и $21$ см: $V_{полный} = 20 \cdot 18 \cdot 21 = 7560$ см³.

2. Теперь найдём объём отсутствующей части ($V_{отсутств}$). Её измерения: длина равна $20 - 8 = 12$ см, ширина $18$ см, высота $21 - 12 = 9$ см. $V_{отсутств} = 12 \cdot 18 \cdot 9 = 1944$ см³.

3. Искомый объём многогранника равен разности объёмов: $V = V_{полный} - V_{отсутств} = 7560 - 1944 = 5616$ см³.

Ответ: $5616$ см³.

в) Аналогично предыдущей задаче, найдём объём как разность объёмов полного параллелепипеда и вырезанной из него части.

1. Найдём объём полного параллелепипеда ($V_{полный}$) с измерениями $7$ дм, $6$ дм и $5$ дм: $V_{полный} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ дм³.

2. Объём вырезанной части ($V_{вырез}$) с измерениями $4$ дм, $3$ дм и $2$ дм: $V_{вырез} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ дм³.

3. Искомый объём многогранника равен разности этих объёмов: $V = V_{полный} - V_{вырез} = 210 - 24 = 186$ дм³.

Ответ: $186$ дм³.