Номер 11.57, страница 263 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.3. Объём параллелепипеда. Упражнения - номер 11.57, страница 263.

Условие.

11.57 Бруски размером 2 см, 4 см, 8 см сложили штабелем (рис. 11.41). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

Рис. 11.41

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Каковы размеры штабеля?
Для определения размеров штабеля необходимо проанализировать укладку брусков с размерами 2 см, 4 см и 8 см, как показано на рисунке.
1. Высота: Штабель состоит из 4 горизонтальных слоев. Каждый брусок уложен плашмя, поэтому высота одного слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 см. Общая высота штабеля составляет $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
2. Длина: Если посмотреть на лицевую грань штабеля, то в верхнем слое она состоит из двух брусков, уложенных рядом по своей ширине (4 см). Таким образом, длина штабеля равна $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$. В слое ниже лежит один брусок, длина которого также составляет 8 см, что подтверждает общую длину.
3. Ширина (глубина): На виде сверху и сбоку видно, что бруски уложены своей длинной стороной (8 см) вглубь штабеля. Следовательно, ширина штабеля равна 8 см.
Таким образом, штабель имеет форму куба.
Ответ: размеры штабеля 8 см × 8 см × 8 см.

Сколько в нём брусков?
Количество брусков можно определить, разделив общий объём штабеля на объём одного бруска. Сначала найдём эти объёмы.
Объём всего штабеля (куба со стороной 8 см) равен:
$V_{штабеля} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
Объём одного бруска равен:
$V_{бруска} = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
Теперь найдём количество брусков:
$N = \frac{V_{штабеля}}{V_{бруска}} = \frac{512}{64} = 8$.
Также можно посчитать количество брусков в одном слое. Площадь слоя $8 \times 8 = 64 \text{ см}^2$. Площадь основания одного бруска $4 \times 8 = 32 \text{ см}^2$. Значит, в одном слое $64 / 32 = 2$ бруска. Всего 4 слоя, следовательно, общее количество брусков $2 \times 4 = 8$.
Ответ: в штабеле 8 брусков.

Каков его объём?
Объём штабеля можно вычислить двумя способами.
1. Через размеры штабеля: Так как штабель является кубом со стороной 8 см, его объём равен:
$V = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
2. Через сумму объёмов брусков: Объём одного бруска составляет $2 \times 4 \times 8 = 64 \text{ см}^3$. В штабеле 8 таких брусков. Общий объём равен:
$V = 8 \times 64 \text{ см}^3 = 512 \text{ см}^3$.
Ответ: объём штабеля 512 см³.