Номер 11.54, страница 262 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.3. Объём параллелепипеда. Упражнения - номер 11.54, страница 262.

Условие.

11.54 Найдите объём многогранника (рис. 11.40, а–в).

Подсказка. Достройте мысленно многогранник до параллелепипеда.

а) Внешние размеры: длина 20 см, ширина 12 см, высота 2 см.

Размеры внутреннего отверстия: длина 12 см, ширина 8 см, глубина 2 см.

б) Габаритные размеры: длина 20 см, ширина 18 см, высота 21 см.

Размеры нижней ступени: длина 20 см, ширина 12 см, высота 8 см.

Размеры верхней ступени: длина 20 см, ширина 8 см, высота (21 - 8) см = 13 см.

в) Габаритные размеры: длина 6 дм, ширина 7 дм, высота 5 дм.

Размеры вырезанной части: длина 3 дм, ширина 4 дм, высота 2 дм.

Рис. 11.40

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Объём данного многогранника можно найти как разность объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: внешнего ($V_{внешн}$) и внутреннего (вырезанной части, $V_{внутр}$).

Размеры внешнего параллелепипеда: $20$ см, $12$ см, $2$ см. Его объём: $V_{внешн} = 20 \cdot 12 \cdot 2 = 480$ см³.

Размеры внутреннего параллелепипеда (вырезанной части): $12$ см, $8$ см, $2$ см. Его объём: $V_{внутр} = 12 \cdot 8 \cdot 2 = 192$ см³.

Искомый объём многогранника равен разности этих объёмов: $V = V_{внешн} - V_{внутр} = 480 - 192 = 288$ см³.

Ответ: $288$ см³.

б) Чтобы найти объём этого многогранника, мысленно достроим его до полного прямоугольного параллелепипеда, а затем вычтем объём добавленной (отсутствующей) части.

1. Найдём объём полного параллелепипеда ($V_{полный}$), который имел бы измерения $20$ см, $18$ см и $21$ см: $V_{полный} = 20 \cdot 18 \cdot 21 = 7560$ см³.

2. Теперь найдём объём отсутствующей части ($V_{отсутств}$). Её измерения: длина равна $20 - 8 = 12$ см, ширина $18$ см, высота $21 - 12 = 9$ см. $V_{отсутств} = 12 \cdot 18 \cdot 9 = 1944$ см³.

3. Искомый объём многогранника равен разности объёмов: $V = V_{полный} - V_{отсутств} = 7560 - 1944 = 5616$ см³.

Ответ: $5616$ см³.

в) Аналогично предыдущей задаче, найдём объём как разность объёмов полного параллелепипеда и вырезанной из него части.

1. Найдём объём полного параллелепипеда ($V_{полный}$) с измерениями $7$ дм, $6$ дм и $5$ дм: $V_{полный} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ дм³.

2. Объём вырезанной части ($V_{вырез}$) с измерениями $4$ дм, $3$ дм и $2$ дм: $V_{вырез} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ дм³.

3. Искомый объём многогранника равен разности этих объёмов: $V = V_{полный} - V_{вырез} = 210 - 24 = 186$ дм³.

Ответ: $186$ дм³.