Страница 263 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.55 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Для разведения крупных рыбок требуется аквариум объёмом не менее 150 л. Представьте, что у вас есть аквариум длиной 95 см, шириной 32 см и высотой 50 см. Подойдёт ли он для разведения крупных рыбок?

Чтобы определить, подходит ли аквариум для разведения крупных рыбок, необходимо вычислить его объём и сравнить с требуемым минимальным объёмом (150 л).

1. Сначала найдём объём аквариума в кубических сантиметрах. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объём которого ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

Подставим известные размеры:

$V = 95 \text{ см} \cdot 32 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 152000 \text{ см}^3$

2. Теперь переведём полученный объём из кубических сантиметров в литры. Известно, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров:

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Чтобы найти объём в литрах, разделим объём в см³ на 1000:

$V = \frac{152000}{1000} \text{ л} = 152 \text{ л}$

3. Сравним объём аквариума с минимально требуемым объёмом. По условию, для разведения крупных рыбок требуется аквариум объёмом не менее 150 л.

$152 \text{ л} \ge 150 \text{ л}$

Поскольку объём имеющегося аквариума (152 л) больше, чем минимально требуемый объём (150 л), он подходит для разведения крупных рыбок.

Ответ: да, этот аквариум подойдёт для разведения крупных рыбок.

11.56 За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23000 раз. За один вдох в лёгкие поступает $500 \text{ см}^3$ воздуха. Какой объём воздуха (в литрах) проходит через лёгкие человека за сутки?

Для решения задачи необходимо сначала найти общий объём воздуха в кубических сантиметрах, который проходит через лёгкие за сутки, а затем перевести этот объём в литры.

1. Найдём общий объём воздуха в см³ за сутки.

Известно, что за сутки человек совершает примерно 23000 вдохов, и за один вдох в лёгкие поступает 500 см³ воздуха. Чтобы найти общий объём, умножим количество вдохов на объём одного вдоха:

Общий объём $V_{см³} = 23000 \times 500 \text{ см}^3$

$V_{см³} = 11\ 500\ 000 \text{ см}^3$

2. Переведём полученный объём в литры.

Мы знаем, что 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам:

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Чтобы перевести объём из см³ в литры, нужно разделить полученное значение на 1000:

Общий объём $V_{л} = \frac{11\ 500\ 000 \text{ см}^3}{1000} = 11\ 500 \text{ л}$

Ответ: 11 500 литров.

11.57 Бруски размером 2 см, 4 см, 8 см сложили штабелем (рис. 11.41). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

Рис. 11.41

Каковы размеры штабеля?
Для определения размеров штабеля необходимо проанализировать укладку брусков с размерами 2 см, 4 см и 8 см, как показано на рисунке.
1. Высота: Штабель состоит из 4 горизонтальных слоев. Каждый брусок уложен плашмя, поэтому высота одного слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 см. Общая высота штабеля составляет $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
2. Длина: Если посмотреть на лицевую грань штабеля, то в верхнем слое она состоит из двух брусков, уложенных рядом по своей ширине (4 см). Таким образом, длина штабеля равна $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$. В слое ниже лежит один брусок, длина которого также составляет 8 см, что подтверждает общую длину.
3. Ширина (глубина): На виде сверху и сбоку видно, что бруски уложены своей длинной стороной (8 см) вглубь штабеля. Следовательно, ширина штабеля равна 8 см.
Таким образом, штабель имеет форму куба.
Ответ: размеры штабеля 8 см × 8 см × 8 см.

Сколько в нём брусков?
Количество брусков можно определить, разделив общий объём штабеля на объём одного бруска. Сначала найдём эти объёмы.
Объём всего штабеля (куба со стороной 8 см) равен:
$V_{штабеля} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
Объём одного бруска равен:
$V_{бруска} = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
Теперь найдём количество брусков:
$N = \frac{V_{штабеля}}{V_{бруска}} = \frac{512}{64} = 8$.
Также можно посчитать количество брусков в одном слое. Площадь слоя $8 \times 8 = 64 \text{ см}^2$. Площадь основания одного бруска $4 \times 8 = 32 \text{ см}^2$. Значит, в одном слое $64 / 32 = 2$ бруска. Всего 4 слоя, следовательно, общее количество брусков $2 \times 4 = 8$.
Ответ: в штабеле 8 брусков.

Каков его объём?
Объём штабеля можно вычислить двумя способами.
1. Через размеры штабеля: Так как штабель является кубом со стороной 8 см, его объём равен:
$V = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
2. Через сумму объёмов брусков: Объём одного бруска составляет $2 \times 4 \times 8 = 64 \text{ см}^3$. В штабеле 8 таких брусков. Общий объём равен:
$V = 8 \times 64 \text{ см}^3 = 512 \text{ см}^3$.
Ответ: объём штабеля 512 см³.

11.58 МОДЕЛИРУЕМ

У квадратного листа бумаги отрезали уголки (рис. 11.42) и сделали коробку. Сторона большого (исходного) квадрата равна 20 см, маленьких (отрезанных) — 5 см. Вычислите объём получившейся коробки.

Подсказка. Можно воспользоваться моделью, например сделав её из листа в клетку.

Рис. 11.42

Чтобы найти объём получившейся коробки, нужно определить её длину, ширину и высоту. Когда из квадратного листа бумаги по углам вырезают квадраты, а оставшиеся края сгибают, получается коробка в форме прямоугольного параллелепипеда без крышки.

1. Найдём размеры основания коробки. Исходная сторона листа равна 20 см. С каждой стороны листа отрезали по два уголка, поэтому длина и ширина основания коробки уменьшатся на две стороны вырезанного квадрата (5 см с одной стороны и 5 см с другой).

Длина основания: $20 \text{ см} - 5 \text{ см} - 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.
Ширина основания: $20 \text{ см} - 5 \text{ см} - 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

2. Определим высоту коробки. Высота коробки равна стороне вырезанного квадрата, так как именно эти части загибаются вверх, образуя стенки.

Высота коробки: $5 \text{ см}$.

3. Вычислим объём коробки. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$.

Подставим найденные значения в формулу:

$V = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 500 \text{ см}^3$.

Ответ: 500 см³.

11.59 ИЩЕМ СПОСОБ ПОДСЧЁТА

Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получился ряд?

Подсказка. Сначала «разрежьте» куб поменьше, например со стороной 3 см (см. задание 11.30, рисунок 11.25).

Чтобы определить длину ряда, составленного из маленьких кубиков, необходимо сначала узнать, сколько всего таких кубиков получилось из большого куба.

1. Приведение длин к единой системе измерений.
Длина ребра большого куба составляет $1$ метр, а ребро маленького кубика — $1$ сантиметр. Для удобства вычислений переведем метры в сантиметры.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Таким образом, большой куб имеет ребро длиной $100$ см.

2. Вычисление количества маленьких кубиков.
Чтобы найти общее количество маленьких кубиков, можно вычислить, сколько их помещается вдоль одного ребра большого куба, а затем возвести это число в третью степень (так как куб имеет три измерения: длину, ширину и высоту).
Количество кубиков вдоль одного ребра: $100 \text{ см} / 1 \text{ см} = 100$ кубиков.
Общее количество кубиков $N$ равно:
$N = 100 \times 100 \times 100 = 100^3 = 1 \ 000 \ 000$ (один миллион) кубиков.

3. Определение длины ряда.
Все полученные кубики были выстроены в один ряд. Длина этого ряда будет равна произведению количества кубиков на длину ребра одного кубика.
Длина ряда $L = 1 \ 000 \ 000 \times 1 \text{ см} = 1 \ 000 \ 000 \text{ см}$.

4. Преобразование результата в более крупные единицы.
Полученное значение в сантиметрах очень велико, поэтому его удобнее выразить в метрах и километрах.
$1 \ 000 \ 000 \text{ см} = 10 \ 000 \text{ м}$ (поскольку в $1$ метре $100$ сантиметров).
$10 \ 000 \text{ м} = 10 \text{ км}$ (поскольку в $1$ километре $1000$ метров).

Ответ: Длина получившегося ряда составляет $10$ км.

11.60 Вычислите значение выражения:

а) $ (\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24 $;

б) $ 7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6} $.

а)

Для вычисления значения выражения $(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24$ можно использовать распределительное свойство умножения. Умножим каждое слагаемое в скобках на 24.

$(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24 = \frac{3}{4} \cdot 24 + \frac{3}{8} \cdot 24 + \frac{5}{6} \cdot 24$

Вычислим каждое произведение:

1. $\frac{3}{4} \cdot 24 = \frac{3 \cdot 24}{4} = 3 \cdot 6 = 18$

2. $\frac{3}{8} \cdot 24 = \frac{3 \cdot 24}{8} = 3 \cdot 3 = 9$

3. $\frac{5}{6} \cdot 24 = \frac{5 \cdot 24}{6} = 5 \cdot 4 = 20$

Теперь сложим полученные результаты:

$18 + 9 + 20 = 47$

Второй способ — сначала выполнить сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 4}{24} = \frac{18 + 9 + 20}{24} = \frac{47}{24}$

Затем умножим результат на 24:

$\frac{47}{24} \cdot 24 = 47$

Ответ: 47

б)

В выражении $7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6}$ мы видим общий множитель 7. Воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем 7 за скобки:

$7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6} = 7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{5}{6})$

Теперь выполним сложение дробей в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 6. Это число 6.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Подставим значения в скобки и сложим:

$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+3+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь умножим результат на вынесенный за скобки множитель:

$7 \cdot 2 = 14$

Ответ: 14

11.61 Две электрички двигались от двух платформ навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 7 км 500 м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1200 м в минуту? Выразите скорости электричек в километрах в час.

Для решения задачи сначала найдем общую скорость, с которой электрички удаляются друг от друга после встречи. Эта скорость, называемая скоростью удаления, равна сумме скоростей обеих электричек.

1. Переведем расстояние, на которое разъехались электрички, в метры:
$S = 7 \text{ км } 500 \text{ м} = 7 \times 1000 \text{ м} + 500 \text{ м} = 7500 \text{ м}$.

2. Известно, что за время $t = 3$ минуты расстояние между электричками стало равным $S = 7500$ м. Найдем скорость их удаления ($v_{уд}$):
$v_{уд} = \frac{S}{t} = \frac{7500 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 2500 \text{ м/мин}$.

3. Скорость удаления является суммой скоростей первой электрички ($v_1$) и второй ($v_2$). По условию, скорость второй электрички $v_2 = 1200 \text{ м/мин}$.

Сколько метров в минуту проезжала первая электричка

Зная скорость удаления и скорость второй электрички, можем найти скорость первой:
$v_1 = v_{уд} - v_2 = 2500 \text{ м/мин} - 1200 \text{ м/мин} = 1300 \text{ м/мин}$.
Ответ: первая электричка проезжала 1300 метров в минуту.

Выразите скорости электричек в километрах в час

Для перевода скоростей из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч) воспользуемся соотношениями: $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$ и $1 \text{ км} = 1000 \text{ метров}$.

Скорость первой электрички:
$v_1 = 1300 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{1300 \times 60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{78000}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 78 \text{ км/ч}$.

Скорость второй электрички:
$v_2 = 1200 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{1200 \times 60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72000}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость первой электрички равна 78 км/ч, а скорость второй — 72 км/ч.