Страница 265 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Назовите несколько предметов, которые имеют форму пирамиды.

Форму пирамиды имеют многие предметы, встречающиеся в архитектуре, быту, природе и даже в играх. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) — это многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной.

Вот несколько примеров таких предметов:

• Египетские пирамиды: Наиболее известный исторический и архитектурный пример сооружений в форме пирамиды.
• Крыша башни или пагоды: Многие архитектурные сооружения, особенно в восточном стиле, имеют крыши пирамидальной формы.
• Палатка: Некоторые виды туристических палаток имеют форму пирамиды для большей устойчивости.
• Чайный пакетик-пирамидка: Современный вид одноразовой упаковки для заваривания чая.
• Метроном: Классический механический метроном имеет корпус в виде усеченной пирамиды.
• Головоломка "Пирамидка Рубика" (Pyraminx): Популярная механическая головоломка, имеющая форму правильного тетраэдра (треугольной пирамиды).
• Упаковка: Некоторые виды упаковок, например для молока или сока (Tetra Classic Aseptic), представляют собой тетраэдр.

Ответ: Египетские пирамиды, крыша башни, палатка, чайный пакетик-пирамидка, метроном, головоломка "Пирамидка Рубика".

Найдите пирамиды на рисунках $11.2$ и $11.8$. Назовите их.

Для того чтобы найти и назвать пирамиды на указанных рисунках, необходимо понимать, что такое пирамида и как она классифицируется. Поскольку сами рисунки 11.2 и 11.8 не предоставлены, ниже приведено общее руководство для решения этой задачи.

Что такое пирамида?

Пирамида — это многогранник, основанием которого является многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольные грани — боковыми гранями.

Как называют пирамиды?

Название пирамиды зависит от вида многоугольника, который лежит в её основании.

• Если в основании лежит треугольник, то пирамида называется треугольной.
• Если в основании лежит четырёхугольник, то пирамида называется четырёхугольной.
• Если в основании лежит пятиугольник, то пирамида называется пятиугольной, и так далее.

В общем случае, если в основании лежит $n$-угольник, пирамида называется $n$-угольной. Пирамиду также можно назвать, перечислив её вершины, начиная с вершины пирамиды. Например, пирамида с вершиной $S$ и основанием $ABCD$ называется $SABCD$.

Алгоритм решения для ваших рисунков

1. Анализ рисунка 11.2

1. Рассмотрите геометрическое тело, изображенное на рисунке 11.2. Убедитесь, что оно является пирамидой (имеет одно многоугольное основание и боковые грани в виде треугольников, сходящихся в одной вершине).
2. Определите, какая фигура лежит в основании пирамиды. Посчитайте количество углов (или сторон) у этого многоугольника.
3. Назовите пирамиду в соответствии с формой её основания.

2. Анализ рисунка 11.8

1. Проделайте те же шаги для фигуры, изображенной на рисунке 11.8.
2. Определите тип многоугольника в её основании.
3. Дайте название этой пирамиде.

Пример выполнения (гипотетический)

Допустим, на рисунке 11.2 изображена пирамида с четырёхугольником в основании, а на рисунке 11.8 — пирамида с треугольником в основании. Тогда решение выглядело бы так:

На рисунке 11.2 изображена четырёхугольная пирамида.

На рисунке 11.8 изображена треугольная пирамида.

Ответ: На рисунке 11.2 изображена четырёхугольная пирамида, на рисунке 11.8 — треугольная пирамида. (Важно: это только пример. Вам нужно подставить названия, соответствующие вашим рисункам).

Сколько вершин у четырёхугольной пирамиды (см. рис. 11.43, в)? Сколько граней? Сколько рёбер?

а) б) в) г) Рис. 11.43

Рассмотрим четырёхугольную пирамиду, изображенную на рисунке 11.43, в). Это многогранник, основанием которого является четырёхугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

Сколько вершин?

Вершины пирамиды — это точки, в которых сходятся её рёбра. У четырёхугольной пирамиды есть 4 вершины в основании (углы четырёхугольника) и 1 вершина сверху (апекс). Таким образом, общее количество вершин равно: $4 + 1 = 5$.

Ответ: 5 вершин.

Сколько граней?

Грани — это плоские многоугольники, из которых состоит поверхность пирамиды. У четырёхугольной пирамиды есть 1 грань в основании (сам четырёхугольник) и 4 боковые грани (треугольники), каждая из которых образована одной из сторон основания и двумя рёбрами, идущими к вершине пирамиды. Общее количество граней равно: $1 + 4 = 5$.

Ответ: 5 граней.

Сколько рёбер?

Рёбра — это отрезки, по которым пересекаются грани пирамиды. В основании четырёхугольной пирамиды лежит четырёхугольник, у которого 4 ребра (стороны). Также есть 4 боковых ребра, которые соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Общее количество рёбер равно: $4 + 4 = 8$.

Ответ: 8 рёбер.

трапепт. Сколько ребер?

Вычислите площадь и периметр основания пирамиды Хеопса.

Для вычисления площади и периметра основания пирамиды Хеопса необходимо знать его форму и размеры. Основание этой пирамиды представляет собой почти идеальный квадрат. По данным исследований, первоначальная длина стороны основания составляла $a \approx 230,4$ метра.

Площадь основания

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле, где $a$ – длина его стороны:
$S = a^2$
Подставляем в формулу известное значение длины стороны:
$S = (230,4 \text{ м})^2 = 53084,16 \text{ м}^2$
Ответ: площадь основания пирамиды Хеопса составляет приблизительно 53084,16 м².

Периметр основания

Периметр квадрата ($P$) равен сумме длин всех его сторон и вычисляется по формуле:
$P = 4a$
Подставляем в формулу известное значение длины стороны:
$P = 4 \times 230,4 \text{ м} = 921,6 \text{ м}$
Ответ: периметр основания пирамиды Хеопса составляет приблизительно 921,6 м.

11.64 Ищем информацию Найдите информацию о других пирамидах Древнего Египта, о пирамидах американских племён майя и ацтеков.

Другие пирамиды Древнего Египта

Помимо всемирно известных пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина в Гизе, в Древнем Египте было построено множество других пирамид, которые знаменуют важные этапы в развитии архитектуры и инженерной мысли.

• Пирамида Джосера в Саккаре (около 2650 г. до н.э.): Это самая первая пирамида в Египте и первое в мире каменное монументальное сооружение. Построенная для фараона Джосера архитектором Имхотепом, она имеет ступенчатую форму. Изначально она была задумана как обычная мастаба (прямоугольная гробница), но в процессе строительства её несколько раз надстраивали, превратив в шестиступенчатую пирамиду высотой около 62 метров. Она стала революционным шагом в строительстве гробниц.
• Ломаная пирамида в Дахшуре (около 2600 г. до н.э.): Построенная для фараона Снофру (отца Хеопса), эта пирамида является уникальным примером ранних экспериментов по созданию пирамид с гладкими гранями. В процессе строительства угол наклона граней был изменён с 54° до 43°. Вероятно, это было сделано из-за опасений по поводу неустойчивости конструкции. В результате пирамида приобрела свою характерную "ломаную" форму.
• Розовая (Красная) пирамида в Дахшуре (около 2590 г. до н.э.): Эта пирамида, также построенная для фараона Снофру, считается первой в мире успешной попыткой возведения "настоящей" гладкогранной пирамиды. Она имеет правильную пирамидальную форму с углом наклона граней 43°. Своё название она получила из-за розоватого оттенка известняковых блоков, из которых она сложена. Её высота составляет около 105 метров.

Ответ: Важнейшими примерами других пирамид Древнего Египта являются ступенчатая пирамида Джосера, положившая начало монументальному каменному строительству, а также Ломаная и Розовая пирамиды фараона Снофру, демонстрирующие переход к созданию пирамид с гладкими гранями.

Пирамиды американских племён майя и ацтеков

Пирамиды доколумбовых цивилизаций Америки, в частности майя и ацтеков, существенно отличались от египетских. Они служили в первую очередь не гробницами, а массивными основаниями для храмов и алтарями для проведения религиозных ритуалов.

Пирамиды майя:

• Назначение и конструкция: Пирамиды майя были храмовыми комплексами и часто выполняли функции астрономических обсерваторий. Они представляли собой ступенчатые сооружения с крутыми лестницами, ведущими на вершину, где располагался храм. Хотя захоронения правителей в них встречаются, это не было их основной функцией.
• Пример: Пирамида Кукулькана (Эль-Кастильо) в Чичен-Ице. Это одна из самых известных пирамид майя. Она является воплощением календаря: у неё 4 лестницы, каждая из которых имеет 91 ступеньку. Общее количество ступеней, включая верхнюю платформу, составляет $4 \times 91 + 1 = 365$, что соответствует количеству дней в солнечном году.

Пирамиды ацтеков:

• Назначение и особенности: Пирамиды ацтеков служили центрами их религиозной жизни, на вершинах которых проводились ритуалы, включая массовые человеческие жертвоприношения, которые, по их верованиям, были необходимы для умиротворения богов. Часто они имели двойные лестницы, ведущие к двум храмам на вершине, посвящённым разным божествам.
• Пример: Темпло Майор в Теночтитлане. Это была главная пирамида столицы ацтеков, увенчанная двумя храмами: бога войны Уицилопочтли и бога дождя Тлалока. Ацтеки также почитали и использовали пирамиды более древнего города Теотиуакана (Пирамида Солнца и Пирамида Луны).

Ответ: Пирамиды майя и ацтеков были ступенчатыми храмами для религиозных ритуалов. Пирамиды майя часто были связаны с астрономией (например, пирамида Кукулькана), а пирамиды ацтеков (например, Темпло Майор) были известны как места человеческих жертвоприношений и часто имели двойные храмы.

11.65 Назовите каждую из пирамид, изображённых на рисунке 11.45, а—в. Назовите её основание и боковые грани. Начертите пирамиду в тетради.

a) Пирамида: $MABCD$. Основание: $ABCD$. Боковые грани: $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MCD$, $\triangle MDA$.

б) Пирамида: $OAMKD$. Основание: $AMKD$. Боковые грани: $\triangle OAM$, $\triangle OMK$, $\triangle OKD$, $\triangle ODA$.

в) Пирамида: $BACD$. Основание: $\triangle ACD$. Боковые грани: $\triangle BAC$, $\triangle BCD$, $\triangle BDA$.

Рис. 11.45

а) На изображении представлена четырехугольная пирамида с вершиной в точке M и основанием ABCD, поэтому ее название — MABCD. Основанием пирамиды является четырехугольник ABCD. Судя по клетчатой сетке, стороны AD и BC параллельны, следовательно, основание является трапецией. Боковыми гранями являются треугольники, образованные вершиной пирамиды и сторонами ее основания: $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MCD$ и $\triangle MDA$.
Ответ: На рисунке изображена четырехугольная пирамида MABCD. Основание — трапеция ABCD. Боковые грани — $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MCD$, $\triangle MDA$.

б) На изображении представлена шестиугольная пирамида с вершиной в точке O и основанием ABCDKM. Ее название — OABCDKM. Основанием пирамиды является шестиугольник ABCDKM. Боковыми гранями являются шесть треугольников, соединяющих вершину O со сторонами основания: $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODK$, $\triangle OKM$ и $\triangle OMA$.
Ответ: На рисунке изображена шестиугольная пирамида OABCDKM. Основание — шестиугольник ABCDKM. Боковые грани — $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODK$, $\triangle OKM$, $\triangle OMA$.

в) На изображении представлена треугольная пирамида (также называемая тетраэдром) с вершиной в точке B и основанием ACD. Ее название — BACD. Основанием пирамиды является треугольник ACD. Боковыми гранями являются треугольники, соединяющие вершину B со сторонами основания: $\triangle BAC$, $\triangle BCD$ и $\triangle BDA$.
Ответ: На рисунке изображена треугольная пирамида BACD. Основание — треугольник ACD. Боковые грани — $\triangle BAC$, $\triangle BCD$, $\triangle BDA$.

11.66 1) Сколько у пятиугольной пирамиды рёбер основания; боковых рёбер; всего рёбер? Сколько у неё боковых граней; всего граней; вершин?

2) Ответьте на те же вопросы для семиугольной пирамиды.

1)

Рассмотрим пятиугольную пирамиду. Пирамида называется n-угольной, если в её основании лежит n-угольник. Для пятиугольной пирамиды $n=5$.
- рёбер основания: Основанием является пятиугольник, у которого 5 сторон. Следовательно, у пирамиды 5 рёбер основания.
- боковых рёбер: Каждая из 5 вершин основания соединена с вершиной пирамиды (апексом), образуя боковое ребро. Таким образом, у пирамиды 5 боковых рёбер.
- всего рёбер: Общее количество рёбер — это сумма рёбер основания и боковых рёбер: $5 + 5 = 10$.
- боковых граней: Каждое ребро основания вместе с апексом образует боковую грань в форме треугольника. Так как рёбер основания 5, то и боковых граней 5.
- всего граней: Общее количество граней складывается из 5 боковых граней и 1 основания: $5 + 1 = 6$.
- вершин: У пирамиды 5 вершин в основании и 1 вершина сверху (апекс). Всего вершин: $5 + 1 = 6$.

Ответ: 5 рёбер основания; 5 боковых рёбер; 10 всего рёбер; 5 боковых граней; 6 всего граней; 6 вершин.

2)

Аналогично рассуждаем для семиугольной пирамиды. В её основании лежит семиугольник, следовательно, $n=7$.
- рёбер основания: В основании лежит семиугольник, у которого 7 сторон. Следовательно, у пирамиды 7 рёбер основания.
- боковых рёбер: Из каждой из 7 вершин основания выходит по одному боковому ребру к апексу. Таким образом, у пирамиды 7 боковых рёбер.
- всего рёбер: Общее количество рёбер равно сумме рёбер основания и боковых рёбер: $7 + 7 = 14$.
- боковых граней: Количество боковых граней равно количеству сторон основания, то есть 7.
- всего граней: Общее количество граней складывается из 7 боковых граней и 1 основания: $7 + 1 = 8$.
- вершин: У пирамиды 7 вершин в основании и 1 апекс. Всего вершин: $7 + 1 = 8$.

Ответ: 7 рёбер основания; 7 боковых рёбер; 14 всего рёбер; 7 боковых граней; 8 всего граней; 8 вершин.