Страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

а)

б)

Рис. 11.36

11.43 МОДЕЛИРУЕМ

а) Вылепите из пластилина куб с ребром $1$ см. Это кубический сантиметр. Возьмите какую-нибудь конфету и оцените на глаз, на сколько кубических сантиметров можно разрезать эту конфету (рис. 11.36, а). Выполните необходимые измерения (в см) и вычислите объём конфеты; сравните полученный результат с результатом оценки.

б) Изготовьте каркасную модель куба объёмом $1 \text{ дм}^3$. Как вы думаете, больше или меньше одного кубического дециметра составляет объём коробки с чайными пакетиками, измерения которой равны $6 \text{ см}$, $15 \text{ см}$, $16 \text{ см}$? Проверьте, выполнив вычисления.

в) Постройте в углу класса куб с ребром $1 \text{ м}$ (рис. 11.36, б). Как вы думаете, каков объём вашего класса? Вычислите его, выполнив необходимые измерения.

a) Для решения этой задачи нужно сначала оценить объём конфеты на глаз, а затем проверить оценку точным расчётом. Конфета на рисунке имеет форму, близкую к прямоугольному параллелепипеду.

1. Оценка на глаз. Кубический сантиметр — это куб с ребром 1 см. Предположим, что в длину конфеты укладывается примерно 3 таких кубика, в ширину — 2, а в высоту — около 1.5. Тогда примерный объём будет $3 \times 2 \times 1.5 = 9$ кубических сантиметров.

2. Измерение и вычисление. Допустим, мы измерили конфету и получили следующие размеры: длина $a = 3$ см, ширина $b = 2$ см, высота $c = 1,5$ см. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
Вычислим объём: $V = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot 1,5 \text{ см} = 6 \text{ см}^2 \cdot 1,5 \text{ см} = 9 \text{ см}^3$.

3. Сравнение. Расчётный объём (9 см³) совпал с нашей предварительной оценкой.
Ответ: Объём конфеты, вычисленный на основе предполагаемых измерений, равен 9 см³.

б) Чтобы сравнить объём коробки с 1 дм³, сначала переведём 1 дм³ в см³. Один кубический дециметр — это объём куба с ребром 1 дм. Так как 1 дм = 10 см, то объём куба в кубических сантиметрах равен: $V_{куба} = 1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$.

Теперь вычислим объём коробки с чайными пакетиками. Её измерения равны 6 см, 15 см и 16 см. Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, её объём ($V_{коробки}$) равен произведению измерений: $V_{коробки} = 6 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 90 \text{ см}^2 \cdot 16 \text{ см} = 1440 \text{ см}^3$.

Сравним объём коробки с 1 дм³: $1440 \text{ см}^3 > 1000 \text{ см}^3$. Таким образом, объём коробки больше одного кубического дециметра.
Ответ: Объём коробки с чайными пакетиками (1440 см³) больше одного кубического дециметра (1000 см³).

в) Для вычисления объёма класса необходимо измерить его длину, ширину и высоту. Так как реальные измерения невозможны, воспользуемся типичными размерами для школьного класса.

Предположим, что измерения класса следующие:

• Длина (a) = 8 м
• Ширина (b) = 6 м
• Высота (c) = 3 м

Классная комната представляет собой прямоугольный параллелепипед. Её объём ($V_{класса}$) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставим наши размеры в формулу: $V_{класса} = 8 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 48 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 144 \text{ м}^3$. Это означает, что в объём класса поместится 144 куба с ребром в 1 метр.
Ответ: Объём класса при условных размерах 8 м × 6 м × 3 м равен 144 м³.

11.44 Возьмите какую-нибудь коробочку, проведите необходимые измерения (в мм) и определите её объём.

Для выполнения этого задания необходимо выбрать любую коробку, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Это может быть, например, спичечный коробок, упаковка от чая, сока или обуви.

Далее, с помощью измерительного инструмента (например, линейки) следует измерить три основных параметра коробки: длину, ширину и высоту. Согласно условию, измерения нужно проводить в миллиметрах (мм).

Допустим, мы выбрали для измерений коробку и получили следующие результаты:
Длина ($a$) = 150 мм
Ширина ($b$) = 90 мм
Высота ($c$) = 45 мм

Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для расчёта объёма выглядит следующим образом:
$V = a \cdot b \cdot c$

Теперь подставим наши измеренные значения в формулу и произведём вычисление:
$V = 150 \text{ мм} \cdot 90 \text{ мм} \cdot 45 \text{ мм}$
Сначала перемножим длину и ширину:
$150 \cdot 90 = 13500 \text{ мм}^2$
Затем умножим полученный результат на высоту:
$V = 13500 \text{ мм}^2 \cdot 45 \text{ мм} = 607500 \text{ мм}^3$

Таким образом, объём выбранной коробочки составляет 607500 кубических миллиметров.

Ответ: объём коробочки с размерами 150 мм, 90 мм и 45 мм равен $607500 \text{ мм}^3$.

... бочку, проведите необходимые измерения (в мм) и определите её объём.

11.45 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Из кубиков с ребром 5 см сложили параллелепипед (рис. 11.37, а). Определите его измерения и объём.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы кубиков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

Рис. 11.37

2) Одинаковые бруски, из которых сложен параллелепипед, имеют измерения 8 см, 4 см, 2 см (рис. 11.37, б). Найдите объём параллелепипеда.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы соответствующих брусков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

1)

Сначала определим измерения полученного параллелепипеда. Он сложен из кубиков с ребром 5 см. По рисунку 11.37, а, видно, что:

• Длина параллелепипеда состоит из 4 кубиков: $4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
• Ширина параллелепипеда состоит из 3 кубиков: $3 \cdot 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.
• Высота параллелепипеда состоит из 2 кубиков: $2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 20 см, 15 см и 10 см.

Теперь вычислим объём двумя способами, как указано в задании.

а) Сложив объёмы кубиков.
Сначала найдём объём одного кубика с ребром $a = 5$ см.
$V_{кубика} = a^3 = 5^3 = 125 \text{ см}^3$.
Теперь посчитаем общее количество кубиков, из которых сложен параллелепипед:
$N = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ кубика.
Общий объём параллелепипеда равен сумме объёмов всех кубиков:
$V_{общий} = N \cdot V_{кубика} = 24 \cdot 125 = 3000 \text{ см}^3$.

б) Перемножив измерения параллелепипеда.
Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.
Используем найденные ранее измерения: $l = 20$ см, $w = 15$ см, $h = 10$ см.
$V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 300 \cdot 10 = 3000 \text{ см}^3$.
Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: измерения параллелепипеда: 20 см, 15 см, 10 см; объём: 3000 см³.

2)

Параллелепипед сложен из одинаковых брусков с измерениями 8 см, 4 см, 2 см. Вычислим его объём двумя способами.

а) Сложив объёмы соответствующих брусков.
Сначала найдём объём одного бруска:
$V_{бруска} = 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
По рисунку 11.37, б, видно, что параллелепипед сложен из трёх таких брусков.
Общий объём равен сумме объёмов трёх брусков:
$V_{общий} = 3 \cdot V_{бруска} = 3 \cdot 64 = 192 \text{ см}^3$.

б) Перемножив измерения параллелепипеда.
Чтобы найти измерения всего параллелепипеда, проанализируем, как уложены бруски.

• Высота: Брусок слева стоит вертикально, его высота равна наибольшему измерению, то есть 8 см. Два бруска справа уложены друг на друга по стороне 4 см, их общая высота также $4+4=8$ см. Значит, высота всего параллелепипеда - 8 см.
• Ширина: Слева стоит брусок, его ширина - 4 см. Справа стоят два бруска, их ширина - 2 см. Общая ширина $4+2=6$ см.
• Глубина: Глубина левого бруска - 2 см. Глубина правых брусков - 4 см. Чтобы получился правильный параллелепипед, глубина должна быть одинаковой по всей фигуре. Вероятно, рисунок схематичен. Исходя из того, что общий объём равен 192 см³, и одно из измерений (высота) равно 8 см, произведение двух других измерений должно быть $192 / 8 = 24 \text{ см}^2$. Это можно получить, если ширина равна 6 см, а глубина - 4 см. Такая конструкция может быть собрана из трёх брусков.

Итак, измерения большого параллелепипеда: 8 см, 6 см и 4 см.
Найдём его объём:
$V = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 48 \cdot 4 = 192 \text{ см}^3$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 192 см³.

11.46 Выразите:

а) в кубических дециметрах: $1 \text{ м}^3$, $4 \text{ м}^3$, $42 \text{ м}^3$;

б) в кубических сантиметрах: $1 \text{ дм}^3$, $3 \text{ дм}^3$, $2 \text{ м}^3$.

в) в кубических миллиметрах: $1 \text{ см}^3$, $5 \text{ см}^3$, $3 \text{ дм}^3$.

а) Чтобы выразить кубические метры в кубических дециметрах, необходимо знать, как соотносятся линейные единицы. В одном метре 10 дециметров.

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Для перевода единиц объема, это соотношение возводится в третью степень:

$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$

Исходя из этого, выполним преобразования:

$1 \text{ м}^3 = 1 \times 1000 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3$

$4 \text{ м}^3 = 4 \times 1000 \text{ дм}^3 = 4000 \text{ дм}^3$

$42 \text{ м}^3 = 42 \times 1000 \text{ дм}^3 = 42000 \text{ дм}^3$

Ответ: $1000 \text{ дм}^3$; $4000 \text{ дм}^3$; $42000 \text{ дм}^3$.

б) Чтобы выразить значения в кубических сантиметрах, используем следующие соотношения линейных единиц: в одном дециметре 10 сантиметров, а в одном метре 100 сантиметров.

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Для единиц объема:

$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$

$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$

Выполним преобразования:

$1 \text{ дм}^3 = 1 \times 1000 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$

$3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$

$2 \text{ м}^3 = 2 \times 1\;000\;000 \text{ см}^3 = 2\;000\;000 \text{ см}^3$

Ответ: $1000 \text{ см}^3$; $3000 \text{ см}^3$; $2\;000\;000 \text{ см}^3$.

в) Чтобы выразить значения в кубических миллиметрах, используем следующие соотношения: в одном сантиметре 10 миллиметров, а в одном дециметре 100 миллиметров.

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

$1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$

Для единиц объема:

$1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$

$1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 1\;000\;000 \text{ мм}^3$

Выполним преобразования:

$1 \text{ см}^3 = 1 \times 1000 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$

$5 \text{ см}^3 = 5 \times 1000 \text{ мм}^3 = 5000 \text{ мм}^3$

$3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1\;000\;000 \text{ мм}^3 = 3\;000\;000 \text{ мм}^3$

Ответ: $1000 \text{ мм}^3$; $5000 \text{ мм}^3$; $3\;000\;000 \text{ мм}^3$.

11.47 Заполните пропуски:

$1 \text{ м } 25 \text{ см} = \ldots \text{ см}$; $1 \text{ м}^2 25 \text{ см}^2 = \ldots \text{ см}^2$; $1 \text{ м}^3 25 \text{ см}^3 = \ldots \text{ см}^3$.

1 м 25 см = ... см

Чтобы выполнить это преобразование, необходимо перевести метры в сантиметры и сложить с уже имеющимися сантиметрами. В одном метре содержится 100 сантиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Следовательно:
$1 \text{ м } 25 \text{ см} = 1 \text{ м} + 25 \text{ см} = 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 125 \text{ см}$

Ответ: 125 см.

1 м² 25 см² = ... см²

Для перевода квадратных метров в квадратные сантиметры нужно вспомнить, сколько квадратных сантиметров в одном квадратном метре. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:
$1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10\,000 \text{ см}^2$
Теперь сложим значения:
$1 \text{ м}^2 25 \text{ см}^2 = 1 \text{ м}^2 + 25 \text{ см}^2 = 10\,000 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2 = 10\,025 \text{ см}^2$

Ответ: 10 025 см².

1 м³ 25 см³ = ... см³

Аналогично предыдущему пункту, переводим кубические метры в кубические сантиметры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то:
$1 \text{ м}^3 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 1\,000\,000 \text{ см}^3$
Сложим полученное значение с оставшимися кубическими сантиметрами:
$1 \text{ м}^3 25 \text{ см}^3 = 1 \text{ м}^3 + 25 \text{ см}^3 = 1\,000\,000 \text{ см}^3 + 25 \text{ см}^3 = 1\,000\,025 \text{ см}^3$

Ответ: 1 000 025 см³.