Номер 11.45, страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.3. Объём параллелепипеда. Глава 11. Многогранники - номер 11.45, страница 261.

... бочку, проведите необходимые измерения (в мм) и определите её объём.

11.45 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Из кубиков с ребром 5 см сложили параллелепипед (рис. 11.37, а). Определите его измерения и объём.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы кубиков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

Рис. 11.37

2) Одинаковые бруски, из которых сложен параллелепипед, имеют измерения 8 см, 4 см, 2 см (рис. 11.37, б). Найдите объём параллелепипеда.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы соответствующих брусков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

1)

Сначала определим измерения полученного параллелепипеда. Он сложен из кубиков с ребром 5 см. По рисунку 11.37, а, видно, что:

• Длина параллелепипеда состоит из 4 кубиков: $4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.
• Ширина параллелепипеда состоит из 3 кубиков: $3 \cdot 5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.
• Высота параллелепипеда состоит из 2 кубиков: $2 \cdot 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 20 см, 15 см и 10 см.

Теперь вычислим объём двумя способами, как указано в задании.

а) Сложив объёмы кубиков.
Сначала найдём объём одного кубика с ребром $a = 5$ см.
$V_{кубика} = a^3 = 5^3 = 125 \text{ см}^3$.
Теперь посчитаем общее количество кубиков, из которых сложен параллелепипед:
$N = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ кубика.
Общий объём параллелепипеда равен сумме объёмов всех кубиков:
$V_{общий} = N \cdot V_{кубика} = 24 \cdot 125 = 3000 \text{ см}^3$.

б) Перемножив измерения параллелепипеда.
Объём параллелепипеда вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.
Используем найденные ранее измерения: $l = 20$ см, $w = 15$ см, $h = 10$ см.
$V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 300 \cdot 10 = 3000 \text{ см}^3$.
Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: измерения параллелепипеда: 20 см, 15 см, 10 см; объём: 3000 см³.

2)

Параллелепипед сложен из одинаковых брусков с измерениями 8 см, 4 см, 2 см. Вычислим его объём двумя способами.

а) Сложив объёмы соответствующих брусков.
Сначала найдём объём одного бруска:
$V_{бруска} = 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
По рисунку 11.37, б, видно, что параллелепипед сложен из трёх таких брусков.
Общий объём равен сумме объёмов трёх брусков:
$V_{общий} = 3 \cdot V_{бруска} = 3 \cdot 64 = 192 \text{ см}^3$.

б) Перемножив измерения параллелепипеда.
Чтобы найти измерения всего параллелепипеда, проанализируем, как уложены бруски.

• Высота: Брусок слева стоит вертикально, его высота равна наибольшему измерению, то есть 8 см. Два бруска справа уложены друг на друга по стороне 4 см, их общая высота также $4+4=8$ см. Значит, высота всего параллелепипеда - 8 см.
• Ширина: Слева стоит брусок, его ширина - 4 см. Справа стоят два бруска, их ширина - 2 см. Общая ширина $4+2=6$ см.
• Глубина: Глубина левого бруска - 2 см. Глубина правых брусков - 4 см. Чтобы получился правильный параллелепипед, глубина должна быть одинаковой по всей фигуре. Вероятно, рисунок схематичен. Исходя из того, что общий объём равен 192 см³, и одно из измерений (высота) равно 8 см, произведение двух других измерений должно быть $192 / 8 = 24 \text{ см}^2$. Это можно получить, если ширина равна 6 см, а глубина - 4 см. Такая конструкция может быть собрана из трёх брусков.

Итак, измерения большого параллелепипеда: 8 см, 6 см и 4 см.
Найдём его объём:
$V = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 48 \cdot 4 = 192 \text{ см}^3$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 192 см³.