Страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.37 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вам необходимо изготовить из листа картона коробку (без крышки) для хранения гербария (рис. 11.30, а); высота коробки должна равняться 15 см, размеры одного листа гербария указаны на рисунке 11.30, б. Начертите в тетради эскиз развёртки коробки, приняв сторону клетки за 5 см. Укажите размеры листа картона, необходимого для этой развёртки.

а) б) 15 см

20 см

Рис. 11.30

Для изготовления коробки без крышки для хранения листов гербария, необходимо определить размеры её развёртки на листе картона.

1. Анализ исходных данных.
Согласно условию, коробка предназначена для хранения листов гербария, размеры которых, как показано на рисунке 11.30, б, составляют $15$ см на $20$ см. Это означает, что дно коробки должно иметь размеры не меньше $15 \times 20$ см. Примем эти размеры за основу. Высота коробки задана и равна $15$ см.

2. Описание развёртки.
Развёртка коробки без крышки представляет собой крестообразную фигуру, состоящую из пяти прямоугольников:

• Центральный прямоугольник — дно коробки. Его размеры: $20 \times 15$ см.
• Четыре боковых прямоугольника — стенки коробки, которые примыкают к каждой из сторон дна.
  • Две стенки, примыкающие к длинным сторонам дна, будут иметь размеры $20 \times 15$ см (длина дна × высота коробки).
  • Две стенки, примыкающие к коротким сторонам дна, будут иметь размеры $15 \times 15$ см (ширина дна × высота коробки).

3. Эскиз развёртки.
Для построения эскиза в тетради используем масштаб: сторона 1 клетки = 5 см. Переведем реальные размеры в клетки:

• Сторона 20 см: $20 \text{ см} \div 5 \text{ см/клетку} = 4$ клетки.
• Сторона 15 см: $15 \text{ см} \div 5 \text{ см/клетку} = 3$ клетки.

Эскиз будет выглядеть так: в центре расположен прямоугольник размером 4 на 3 клетки (дно). К его сторонам длиной в 4 клетки примыкают два прямоугольника размером 4 на 3 клетки (длинные стенки). К сторонам длиной в 3 клетки примыкают два квадрата размером 3 на 3 клетки (короткие стенки).

4. Расчёт размеров листа картона.
Чтобы найти габаритные размеры листа картона, необходимо сложить размеры частей развёртки по длине и ширине.

• Общая длина листа картона: складывается из высоты одной боковой стенки, длины дна и высоты противоположной боковой стенки.
  $L = 15 \text{ см (высота)} + 20 \text{ см (длина дна)} + 15 \text{ см (высота)} = 50 \text{ см}$.
• Общая ширина листа картона: складывается из высоты одной боковой стенки, ширины дна и высоты противоположной боковой стенки.
  $W = 15 \text{ см (высота)} + 15 \text{ см (ширина дна)} + 15 \text{ см (высота)} = 45 \text{ см}$.

Следовательно, для изготовления развёртки потребуется лист картона с минимальными размерами $50 \times 45$ см.

Ответ: для развёртки коробки необходим лист картона размером $50 \times 45$ см.

11.38 Найдите значение выражения

$2 \cdot 1\frac{5}{12} + 4 \cdot 1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4}$

Для того чтобы найти значение выражения, сначала выполним все действия умножения, а затем сложения. Перед этим преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби.

1. Преобразование смешанных чисел:

$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

2. Выполнение умножения:

Первое слагаемое: $2 \cdot 1\frac{5}{12} = 2 \cdot \frac{17}{12} = \frac{2 \cdot 17}{12} = \frac{34}{12}$. Сокращаем дробь на 2, получаем $\frac{17}{6}$.

Второе слагаемое: $4 \cdot 1\frac{1}{8} = 4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{8} = \frac{36}{8}$. Сокращаем дробь на 4, получаем $\frac{9}{2}$.

Третье слагаемое: $1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{10}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10 \cdot 5}{9 \cdot 4} = \frac{50}{36}$. Сокращаем дробь на 2, получаем $\frac{25}{18}$.

3. Выполнение сложения:

Теперь сложим полученные дроби: $\frac{17}{6} + \frac{9}{2} + \frac{25}{18}$.

Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6, 2 и 18 это 18.

$\frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{51}{18}$

$\frac{9}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{81}{18}$

Теперь сложим все дроби:

$\frac{51}{18} + \frac{81}{18} + \frac{25}{18} = \frac{51 + 81 + 25}{18} = \frac{157}{18}$.

4. Преобразование результата в смешанное число:

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{157}{18}$ в смешанное число, разделим числитель на знаменатель с остатком:

$157 \div 18 = 8$ (остаток $13$), так как $8 \cdot 18 = 144$ и $157 - 144 = 13$.

Таким образом, получаем $8\frac{13}{18}$.

Ответ: $8\frac{13}{18}$.

11.39 Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста равна $40 \text{ км/ч}$, велосипедиста – $12 \text{ км/ч}$. Какое расстояние будет между ними:

а) через $1 \text{ ч}$;

б) через $2 \text{ ч}$;

в) через $3 \text{ ч}$?

Для решения этой задачи сначала определим скорость, с которой мотоциклист удаляется от велосипедиста. Поскольку они стартовали из одного пункта и движутся в одном направлении, эта скорость называется скоростью удаления и равна разности их скоростей.

1. Вычислим скорость удаления ($v_{уд}$):

$v_{уд} = v_{мотоциклиста} - v_{велосипедиста} = 40 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$

Это значит, что за каждый час расстояние между ними увеличивается на 28 километров. Теперь мы можем рассчитать расстояние для каждого указанного временного интервала по формуле $S = v_{уд} \cdot t$.

а)

Рассчитаем расстояние через 1 час ($t = 1$ ч):

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 28 \text{ км}$

Ответ: 28 км.

б)

Рассчитаем расстояние через 2 часа ($t = 2$ ч):

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 56 \text{ км}$

Ответ: 56 км.

в)

Рассчитаем расстояние через 3 часа ($t = 3$ ч):

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 84 \text{ км}$

Ответ: 84 км.

11.40 Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов, по 6 пачек в каждом. Определите массу (в килограммах) печенья, сложенного в ящик.

Для решения задачи нужно последовательно вычислить общее количество пачек печенья в ящике, а затем их общую массу.

1. Сначала определим, сколько пачек печенья находится в одном слое. Для этого умножим количество рядов на количество пачек в каждом ряду.

$5 \text{ рядов} \times 6 \text{ пачек/ряд} = 30 \text{ пачек}$

Таким образом, в одном слое находится 30 пачек печенья.

2. Далее найдем общее количество пачек в ящике. Для этого умножим количество пачек в одном слое на общее количество слоев.

$30 \text{ пачек/слой} \times 4 \text{ слоя} = 120 \text{ пачек}$

Всего в ящике 120 пачек печенья.

3. Теперь вычислим общую массу печенья в граммах. Умножим общее количество пачек на массу одной пачки.

$120 \text{ пачек} \times 250 \text{ г/пачка} = 30000 \text{ г}$

Общая масса печенья составляет 30000 граммов.

4. В задаче требуется указать массу в килограммах. Переведем граммы в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

$30000 \text{ г} \div 1000 = 30 \text{ кг}$

Ответ: 30 кг.