Страница 267 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

11.72 НАБЛЮДАЕМ Многогранник разрезали на две пирамиды (рис. 11.49). Назовите основание и вершину каждой из получившихся пирамид.

Пирамида 1:

Основание: $DEK$

Вершина: $A$

Пирамида 2:

Основание: $BCKE$

Вершина: $A$

Рис. 11.49

На изображении показан многогранник, который представляет собой треугольную призму с верхним основанием $ABC$ и нижним основанием $DKE$. Призму разрезали по плоскости, проходящей через точки $A, K, E$. В результате этого сечения призма разделилась на две пирамиды.

Для первой пирамиды
Первая полученная фигура — это треугольная пирамида (также известная как тетраэдр) с вершинами в точках $A, D, K, E$. В качестве основания этой пирамиды логично выбрать треугольник $DKE$, так как он является основанием исходной призмы. Тогда вершиной, противолежащей этому основанию, будет точка $A$.
Ответ: основание — треугольник $DKE$, вершина — точка $A$.

Для второй пирамиды
Вторая фигура — это четырехугольная пирамида с вершинами $A, B, C, K, E$. Ее основанием является четырехугольник $BCEK$, который представляет собой одну из боковых граней исходной призмы. Все боковые ребра этой пирамиды ($AB, AC, AE, AK$) соединяют вершины основания с одной общей точкой $A$, которая и является вершиной пирамиды.
Ответ: основание — четырехугольник $BCEK$, вершина — точка $A$.

11.73 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Скопируйте рисунок 11.50 в тетрадь и дорисуйте его до: а) треугольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды.

2) Представьте, что у многогранника, изображённого на рисунке 11.50, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число рёбер?

Рис. 11.50

1)

а) треугольной пирамиды

Чтобы достроить фигуру, изображенную на рисунке 11.50, до треугольной пирамиды, необходимо вспомнить её свойства. Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 вершины и 6 рёбер. На рисунке показаны 4 вершины, которые соединены 5 рёбрами. Следовательно, для получения каркаса полной треугольной пирамиды не хватает одного ребра. Нужно соединить ребром две вершины, которые еще не соединены, — левую и правую.

Ответ: Необходимо добавить одно ребро, соединяющее левую и правую вершины фигуры.

б) четырёхугольной пирамиды

Четырёхугольная пирамида имеет 5 вершин (4 в основании и 1 вершина-апекс) и 8 рёбер. На исходном рисунке изображено только 4 вершины. Чтобы достроить его до четырёхугольной пирамиды, нужно добавить недостающие элементы.
Представим, что верхняя точка на рисунке — это апекс пирамиды, а три другие (левая, нижняя и правая) — это три из четырёх вершин её основания. Тогда необходимо выполнить следующие действия:
1. Добавить пятую вершину, которая станет четвёртой вершиной основания.
2. Соединить эту новую вершину рёбрами с двумя соседними вершинами основания (например, с левой и правой).
3. Соединить новую вершину ребром с апексом пирамиды (верхней точкой).
В результате будет добавлена 1 новая вершина и 3 новых ребра.

Ответ: Необходимо добавить пятую вершину и 3 ребра, которые соединят эту вершину с тремя уже существующими вершинами.

2)

Нам нужно найти, сколько существует многогранников с 5 вершинами, имеющих различное число рёбер. Будем рассматривать выпуклые многогранники, для которых выполняются определённые соотношения между числом вершин ($V$), рёбер ($E$) и граней ($F$).

По условию, число вершин $V = 5$.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $V - E + F = 2$.
Подставив $V = 5$, получаем: $5 - E + F = 2$, откуда следует, что $F = E - 3$.

Также для выпуклых многогранников верны следующие утверждения, вытекающие из их строения:
1. Из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро соединяет две вершины, сумма степеней всех вершин равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3V$.
2. Каждая грань имеет не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, сумма числа рёбер всех граней равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3F$.

Используем первое неравенство, подставив $V=5$:
$2E \ge 3 \cdot 5 \implies 2E \ge 15 \implies E \ge 7.5$.
Так как число рёбер $E$ должно быть целым, то $E \ge 8$.

Теперь используем второе неравенство, подставив в него $F = E - 3$:
$2E \ge 3F \implies 2E \ge 3(E - 3) \implies 2E \ge 3E - 9 \implies 9 \ge E$.

Объединяя полученные результаты, мы видим, что число рёбер $E$ для многогранника с 5 вершинами должно удовлетворять условию $8 \le E \le 9$.
Следовательно, существует всего два возможных целых значения для числа рёбер: 8 или 9.

Случай 1: $E = 8$.
При $V = 5$ и $E = 8$ число граней $F = E - 3 = 8 - 3 = 5$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=8, F=5$) является четырёхугольная пирамида.

Случай 2: $E = 9$.
При $V = 5$ и $E = 9$ число граней $F = E - 3 = 9 - 3 = 6$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=9, F=6$) является треугольная бипирамида (тело, составленное из двух тетраэдров, соединённых по общей грани).

Таким образом, можно придумать два многогранника с пятью вершинами, у которых будет разное число рёбер.

Ответ: Можно придумать 2 многогранника с пятью вершинами и разным числом рёбер (один с 8 рёбрами, другой с 9 рёбрами).

11.74 РАССУЖДАЕМ

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Для решения задач воспользуемся формулами для n-угольной пирамиды, где $n$ — число вершин (и сторон) многоугольника в основании.

• Число вершин (В): $n$ вершин в основании + 1 вершина (апекс) = $n + 1$
• Число рёбер (Р): $n$ рёбер в основании + $n$ боковых рёбер = $2n$
• Число граней (Г): 1 грань основания + $n$ боковых граней = $n + 1$

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

Общее число вершин пирамиды (В) вычисляется по формуле $В = n + 1$. По условию $В = 1883$.

Составим и решим уравнение:

$n + 1 = 1883$

$n = 1883 - 1$

$n = 1882$

Число вершин в основании равно $n$, то есть 1882.

Ответ: 1882 вершины.

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

Общее число рёбер пирамиды (Р) вычисляется по формуле $Р = 2n$. По условию $Р = 1800$.

Составим и решим уравнение:

$2n = 1800$

$n = 1800 / 2$

$n = 900$

В основании пирамиды лежит 900-угольник. Следовательно, это 900-угольная пирамида.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

Общее число граней пирамиды (Г) вычисляется по формуле $Г = n + 1$. По условию $Г = 28$.

Составим и решим уравнение:

$n + 1 = 28$

$n = 28 - 1$

$n = 27$

Теперь найдём число вершин (В) по формуле $В = n + 1$:

$В = 27 + 1 = 28$

У пирамиды 28 вершин. (Примечание: у любой пирамиды число вершин равно числу граней).

Ответ: 28 вершин.

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

Число рёбер любой n-угольной пирамиды равно $2n$. Это означает, что число рёбер всегда должно быть чётным числом, так как $n$ (количество сторон многоугольника в основании) является целым числом ($n \ge 3$).

Число 1999 является нечётным, поэтому не может быть представлено в виде $2n$, где $n$ — целое.

$1999 / 2 = 999.5$

Следовательно, пирамиды с 1999 рёбрами не существует.

Ответ: нет, не существует.

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число рёбер $Р = 2n$, а число вершин $В = n + 1$.

По условию, $Р + В = 25$. Подставим формулы:

$(2n) + (n + 1) = 25$

$3n + 1 = 25$

$3n = 24$

$n = 8$

В основании пирамиды лежит восьмиугольник, значит, это восьмиугольная пирамида.

Ответ: восьмиугольная пирамида.

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число вершин $В = n + 1$, число рёбер $Р = 2n$ и число граней $Г = n + 1$.

По условию, $В + Р + Г = 26$. Подставим формулы:

$(n + 1) + (2n) + (n + 1) = 26$

$4n + 2 = 26$

$4n = 24$

$n = 6$

В основании пирамиды лежит шестиугольник, значит, это шестиугольная пирамида.

Ответ: шестиугольная пирамида.

11.75 Найдите значение выражения

$4 - \left(\frac{41}{84} - \frac{5}{21}\right) + 7 \frac{11}{30}$.

Для нахождения значения выражения выполним действия по порядку: сначала действия в скобках, затем вычитание и сложение слева направо.

1. Выполним действие в скобках: $\frac{41}{84} - \frac{5}{21}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 84 и 21 равно 84.

Приведем дробь $\frac{5}{21}$ к знаменателю 84, домножив ее числитель и знаменатель на 4:

$\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{20}{84}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{41}{84} - \frac{20}{84} = \frac{41 - 20}{84} = \frac{21}{84}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 21:

$\frac{21 \div 21}{84 \div 21} = \frac{1}{4}$

2. Подставим полученное значение в исходное выражение

Выражение принимает вид:

$4 - \frac{1}{4} + 7\frac{11}{30}$

3. Выполним оставшиеся действия слева направо

Сначала вычитание: $4 - \frac{1}{4}$.

$4 - \frac{1}{4} = 3\frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$

Теперь сложение: $3\frac{3}{4} + 7\frac{11}{30}$.

Сложим целые части: $3 + 7 = 10$.

Сложим дробные части: $\frac{3}{4} + \frac{11}{30}$.

Найдем общий знаменатель для 4 и 30. НОК(4, 30) = 60.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$

$\frac{11}{30} = \frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{22}{60}$

$\frac{45}{60} + \frac{22}{60} = \frac{45 + 22}{60} = \frac{67}{60}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{67}{60} = 1\frac{7}{60}$.

4. Сложим целую и дробную части, полученные на предыдущем шаге

$10 + 1\frac{7}{60} = 11\frac{7}{60}$

Ответ: $11\frac{7}{60}$

11.76 Какие цифры можно подставить вместо звездочки, чтобы полученное неравенство было верным:

а) $0,345 < 0,3*5;$

б) $1*,52 < 14,52;$

в) $2,*6 < 2,17?$

а)

Рассмотрим неравенство $0,345 < 0,3*5$.
При сравнении десятичных дробей мы сравниваем цифры по разрядам, двигаясь слева направо.
1. Сравниваем целые части: $0 = 0$.
2. Сравниваем разряд десятых: $3 = 3$.
3. Сравниваем разряд сотых: слева стоит цифра 4, а справа — звездочка (*).
Чтобы неравенство было верным, число справа должно быть больше числа слева. Поскольку предыдущие разряды равны, цифра в разряде сотых у правого числа должна быть больше или равна цифре в разряде сотых у левого числа.
Если вместо звездочки поставить цифру, меньшую 4 (0, 1, 2, 3), то неравенство будет неверным. Например, $0,345 < 0,335$ — неверно.
Если вместо звездочки поставить 4, то получится $0,345 < 0,345$, что также неверно, так как числа равны.
Следовательно, цифра, стоящая на месте звездочки, должна быть строго больше 4. Это цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Проверим: $0,345 < 0,355$ — верно. $0,345 < 0,395$ — верно.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

б)

Рассмотрим неравенство $1*,52 < 14,52$.
Сначала сравним целые части чисел: $1*$ и $14$. Дробные части у чисел одинаковы (52).
Чтобы неравенство было верным, целая часть числа слева ($1*$) должна быть меньше целой части числа справа (14).
$1*$ — это двузначное число, которое начинается с 1. Переберем возможные цифры вместо звездочки:
- Если $* = 0$, то $10 < 14$. Верно.
- Если $* = 1$, то $11 < 14$. Верно.
- Если $* = 2$, то $12 < 14$. Верно.
- Если $* = 3$, то $13 < 14$. Верно.
- Если $* = 4$, то $14 < 14$. Неверно, так как числа равны.
- Если $* > 4$, то целая часть слева будет больше 14, и неравенство будет неверным. Например, $15 < 14$ — неверно.
Следовательно, вместо звездочки можно подставить цифры 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

в)

Рассмотрим неравенство $2,*6 < 2,17$.
Сравниваем цифры по разрядам, двигаясь слева направо.
1. Сравниваем целые части: $2 = 2$.
2. Сравниваем разряд десятых: слева стоит звездочка (*), а справа — 1.
Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть меньше числа справа. Рассмотрим два случая:
- Случай 1: Цифра в разряде десятых слева меньше цифры в разряде десятых справа. То есть, $* < 1$. Единственная цифра, которая удовлетворяет этому условию, — это 0. Если $* = 0$, получаем $2,06 < 2,17$. Это верное неравенство, так как $0 < 1$.
- Случай 2: Цифры в разряде десятых равны. То есть, $* = 1$. Тогда мы должны сравнить следующий разряд — сотые. Получаем $2,16 < 2,17$. Сравниваем сотые: $6 < 7$. Это верное неравенство.
- Если $* > 1$ (например, $* = 2$), то получим $2,26 < 2,17$. Это неверно, так как в разряде десятых $2 > 1$.
Следовательно, вместо звездочки можно подставить цифры 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

11.77 Занятия в школе длятся $6\frac{2}{3}$ ч, причём $\frac{1}{8}$ этого времени отводится на перемены. Сколько времени отводится на перемены? Выразите ответ в часах, а затем в минутах.

Чтобы найти, сколько времени отводится на перемены, нужно найти $\frac{1}{8}$ от общей продолжительности занятий, которая составляет $6\frac{2}{3}$ часа.

Выразим ответ в часах
1. Сначала представим смешанное число $6\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:
$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.
2. Теперь умножим общее время на долю, отведённую на перемены, чтобы найти, сколько часов длятся перемены:
$\frac{20}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{20 \cdot 1}{3 \cdot 8} = \frac{20}{24}$ часа.
3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{20}{24} = \frac{20 \div 4}{24 \div 4} = \frac{5}{6}$ часа.
Ответ: $\frac{5}{6}$ часа.

Выразим ответ в минутах
Чтобы перевести часы в минуты, нужно умножить полученное значение в часах на 60, так как в 1 часе 60 минут.
$\frac{5}{6} \cdot 60 = \frac{5 \cdot 60}{6} = 5 \cdot 10 = 50$ минут.
Ответ: 50 минут.

11.78 Из городов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли скорый и пассажирский поезд. Через 2 ч поезда встретились, а ещё через 3 ч пассажирский поезд прибыл в город $B$. Определите скорость скорого поезда, если скорость пассажирского равна $60 \text{ км/ч}$.

Обозначим искомое значение скорости скорого поезда как $v_с$, а скорость пассажирского поезда как $v_п$. По условию, $v_п = 60 \text{ км/ч}$.

Поскольку пассажирский поезд прибыл в город В, это означает, что он начал свое движение из города А. Скорый поезд двигался ему навстречу, следовательно, он выехал из города В.

1. Найдем общее время, которое пассажирский поезд затратил на весь путь из города А в город В. Он был в пути 2 часа до встречи и еще 3 часа после встречи. Таким образом, общее время движения пассажирского поезда составляет:
$t_п = 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

2. Теперь мы можем вычислить расстояние $S$ между городами А и В, зная скорость пассажирского поезда и общее время его движения:
$S = v_п \cdot t_п = 60 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

3. Поезда встретились через 2 часа. За это время они совместно преодолели всё расстояние между городами. Расстояние, которое проехал скорый поезд до встречи ($S_с$), равно общему расстоянию $S$ за вычетом расстояния, которое проехал за это же время пассажирский поезд ($S_п$).

Найдем расстояние, которое проехал пассажирский поезд до встречи:
$S_п = v_п \cdot 2 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

Теперь найдем расстояние, которое проехал скорый поезд до встречи:
$S_с = S - S_п = 300 \text{ км} - 120 \text{ км} = 180 \text{ км}$

4. Скорый поезд проехал 180 км за 2 часа (время до встречи). Следовательно, его скорость равна:
$v_с = \frac{S_с}{2 \text{ ч}} = \frac{180 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч}$

Ответ: 90 км/ч.

11.79 В 9 одинаковых коробок разложили 108 фломастеров. Сколько потребуется фломастеров, чтобы разложить их в 27 таких же коробок?

Чтобы решить эту задачу, необходимо сначала определить, сколько фломастеров находится в одной коробке. Затем это количество нужно умножить на новое число коробок.

1. Найдем количество фломастеров в одной коробке. Для этого разделим общее количество фломастеров на количество коробок:

$108 \div 9 = 12$ (фломастеров в одной коробке).

2. Теперь вычислим, сколько всего фломастеров потребуется для 27 таких же коробок. Для этого умножим количество фломастеров в одной коробке на 27:

$12 \times 27 = 324$ (фломастера).

Также задачу можно решить с помощью пропорции. Поскольку количество коробок увеличилось в $27 \div 9 = 3$ раза, то и количество фломастеров должно увеличиться во столько же раз:

$108 \times 3 = 324$ (фломастера).

Ответ: 324 фломастера.