Номер 11.74, страница 267 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.4. Пирамида. Глава 11. Многогранники - номер 11.74, страница 267.

11.74 РАССУЖДАЕМ

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Для решения задач воспользуемся формулами для n-угольной пирамиды, где $n$ — число вершин (и сторон) многоугольника в основании.

• Число вершин (В): $n$ вершин в основании + 1 вершина (апекс) = $n + 1$
• Число рёбер (Р): $n$ рёбер в основании + $n$ боковых рёбер = $2n$
• Число граней (Г): 1 грань основания + $n$ боковых граней = $n + 1$

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

Общее число вершин пирамиды (В) вычисляется по формуле $В = n + 1$. По условию $В = 1883$.

Составим и решим уравнение:

$n + 1 = 1883$

$n = 1883 - 1$

$n = 1882$

Число вершин в основании равно $n$, то есть 1882.

Ответ: 1882 вершины.

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

Общее число рёбер пирамиды (Р) вычисляется по формуле $Р = 2n$. По условию $Р = 1800$.

Составим и решим уравнение:

$2n = 1800$

$n = 1800 / 2$

$n = 900$

В основании пирамиды лежит 900-угольник. Следовательно, это 900-угольная пирамида.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

Общее число граней пирамиды (Г) вычисляется по формуле $Г = n + 1$. По условию $Г = 28$.

Составим и решим уравнение:

$n + 1 = 28$

$n = 28 - 1$

$n = 27$

Теперь найдём число вершин (В) по формуле $В = n + 1$:

$В = 27 + 1 = 28$

У пирамиды 28 вершин. (Примечание: у любой пирамиды число вершин равно числу граней).

Ответ: 28 вершин.

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

Число рёбер любой n-угольной пирамиды равно $2n$. Это означает, что число рёбер всегда должно быть чётным числом, так как $n$ (количество сторон многоугольника в основании) является целым числом ($n \ge 3$).

Число 1999 является нечётным, поэтому не может быть представлено в виде $2n$, где $n$ — целое.

$1999 / 2 = 999.5$

Следовательно, пирамиды с 1999 рёбрами не существует.

Ответ: нет, не существует.

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число рёбер $Р = 2n$, а число вершин $В = n + 1$.

По условию, $Р + В = 25$. Подставим формулы:

$(2n) + (n + 1) = 25$

$3n + 1 = 25$

$3n = 24$

$n = 8$

В основании пирамиды лежит восьмиугольник, значит, это восьмиугольная пирамида.

Ответ: восьмиугольная пирамида.

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число вершин $В = n + 1$, число рёбер $Р = 2n$ и число граней $Г = n + 1$.

По условию, $В + Р + Г = 26$. Подставим формулы:

$(n + 1) + (2n) + (n + 1) = 26$

$4n + 2 = 26$

$4n = 24$

$n = 6$

В основании пирамиды лежит шестиугольник, значит, это шестиугольная пирамида.

Ответ: шестиугольная пирамида.