Номер 11.73, страница 267 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.4. Пирамида. Глава 11. Многогранники - номер 11.73, страница 267.

11.73 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Скопируйте рисунок 11.50 в тетрадь и дорисуйте его до: а) треугольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды.

2) Представьте, что у многогранника, изображённого на рисунке 11.50, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число рёбер?

Рис. 11.50

1)

а) треугольной пирамиды

Чтобы достроить фигуру, изображенную на рисунке 11.50, до треугольной пирамиды, необходимо вспомнить её свойства. Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 вершины и 6 рёбер. На рисунке показаны 4 вершины, которые соединены 5 рёбрами. Следовательно, для получения каркаса полной треугольной пирамиды не хватает одного ребра. Нужно соединить ребром две вершины, которые еще не соединены, — левую и правую.

Ответ: Необходимо добавить одно ребро, соединяющее левую и правую вершины фигуры.

б) четырёхугольной пирамиды

Четырёхугольная пирамида имеет 5 вершин (4 в основании и 1 вершина-апекс) и 8 рёбер. На исходном рисунке изображено только 4 вершины. Чтобы достроить его до четырёхугольной пирамиды, нужно добавить недостающие элементы.
Представим, что верхняя точка на рисунке — это апекс пирамиды, а три другие (левая, нижняя и правая) — это три из четырёх вершин её основания. Тогда необходимо выполнить следующие действия:
1. Добавить пятую вершину, которая станет четвёртой вершиной основания.
2. Соединить эту новую вершину рёбрами с двумя соседними вершинами основания (например, с левой и правой).
3. Соединить новую вершину ребром с апексом пирамиды (верхней точкой).
В результате будет добавлена 1 новая вершина и 3 новых ребра.

Ответ: Необходимо добавить пятую вершину и 3 ребра, которые соединят эту вершину с тремя уже существующими вершинами.

2)

Нам нужно найти, сколько существует многогранников с 5 вершинами, имеющих различное число рёбер. Будем рассматривать выпуклые многогранники, для которых выполняются определённые соотношения между числом вершин ($V$), рёбер ($E$) и граней ($F$).

По условию, число вершин $V = 5$.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $V - E + F = 2$.
Подставив $V = 5$, получаем: $5 - E + F = 2$, откуда следует, что $F = E - 3$.

Также для выпуклых многогранников верны следующие утверждения, вытекающие из их строения:
1. Из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро соединяет две вершины, сумма степеней всех вершин равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3V$.
2. Каждая грань имеет не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, сумма числа рёбер всех граней равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3F$.

Используем первое неравенство, подставив $V=5$:
$2E \ge 3 \cdot 5 \implies 2E \ge 15 \implies E \ge 7.5$.
Так как число рёбер $E$ должно быть целым, то $E \ge 8$.

Теперь используем второе неравенство, подставив в него $F = E - 3$:
$2E \ge 3F \implies 2E \ge 3(E - 3) \implies 2E \ge 3E - 9 \implies 9 \ge E$.

Объединяя полученные результаты, мы видим, что число рёбер $E$ для многогранника с 5 вершинами должно удовлетворять условию $8 \le E \le 9$.
Следовательно, существует всего два возможных целых значения для числа рёбер: 8 или 9.

Случай 1: $E = 8$.
При $V = 5$ и $E = 8$ число граней $F = E - 3 = 8 - 3 = 5$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=8, F=5$) является четырёхугольная пирамида.

Случай 2: $E = 9$.
При $V = 5$ и $E = 9$ число граней $F = E - 3 = 9 - 3 = 6$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=9, F=6$) является треугольная бипирамида (тело, составленное из двух тетраэдров, соединённых по общей грани).

Таким образом, можно придумать два многогранника с пятью вершинами, у которых будет разное число рёбер.

Ответ: Можно придумать 2 многогранника с пятью вершинами и разным числом рёбер (один с 8 рёбрами, другой с 9 рёбрами).