Номер 11.73, страница 267 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.4. Пирамида. Упражнения - номер 11.73, страница 267.

Условие.

11.73 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Скопируйте рисунок 11.50 в тетрадь и дорисуйте его до: а) треугольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды.

2) Представьте, что у многогранника, изображённого на рисунке 11.50, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число рёбер?

Рис. 11.50

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

а) треугольной пирамиды

Чтобы достроить фигуру, изображенную на рисунке 11.50, до треугольной пирамиды, необходимо вспомнить её свойства. Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет 4 вершины и 6 рёбер. На рисунке показаны 4 вершины, которые соединены 5 рёбрами. Следовательно, для получения каркаса полной треугольной пирамиды не хватает одного ребра. Нужно соединить ребром две вершины, которые еще не соединены, — левую и правую.

Ответ: Необходимо добавить одно ребро, соединяющее левую и правую вершины фигуры.

б) четырёхугольной пирамиды

Четырёхугольная пирамида имеет 5 вершин (4 в основании и 1 вершина-апекс) и 8 рёбер. На исходном рисунке изображено только 4 вершины. Чтобы достроить его до четырёхугольной пирамиды, нужно добавить недостающие элементы.
Представим, что верхняя точка на рисунке — это апекс пирамиды, а три другие (левая, нижняя и правая) — это три из четырёх вершин её основания. Тогда необходимо выполнить следующие действия:
1. Добавить пятую вершину, которая станет четвёртой вершиной основания.
2. Соединить эту новую вершину рёбрами с двумя соседними вершинами основания (например, с левой и правой).
3. Соединить новую вершину ребром с апексом пирамиды (верхней точкой).
В результате будет добавлена 1 новая вершина и 3 новых ребра.

Ответ: Необходимо добавить пятую вершину и 3 ребра, которые соединят эту вершину с тремя уже существующими вершинами.

2)

Нам нужно найти, сколько существует многогранников с 5 вершинами, имеющих различное число рёбер. Будем рассматривать выпуклые многогранники, для которых выполняются определённые соотношения между числом вершин ($V$), рёбер ($E$) и граней ($F$).

По условию, число вершин $V = 5$.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $V - E + F = 2$.
Подставив $V = 5$, получаем: $5 - E + F = 2$, откуда следует, что $F = E - 3$.

Также для выпуклых многогранников верны следующие утверждения, вытекающие из их строения:
1. Из каждой вершины выходит не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро соединяет две вершины, сумма степеней всех вершин равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3V$.
2. Каждая грань имеет не менее трёх рёбер. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, сумма числа рёбер всех граней равна $2E$. Таким образом, $2E \ge 3F$.

Используем первое неравенство, подставив $V=5$:
$2E \ge 3 \cdot 5 \implies 2E \ge 15 \implies E \ge 7.5$.
Так как число рёбер $E$ должно быть целым, то $E \ge 8$.

Теперь используем второе неравенство, подставив в него $F = E - 3$:
$2E \ge 3F \implies 2E \ge 3(E - 3) \implies 2E \ge 3E - 9 \implies 9 \ge E$.

Объединяя полученные результаты, мы видим, что число рёбер $E$ для многогранника с 5 вершинами должно удовлетворять условию $8 \le E \le 9$.
Следовательно, существует всего два возможных целых значения для числа рёбер: 8 или 9.

Случай 1: $E = 8$.
При $V = 5$ и $E = 8$ число граней $F = E - 3 = 8 - 3 = 5$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=8, F=5$) является четырёхугольная пирамида.

Случай 2: $E = 9$.
При $V = 5$ и $E = 9$ число граней $F = E - 3 = 9 - 3 = 6$. Многогранником с такими параметрами ($V=5, E=9, F=6$) является треугольная бипирамида (тело, составленное из двух тетраэдров, соединённых по общей грани).

Таким образом, можно придумать два многогранника с пятью вершинами, у которых будет разное число рёбер.

Ответ: Можно придумать 2 многогранника с пятью вершинами и разным числом рёбер (один с 8 рёбрами, другой с 9 рёбрами).