Номер 11.21, страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 11.2. Параллелепипед. Глава 11. Многогранники - номер 11.21, страница 254.

11.21 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

На рисунке 11.20 изображён параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6$ см, $ML = 4$ см, $AM = 2$ см.

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Для каждой из них назовите равные ей грани.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Рис. 11.20

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

Данный параллелепипед является прямоугольным. У него есть три измерения: длина, ширина и высота. Из рисунка и условия задачи известны длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины:

- Высота: ребро $AB = 6$ см.
- Ширина: ребро $AM = 2$ см.
- Длина: ребро $ML = 4$ см.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер. Они делятся на 3 группы по 4 равных и параллельных ребра в каждой:

- 4 ребра, равные высоте (6 см): AB, MN, LK, DC.
- 4 ребра, равные ширине (2 см): AM, BN, CK, DL.
- 4 ребра, равные длине (4 см): ML, AD, BC, NK.

Ответ: У параллелепипеда 4 ребра длиной 6 см, 4 ребра длиной 2 см и 4 ребра длиной 4 см.

2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN? Для каждой из них назовите равные ей грани.

Параллелепипед имеет 6 граней, которые являются прямоугольниками. Противоположные грани попарно равны.

- Грань AMNB: её размеры определяются длинами рёбер AM и MN (или AB). Размеры этой грани $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань DLCK.
- Грань BNKC: её размеры определяются длинами рёбер BN и NK. Размеры этой грани $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань AMLD.
- Грань MLKN: её размеры определяются длинами рёбер ML и LK (или MN). Размеры этой грани $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$. Равная ей грань — противоположная грань ADCB.

Ответ: Грань AMNB имеет размеры $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ и равна грани DLCK. Грань BNKC имеет размеры $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ и равна грани AMLD. Грань MLKN имеет размеры $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ и равна грани ADCB.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

Три различные грани параллелепипеда — это три прямоугольника со следующими размерами:

- Прямоугольник 1: $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ (соответствует граням AMNB и DLCK).
- Прямоугольник 2: $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ (соответствует граням BNKC и AMLD).
- Прямоугольник 3: $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$ (соответствует граням MLKN и ADCB).

Ниже представлено схематическое изображение этих граней, нарисованных в масштабе (например, 1 см = 20 пикселей):

2x6 см 2x4 см 4x6 см

Ответ: Необходимо начертить на бумаге три прямоугольника с размерами $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$, $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$ и $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Сумма площадей всех граней — это площадь полной поверхности параллелепипеда. Она состоит из площадей трёх пар равных граней.

1. Площадь двух граней с размерами $2 \text{ см} \times 6 \text{ см}$:

$S_1 = 2 \times (2 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 2 \times 12 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$

2. Площадь двух граней с размерами $2 \text{ см} \times 4 \text{ см}$:

$S_2 = 2 \times (2 \text{ см} \times 4 \text{ см}) = 2 \times 8 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2$

3. Площадь двух граней с размерами $4 \text{ см} \times 6 \text{ см}$:

$S_3 = 2 \times (4 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 2 \times 24 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$

Общая сумма площадей всех граней равна:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 24 \text{ см}^2 + 16 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 88 \text{ см}^2$

Также можно использовать формулу для площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a, b, c$:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим наши значения $a = 2$ см, $b = 4$ см, $c = 6$ см:

$S = 2(2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2(8 + 12 + 24) = 2(44) = 88 \text{ см}^2$

Ответ: $88 \text{ см}^2$.