Номер 11.20, страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 11. Многогранники. 11.2. Параллелепипед. Упражнения - номер 11.20, страница 254.

Условие.

11.20 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 11.19 изображён куб.

1) Три его грани, имеющие общую вершину $D$, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

2) Можно ли окрасить грани куба в три цвета так, чтобы грани одного цвета не имели общих точек?

Рис. 11.19

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

1) Вершина D является общей для трех граней куба. Опираясь на рисунок, это передняя грань (ABCD), нижняя грань (ADMN) и правая боковая грань (DCOM). Согласно условию, эти три грани будут окрашены в красный цвет.
У куба всего 6 граней. Оставшиеся $6 - 3 = 3$ грани будут синими. Это грани, которые не имеют общей вершины D: верхняя грань (BCOK), левая боковая грань (ABNK) и задняя грань (NKOM).
Чтобы найти общую вершину всех синих граней, необходимо найти вершину, которая одновременно принадлежит всем трем синим граням.

• Синяя грань BCOK имеет вершины B, C, O, K.
• Синяя грань ABNK имеет вершины A, B, N, K.
• Синяя грань NKOM имеет вершины N, K, O, M.

Единственная вершина, которая входит в состав всех трех синих граней, — это вершина K. Также можно заметить, что эта вершина является диагонально противоположной вершине D.
Ответ: Красные грани: ABCD, ADMN, DCOM. Синие грани: BCOK, ABNK, NKOM. Общая вершина всех синих граней — K.

2) Да, можно. Условие, что грани одного цвета не имеют общих точек, означает, что они не должны иметь ни общих ребер, ни общих вершин. У куба этому свойству удовлетворяют только пары противоположных (параллельных) граней.
У куба есть ровно три пары таких граней:

1. Передняя и задняя грани.
2. Верхняя и нижняя грани.
3. Левая и правая боковые грани.

Чтобы выполнить условие задачи, нужно каждую из этих пар окрасить в свой уникальный цвет. Например, переднюю и заднюю грани — в первый цвет, верхнюю и нижнюю — во второй, а левую и правую — в третий. В этом случае грани одного цвета не будут иметь общих точек.
Ответ: Да, можно. Для этого нужно окрасить каждую пару противоположных граней в один из трех цветов.