Номер 5, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Какие три цифры надо зачеркнуть в записи числа 8 724 516, чтобы число, записанное оставшимися цифрами в той же последовательности, было:

1) наибольшим из возможных;

2) наименьшим из возможных?

В исходном числе 8 724 516 содержится 7 цифр. После вычеркивания трех цифр должно остаться число, состоящее из $7 - 3 = 4$ цифр. Порядок оставшихся цифр в новом числе должен сохраниться.

1) наибольшим из возможных

Чтобы получить наибольшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды (цифры, стоящие слева) были как можно больше. Будем подбирать цифры для итогового четырехзначного числа слева направо.

Поиск первой цифры: Итоговое число будет четырехзначным, значит, нам нужно оставить 4 цифры. Мы можем вычеркнуть 3 цифры. Следовательно, первая цифра итогового числа может быть выбрана из первых $7 - 4 + 1 = 4$ цифр исходного числа: 8, 7, 2, 4. Наибольшая из них — 8. Чтобы 8 стала первой цифрой, мы ее оставляем.

Поиск второй цифры: После 8 в исходном числе идут цифры 7, 2, 4, 5, 1, 6. Из них нам нужно выбрать еще три. Мы по-прежнему можем вычеркнуть три цифры. Вторую цифру итогового числа мы можем выбрать из первых $6 - 3 + 1 = 4$ оставшихся цифр (7, 2, 4, 5). Наибольшая из них — 7. Оставляем ее. На данный момент мы не вычеркнули ни одной цифры.

Поиск третьей цифры: После 7 остались цифры 2, 4, 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще две цифры. Мы все еще можем вычеркнуть до трех цифр. Третью цифру можно выбрать из первых $5 - 2 + 1 = 4$ оставшихся цифр (2, 4, 5, 1). Наибольшая из них — 5. Чтобы оставить 5, мы должны вычеркнуть цифры 2 и 4, стоящие между 7 и 5. Мы использовали два вычеркивания.

Поиск четвертой цифры: После 5 остались цифры 1, 6. Нам нужно выбрать еще одну цифру, и у нас осталось $3 - 2 = 1$ вычеркивание. Четвертую цифру мы можем выбрать из первых $2 - 1 + 1 = 2$ оставшихся цифр (1, 6). Наибольшая из них — 6. Чтобы оставить 6, мы вычеркиваем 1. Мы использовали последнее, третье, вычеркивание.

В результате получилось число 8756. Цифры, которые были зачеркнуты: 2, 4, 1.

Ответ: чтобы получить наибольшее число, нужно зачеркнуть цифры 2, 4 и 1.

2) наименьшим из возможных

Чтобы получить наименьшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды были как можно меньше. Действуем аналогично, но на каждом шаге выбираем наименьшую возможную цифру.

Поиск первой цифры: Выбираем из первых четырех цифр (8, 7, 2, 4) наименьшую. Это цифра 2. Чтобы она стала первой, вычеркиваем 8 и 7. Использовано два вычеркивания.

Поиск второй цифры: После 2 остались цифры 4, 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще три цифры, и у нас осталось $3-2=1$ вычеркивание. Вторую цифру можем выбрать из первых $4 - 3 + 1 = 2$ оставшихся цифр (4, 5). Наименьшая из них — 4. Оставляем ее. Дополнительных вычеркиваний не потребовалось.

Поиск третьей цифры: После 4 остались цифры 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще две цифры, и у нас все еще осталось одно вычеркивание. Третью цифру можем выбрать из первых $3 - 2 + 1 = 2$ оставшихся цифр (5, 1). Наименьшая из них — 1. Чтобы оставить 1, вычеркиваем 5. Использовано последнее вычеркивание.

Поиск четвертой цифры: После 1 осталась только цифра 6. Поскольку мы уже вычеркнули три цифры, мы должны ее оставить.

В результате получилось число 2416. Цифры, которые были зачеркнуты: 8, 7, 5.

Ответ: чтобы получить наименьшее число, нужно зачеркнуть цифры 8, 7 и 5.