Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Приведите примеры приборов, имеющих шкалы.

1.

Шкала является ключевым элементом большинства измерительных приборов. Она представляет собой совокупность штрихов (делений) и соответствующих им числовых значений, расположенных в определенном порядке. Шкала позволяет визуально определить и считать значение измеряемой физической величины по положению указателя, стрелки, уровня жидкости или другого индикатора.

Существует множество приборов, оснащенных шкалами, которые используются как в быту, так и в научных исследованиях. Вот некоторые из них, сгруппированные по измеряемой величине:

Для измерения длины и расстояния:
- Линейка и треугольник: имеют шкалу, размеченную в миллиметрах и сантиметрах.
- Рулетка: используется для измерения значительных длин, шкала может быть в метрах, сантиметрах, миллиметрах.
- Штангенциркуль: прибор для высокоточных измерений, оснащенный основной шкалой и дополнительной шкалой-нониусом.

Для измерения температуры:
- Жидкостный термометр (градусник): измеряет температуру, используя расширение спирта или ртути в стеклянной трубке со шкалой в градусах Цельсия ($°C$), Фаренгейта ($°F$) или Кельвина ($K$).

Для измерения массы:
- Механические весы (кухонные, напольные): оснащены циферблатом со шкалой и стрелкой, показывающей вес.
- Безмен (пружинные весы): масса определяется по степени растяжения пружины, на которую указывает индикатор на шкале.

Для измерения времени:
- Аналоговые часы и механический секундомер: имеют циферблат, который является круговой шкалой с делениями для часов, минут и секунд.

Для измерения объема:
- Мензурка (измерительный цилиндр) и мерный стакан: на их стенки нанесена шкала в миллилитрах (мл) или кубических сантиметрах ($см^3$), позволяющая измерять объем жидкостей или сыпучих веществ.
- Медицинский шприц: имеет шкалу для точного дозирования лекарственных препаратов.

Для измерения давления:
- Барометр: измеряет атмосферное давление. Его шкала проградуирована в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.) или паскалях (Па).
- Манометр: используется для измерения давления в замкнутых системах, например, в автомобильных шинах.

Для измерения электрических величин:
- Аналоговый амперметр: измеряет силу тока, шкала в амперах (А).
- Аналоговый вольтметр: измеряет электрическое напряжение, шкала в вольтах (В).

Другие приборы:
- Спидометр: показывает скорость движения транспортного средства, шкала в километрах в час (км/ч).
- Транспортир: инструмент для построения и измерения углов со шкалой в градусах.

Ответ: Примерами приборов, имеющих шкалы, являются: линейка, термометр, рулетка, мензурка, аналоговые часы, механические весы, спидометр, барометр, амперметр, транспортир.

Координатный луч — это луч, на котором заданы начало отсчёта, единичный отрезок и направление.

Для того чтобы превратить обычный луч в координатный, необходимо выполнить три шага:

1. Отметить на луче начальную точку. Она называется началом отсчёта, и ей ставится в соответствие число 0.
2. Выбрать отрезок определённой длины, который будет служить эталоном для измерений. Этот отрезок называется единичным отрезком. Его длина определяет масштаб на луче. Отложив единичный отрезок от начала отсчёта, мы получаем точку с координатой 1.
3. Указать стрелкой направление, в котором числа на луче увеличиваются (обычно вправо от начала отсчёта).

Каждой точке на координатном луче соответствует одно неотрицательное число. Это число называется координатой точки и показывает расстояние от этой точки до начала отсчёта, измеряемое в единичных отрезках. Например, запись $A(4)$ означает, что точка $A$ имеет координату 4, то есть расстояние от начала отсчёта (точки $O(0)$) до точки $A$ равно четырём единичным отрезкам.

Ответ: Координатным лучом называют луч, на котором выбрано начало отсчёта (точка, соответствующая числу 0), задан единичный отрезок (масштаб) и указано направление увеличения чисел.

3. В каком случае говорят, что число $7$ является координатой точки $A$?

Говорят, что число 7 является координатой точки A, если на координатной прямой точка A соответствует числу 7.

Чтобы это было возможно, должна быть задана координатная прямая (или числовая ось). Это прямая, на которой выбраны:
1. Начало отсчета — точка, которой соответствует число 0.
2. Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу измерения (масштаб).
3. Положительное направление — направление, в котором откладываются положительные числа (обычно указывается стрелкой).

Таким образом, точка A с координатой 7, что записывается как $A(7)$, — это точка, которая находится на координатной прямой на расстоянии 7 единичных отрезков от начала отсчета в положительном направлении.

Ответ: Число 7 является координатой точки A, если на координатной прямой, где выбрано начало отсчета, единичный отрезок и положительное направление, точка A находится на расстоянии 7 единичных отрезков от начала отсчета в положительном направлении.

4. Как записывают, что число $7$ является координатой точки $A$?

В математике для обозначения координаты точки на числовой прямой используется стандартная запись. Сначала указывается имя точки (в данном случае это заглавная латинская буква $A$), а затем в круглых скобках пишется её числовая координата.

Для того чтобы записать, что число 7 является координатой точки $A$, используется следующая форма:

$A(7)$

Эта запись читается как "точка А с координатой 7".

Ответ: $A(7)$.

1. Выполните сложение:

1) $18 + 14$;

2) $180 + 140$;

3) $180 + 14$;

4) $18 + 140$.

1) Выполним сложение чисел 18 и 14. Для этого сложим их по разрядам. Сначала складываем единицы: $8 + 4 = 12$. Получаем 2 единицы и 1 десяток в уме. Затем складываем десятки: $1 + 1 = 2$, и прибавляем десяток, который был в уме: $2 + 1 = 3$. В итоге получаем 3 десятка и 2 единицы, то есть число 32.
$18 + 14 = 32$.
Ответ: 32

2) Выполним сложение чисел 180 и 140. Складываем единицы: $0 + 0 = 0$. Складываем десятки: $8 + 4 = 12$. Записываем 2 в разряд десятков, а 1 (сотню) запоминаем. Складываем сотни: $1 + 1 = 2$, и прибавляем 1 сотню, которую запомнили: $2 + 1 = 3$. В итоге получаем 3 сотни, 2 десятка и 0 единиц, то есть число 320.
$180 + 140 = 320$.
Ответ: 320

3) Выполним сложение чисел 180 и 14. Складываем единицы: $0 + 4 = 4$. Складываем десятки: $8 + 1 = 9$. В разряде сотен у первого числа 1, у второго 0, поэтому в сумме будет 1 сотня. Совместив разряды, получаем число 194.
$180 + 14 = 194$.
Ответ: 194

4) Выполним сложение чисел 18 и 140. Складываем единицы: $8 + 0 = 8$. Складываем десятки: $1 + 4 = 5$. В разряде сотен у второго числа 1, у первого 0, поэтому в сумме будет 1 сотня. Совместив разряды, получаем число 158.
$18 + 140 = 158$.
Ответ: 158

2. Чему равна сумма наибольшего трёхзначного и наименьшего четырёхзначного чисел?

Для решения этой задачи необходимо определить два числа, о которых идёт речь, а затем найти их сумму.

1. Наибольшее трёхзначное число. Трёхзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Чтобы число было наибольшим, каждая его цифра должна быть максимально возможной. Самая большая цифра — это 9. Таким образом, наибольшее трёхзначное число состоит из трёх девяток, то есть это 999.

2. Наименьшее четырёхзначное число. Четырёхзначные числа начинаются с 1000. Это и есть наименьшее число, состоящее из четырёх цифр, так как для получения наименьшего числа в старшем разряде (тысяч) должна стоять наименьшая возможная цифра, отличная от нуля (это 1), а в остальных разрядах — наименьшая возможная цифра (это 0). Итак, наименьшее четырёхзначное число — 1000.

3. Сумма чисел. Теперь сложим полученные числа:

$999 + 1000 = 1999$

Ответ: 1999

3. В пять одинаковых пакетов разложили поровну 10 кг конфет.
Сколько необходимо таких пакетов, чтобы разложить 30 кг конфет?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия.

1. Сначала найдем, сколько килограммов конфет помещается в один пакет. Известно, что 10 кг конфет разложили поровну в 5 пакетов. Чтобы найти массу конфет в одном пакете, нужно общую массу разделить на количество пакетов.

$10 \div 5 = 2$ (кг)

Следовательно, в каждый пакет помещается 2 кг конфет.

2. Теперь, зная, что вместимость одного пакета составляет 2 кг, мы можем рассчитать, сколько пакетов потребуется для 30 кг конфет. Для этого новую общую массу конфет разделим на массу конфет в одном пакете.

$30 \div 2 = 15$ (пакетов)

Таким образом, для 30 кг конфет понадобится 15 пакетов.

Ответ: 15 пакетов.

4. Чему равна длина ломаной, которая состоит из шести равных звеньев длиной 7 см каждое?

Чтобы найти общую длину ломаной линии, необходимо сложить длины всех ее звеньев. По условию задачи, ломаная состоит из 6 одинаковых звеньев, и длина каждого звена составляет 7 см.

Следовательно, для нахождения общей длины нужно умножить количество звеньев на длину одного звена.

Выполним вычисление:

$6 \times 7 = 42$ (см)

Таким образом, общая длина ломаной линии равна 42 сантиметрам.

Ответ: 42 см.

5. Какие три цифры надо зачеркнуть в записи числа 8 724 516, чтобы число, записанное оставшимися цифрами в той же последовательности, было:

1) наибольшим из возможных;

2) наименьшим из возможных?

В исходном числе 8 724 516 содержится 7 цифр. После вычеркивания трех цифр должно остаться число, состоящее из $7 - 3 = 4$ цифр. Порядок оставшихся цифр в новом числе должен сохраниться.

1) наибольшим из возможных

Чтобы получить наибольшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды (цифры, стоящие слева) были как можно больше. Будем подбирать цифры для итогового четырехзначного числа слева направо.

Поиск первой цифры: Итоговое число будет четырехзначным, значит, нам нужно оставить 4 цифры. Мы можем вычеркнуть 3 цифры. Следовательно, первая цифра итогового числа может быть выбрана из первых $7 - 4 + 1 = 4$ цифр исходного числа: 8, 7, 2, 4. Наибольшая из них — 8. Чтобы 8 стала первой цифрой, мы ее оставляем.

Поиск второй цифры: После 8 в исходном числе идут цифры 7, 2, 4, 5, 1, 6. Из них нам нужно выбрать еще три. Мы по-прежнему можем вычеркнуть три цифры. Вторую цифру итогового числа мы можем выбрать из первых $6 - 3 + 1 = 4$ оставшихся цифр (7, 2, 4, 5). Наибольшая из них — 7. Оставляем ее. На данный момент мы не вычеркнули ни одной цифры.

Поиск третьей цифры: После 7 остались цифры 2, 4, 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще две цифры. Мы все еще можем вычеркнуть до трех цифр. Третью цифру можно выбрать из первых $5 - 2 + 1 = 4$ оставшихся цифр (2, 4, 5, 1). Наибольшая из них — 5. Чтобы оставить 5, мы должны вычеркнуть цифры 2 и 4, стоящие между 7 и 5. Мы использовали два вычеркивания.

Поиск четвертой цифры: После 5 остались цифры 1, 6. Нам нужно выбрать еще одну цифру, и у нас осталось $3 - 2 = 1$ вычеркивание. Четвертую цифру мы можем выбрать из первых $2 - 1 + 1 = 2$ оставшихся цифр (1, 6). Наибольшая из них — 6. Чтобы оставить 6, мы вычеркиваем 1. Мы использовали последнее, третье, вычеркивание.

В результате получилось число 8756. Цифры, которые были зачеркнуты: 2, 4, 1.

Ответ: чтобы получить наибольшее число, нужно зачеркнуть цифры 2, 4 и 1.

2) наименьшим из возможных

Чтобы получить наименьшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды были как можно меньше. Действуем аналогично, но на каждом шаге выбираем наименьшую возможную цифру.

Поиск первой цифры: Выбираем из первых четырех цифр (8, 7, 2, 4) наименьшую. Это цифра 2. Чтобы она стала первой, вычеркиваем 8 и 7. Использовано два вычеркивания.

Поиск второй цифры: После 2 остались цифры 4, 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще три цифры, и у нас осталось $3-2=1$ вычеркивание. Вторую цифру можем выбрать из первых $4 - 3 + 1 = 2$ оставшихся цифр (4, 5). Наименьшая из них — 4. Оставляем ее. Дополнительных вычеркиваний не потребовалось.

Поиск третьей цифры: После 4 остались цифры 5, 1, 6. Нам нужно выбрать еще две цифры, и у нас все еще осталось одно вычеркивание. Третью цифру можем выбрать из первых $3 - 2 + 1 = 2$ оставшихся цифр (5, 1). Наименьшая из них — 1. Чтобы оставить 1, вычеркиваем 5. Использовано последнее вычеркивание.

Поиск четвертой цифры: После 1 осталась только цифра 6. Поскольку мы уже вычеркнули три цифры, мы должны ее оставить.

В результате получилось число 2416. Цифры, которые были зачеркнуты: 8, 7, 5.

Ответ: чтобы получить наименьшее число, нужно зачеркнуть цифры 8, 7 и 5.

112. Запишите показания термометров, изображённых на рисунке 54.

Рис. 54

а

5$^\circ C$

б

23$^\circ C$

в

17$^\circ C$

г

19$^\circ C$

Для того чтобы записать показания термометров, сначала необходимо определить цену деления их шкалы. Все четыре термометра имеют одинаковую шкалу.
1. Выберем два соседних штриха шкалы, обозначенных числами. Например, 10 °C и 20 °C.
2. Найдем разность значений: $20\ \text{°C} - 10\ \text{°C} = 10\ \text{°C}$.
3. Подсчитаем количество делений (промежутков) между этими штрихами. Их 10.
4. Разделим разность значений на количество делений, чтобы найти цену одного деления (ЦД):
$ЦД = \frac{10\ \text{°C}}{10} = 1\ \text{°C}$.
Теперь, зная, что каждое малое деление соответствует 1 °C, определим показания каждого термометра.

а
Верхний конец столбика жидкости находится на 8 делений выше отметки 0 °C. Следовательно, показание термометра составляет $0\ \text{°C} + 8 \times 1\ \text{°C} = 8\ \text{°C}$.
Ответ: 8 °C.

б
Верхний конец столбика жидкости находится на 3 деления выше отметки 20 °C. Следовательно, показание термометра составляет $20\ \text{°C} + 3 \times 1\ \text{°C} = 23\ \text{°C}$.
Ответ: 23 °C.

в
Верхний конец столбика жидкости находится на 5 делений выше отметки 10 °C. Следовательно, показание термометра составляет $10\ \text{°C} + 5 \times 1\ \text{°C} = 15\ \text{°C}$.
Ответ: 15 °C.

г
Верхний конец столбика жидкости находится на 9 делений выше отметки 10 °C (или на 1 деление ниже отметки 20 °C). Следовательно, показание термометра составляет $10\ \text{°C} + 9 \times 1\ \text{°C} = 19\ \text{°C}$.
Ответ: 19 °C.

113. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 54, в, если его столбик:

1) опустится на шесть делений;

2) поднимется на четыре деления?

Для решения задачи необходимо определить начальную температуру, которую показывает термометр (согласно рисунку 54, в), и цену одного деления его шкалы.

1. Начальная температура. На указанном рисунке столбик термометра находится на отметке $ -5^\circ C $.

2. Цена деления. На шкале термометра между отметками $0^\circ C$ и $-10^\circ C$ находится 10 делений. Разница температур между этими отметками составляет $0 - (-10) = 10^\circ C$. Следовательно, цена одного деления равна:
$ 10^\circ C \div 10 = 1^\circ C $.

Теперь, зная начальную температуру ($ -5^\circ C $) и цену деления ($ 1^\circ C $), мы можем вычислить новые показания термометра.

1) опустится на шесть делений;
Если столбик термометра опустится на шесть делений, это означает, что температура понизится на $ 6 \times 1^\circ C = 6^\circ C $.
Новая температура будет:
$ -5^\circ C - 6^\circ C = -11^\circ C $.
Ответ: $ -11^\circ C $.

2) поднимется на четыре деления?
Если столбик термометра поднимется на четыре деления, это означает, что температура повысится на $ 4 \times 1^\circ C = 4^\circ C $.
Новая температура будет:
$ -5^\circ C + 4^\circ C = -1^\circ C $.
Ответ: $ -1^\circ C $.