Страница 38 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

125. Начертите отрезок длиной 8 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 16. Разделите отрезок на четыре равные части. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 3, 7, 9, 10, 13, 14, 15.

Для решения задачи выполним последовательно все указания.

1. Сначала начертим отрезок длиной 8 см. Над одним его концом напишем число 0, а над другим — 16.

2. Разделим этот отрезок на четыре равные части. Физическая длина каждой части составит $ \frac{8 \text{ см}}{4} = 2 \text{ см} $. Таким образом, мы ставим на отрезке три штриха через каждые 2 см.

3. Числовой диапазон на отрезке составляет $16 - 0 = 16$. При делении на четыре равные части, каждая часть будет соответствовать числовому значению $ \frac{16}{4} = 4 $.

4. Найдем числа для каждого штриха, начиная от 0 и прибавляя по 4 к предыдущему значению:

• Первый штрих: $0 + 4 = 4$
• Второй штрих: $4 + 4 = 8$
• Третий штрих: $8 + 4 = 12$

Таким образом, основные деления шкалы, включая ее концы, соответствуют числам 0, 4, 8, 12, 16.

Ответ: Штрихам деления соответствуют числа 4, 8, 12.

Чтобы отметить эти числа, нужно определить, какому расстоянию на отрезке соответствует одна единица числовой шкалы (цена деления). Для этого разделим физическую длину отрезка на его числовой диапазон:

$ \text{Цена единицы} = \frac{8 \text{ см}}{16} = 0.5 \text{ см} $

Это означает, что каждая единица на шкале соответствует отрезку длиной 0.5 см. Теперь мы можем найти точное положение каждого числа, отсчитывая расстояние от точки 0. Например, число 3 будет находиться на расстоянии $3 \times 0.5 = 1.5$ см от начала.

Ниже изображена полученная шкала, на которой отмечены основные деления (черным цветом) и указанные в задаче числа (синим цветом).

Ответ: Шкала с отмеченными числами представлена на рисунке выше.

126. Начертите отрезок длиной 9 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 18. Разделите отрезок на шесть равных частей. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 4, 7, 8, 10, 11, 16, 17.

Начертите отрезок длиной 9 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 18. Разделите отрезок на шесть равных частей.

Сначала строим отрезок. Его физическая длина 9 см. Концы отрезка соответствуют числам 0 и 18. Таким образом, отрезок представляет собой числовую шкалу с диапазоном $18 - 0 = 18$ единиц.

Далее, делим этот отрезок на 6 равных частей. Для этого нужно найти длину каждого из 6 получившихся маленьких отрезков. Длина каждой такой части на бумаге будет равна:

$9 \text{ см} \div 6 = 1.5 \text{ см}$

Чтобы разделить отрезок на 6 частей, нужно поставить 5 штрихов-делений между его концами. Расстояние между соседними штрихами (а также от концов отрезка до ближайших штрихов) будет 1.5 см.

Ответ: Отрезок длиной 9 см разделен на 6 равных частей, физическая длина каждой части составляет 1.5 см.

Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления.

Весь числовой диапазон отрезка (18 единиц) также делится на 6 равных частей. Чтобы найти, какому числу соответствует каждый штрих, нужно определить "цену" одного деления, то есть на сколько единиц увеличивается значение при переходе к следующему штриху.

$18 \text{ единиц} \div 6 = 3 \text{ единицы}$

Цена деления равна 3. Теперь, начиная с 0, последовательно прибавляем по 3, чтобы найти числа для каждого штриха:

• Начало: 0
• 1-й штрих: $0 + 3 = 3$
• 2-й штрих: $3 + 3 = 6$
• 3-й штрих: $6 + 3 = 9$
• 4-й штрих: $9 + 3 = 12$
• 5-й штрих: $12 + 3 = 15$
• Конец: $15 + 3 = 18$

Ответ: Штрихам деления соответствуют числа 3, 6, 9, 12, 15.

Отметьте на полученной шкале числа 4, 7, 8, 10, 11, 16, 17.

Теперь необходимо найти и отметить местоположение заданных чисел на нашей шкале с основными делениями 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18. Для этого определим, между какими основными делениями находится каждое число:

• Число 4 находится между 3 и 6.
• Числа 7 и 8 находятся между 6 и 9.
• Числа 10 и 11 находятся между 9 и 12.
• Числа 16 и 17 находятся между 15 и 18.

Ниже представлена полученная шкала с отмеченными на ней числами (основные деления показаны снизу, а заданные числа — сверху):

Ответ: Расположение чисел 4, 7, 8, 10, 11, 16, 17 показано на шкале выше.

127. Найдите координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ на рисунке 57.

Рис. 57

Метки над линией:

$A$, $C$, $B$, $F$, $D$, $E$

Метки под линией:

$0$, $30$, $60$, $90$, $120$, $150$, $180$

Для того чтобы найти координаты точек, сначала необходимо определить цену одного деления на координатной оси. Рассмотрим отрезок между отметками 0 и 30. Его длина составляет $30 - 0 = 30$ единиц. Этот отрезок разделен на три равные части. Следовательно, цена одного деления (единичный отрезок) равна:

$30 : 3 = 10$

Теперь, зная, что одно деление шкалы равно 10, мы можем определить координаты каждой точки.

A

Точка A находится на первом делении справа от точки 0. Следовательно, её координата равна $0 + 10 = 10$.

Ответ: A(10)

B

Точка B совпадает с отметкой 90 на шкале.

Ответ: B(90)

C

Точка C совпадает с отметкой 60 на шкале.

Ответ: C(60)

D

Точка D находится на два деления правее отметки 120. Её координата равна $120 + 2 \cdot 10 = 120 + 20 = 140$.

Ответ: D(140)

E

Точка E совпадает с отметкой 180 на шкале.

Ответ: E(180)

F

Точка F совпадает с отметкой 120 на шкале.

Ответ: F(120)

128. Найдите координаты точек $M$, $N$, $P$, $T$, $K$, $S$ на рисунке 58.

Рис. 58

Для определения координат точек на числовой оси сначала необходимо найти цену одного деления шкалы. На рисунке мы видим, что отрезок между отметками 0 и 40 разделен на 4 равных части. Следовательно, длина одного такого отрезка (цена деления) составляет:

$(40 - 0) \div 4 = 10$

Теперь мы можем найти координаты каждой из указанных точек, зная, что каждое малое деление соответствует 10 единицам.

M
Точка M расположена на одно деление вправо от 0. Ее координата:

$0 + 1 \cdot 10 = 10$

Ответ: М(10)

N
Точка N совпадает с отметкой 80 на числовой оси.

Ответ: N(80)

P
Точка P расположена на одно деление влево от 80. Ее координата:

$80 - 1 \cdot 10 = 70$

Ответ: P(70)

T
Точка T расположена на одно деление вправо от 120. Ее координата:

$120 + 1 \cdot 10 = 130$

Ответ: T(130)

K
Точка K расположена на два деления вправо от 160. Ее координата:

$160 + 2 \cdot 10 = 180$

Ответ: K(180)

S
Точка S совпадает с отметкой 160 на числовой оси.

Ответ: S(160)

129. Перенесите в тетрадь рисунок 59. Отметьте на координатном луче точки $B (12)$, $C (2)$, $D (8)$.

Рис. 59

На рисунке изображен координатный луч с началом в точке $0$ и отмеченной точкой $A (6)$.

Для того чтобы отметить точки $B(12)$, $C(2)$ и $D(8)$ на координатном луче, сначала определим цену одного деления (масштаб) на заданном рисунке.

Из рисунка видно, что точке $A$ соответствует координата 6. Расстояние от начала координат (точки 0) до точки $A$ на рисунке составляет 3 клетки. Следовательно, чтобы найти, какому значению соответствует одна клетка, нужно координату точки $A$ разделить на количество клеток:

$6 \div 3 = 2$

Таким образом, единичный отрезок, равный одной клетке, соответствует 2 единицам на координатном луче.

Теперь мы можем найти положение для каждой из заданных точек:

• Точка C(2)

  Чтобы найти положение точки C, ее координату (2) нужно разделить на цену одного деления (2):
  $2 \div 2 = 1$
  Это значит, что точка $C$ будет находиться на расстоянии 1 клетки от начала координат.

• Точка D(8)

  Чтобы найти положение точки D, ее координату (8) нужно разделить на цену одного деления (2):
  $8 \div 2 = 4$
  Это значит, что точка $D$ будет находиться на расстоянии 4 клеток от начала координат.

• Точка B(12)

  Чтобы найти положение точки B, ее координату (12) нужно разделить на цену одного деления (2):
  $12 \div 2 = 6$
  Это значит, что точка $B$ будет находиться на расстоянии 6 клеток от начала координат.

Перенесем рисунок в тетрадь и отметим на нем точки $B, C, D$ в соответствии с нашими расчетами.

Ответ:

130. Перенесите в тетрадь рисунок 60. Отметьте на координатном луче точки $E(27)$, $F(6)$, $K(15)$, $P(21)$.

Рис. 59

Координаты на луче: $0$, $A(6)$.

Рис. 60

Координаты на луче: $0$, $M(9)$.

Для того чтобы отметить точки на координатном луче из рисунка 60, необходимо сначала определить цену одного деления (единичного отрезка) этого луча.

Из рисунка 60 видно, что точке M соответствует координата 9. При этом расстояние от начала луча (точки с координатой 0) до точки M составляет 3 деления (3 клетки).

Найдем цену одного деления, разделив координату точки M на количество делений до нее:
$9 \div 3 = 3$
Таким образом, одно деление на координатном луче равно 3 единицам.

Теперь, зная цену деления, мы можем найти положение каждой из заданных точек. Для этого нужно координату каждой точки разделить на цену деления (3), чтобы узнать, сколько делений нужно отсчитать от начала луча.

Вычислим количество делений от начала отсчета до точки F:
$6 \div 3 = 2$
Следовательно, точка F находится на расстоянии 2 делений от точки 0.
Ответ: Точка F(6) отмечается на втором делении координатного луча.

Вычислим количество делений от начала отсчета до точки K:
$15 \div 3 = 5$
Следовательно, точка K находится на расстоянии 5 делений от точки 0.
Ответ: Точка K(15) отмечается на пятом делении координатного луча.

Вычислим количество делений от начала отсчета до точки P:
$21 \div 3 = 7$
Следовательно, точка P находится на расстоянии 7 делений от точки 0.
Ответ: Точка P(21) отмечается на седьмом делении координатного луча.

Вычислим количество делений от начала отсчета до точки E:
$27 \div 3 = 9$
Следовательно, точка E находится на расстоянии 9 делений от точки 0.
Ответ: Точка E(27) отмечается на девятом делении координатного луча.

Изобразим итоговый координатный луч с отмеченными точками:

131. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, удалённую от точки $B(5)$ на:

1) шесть единичных отрезков;

2) три единичных отрезка.

Координатный луч — это луч, имеющий начальную точку (обычно с координатой 0), единичный отрезок и направление. На этом луче дана точка $B(5)$. Чтобы найти точку, удалённую от $B(5)$ на определённое количество единичных отрезков, необходимо прибавить или вычесть это количество из координаты точки $B$.

Найдём координаты точек, находящихся на расстоянии 6 единичных отрезков от точки $B(5)$.

1. Смещаемся вправо от точки $B$ на 6 единичных отрезков (в сторону увеличения координат):
$5 + 6 = 11$.
Точка с координатой 11 лежит на координатном луче.

2. Смещаемся влево от точки $B$ на 6 единичных отрезков (в сторону уменьшения координат):
$5 - 6 = -1$.
Координатный луч содержит только неотрицательные числа, поэтому точки с координатой -1 на нём не существует.

Таким образом, есть только одна точка, удовлетворяющая данному условию.

Ответ: Точка с координатой 11.

Найдём координаты точек, находящихся на расстоянии 3 единичных отрезков от точки $B(5)$.

1. Смещаемся вправо от точки $B$ на 3 единичных отрезка:
$5 + 3 = 8$.
Точка с координатой 8 лежит на координатном луче.

2. Смещаемся влево от точки $B$ на 3 единичных отрезка:
$5 - 3 = 2$.
Точка с координатой 2 также лежит на координатном луче, так как её координата неотрицательна ($2 \ge 0$).

Таким образом, есть две точки, удовлетворяющие данному условию.

Ответ: Точки с координатами 2 и 8.