Номер 135, страница 39 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

135. Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево — на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки O (0) попасть:

1) в точку A (7):

2) в точку B (8)?

1) в точку А (7):

Пусть кузнечик начинает движение из точки $O$ с координатой 0. По условию, первый прыжок он совершает вправо на пять единичных отрезков и попадает в точку с координатой 5.

После этого он может совершать прыжки вправо на 5 единиц (будем обозначать это как $+5$) или влево на 3 единицы ($-3$). Нам нужно выяснить, можно ли из точки 5 попасть в точку 7.

Пусть $n$ — количество прыжков вправо, а $m$ — количество прыжков влево, совершенных после первого прыжка. Тогда итоговая координата будет равна $5 + 5n - 3m$. Нам нужно, чтобы эта координата равнялась 7:

$5 + 5n - 3m = 7$

$5n - 3m = 7 - 5$

$5n - 3m = 2$

Нам нужно найти, существуют ли целые неотрицательные числа $n$ и $m$, удовлетворяющие этому уравнению. Методом подбора легко найти решение. Например, если $n=1$, то:

$5 \cdot 1 - 3m = 2$

$5 - 3m = 2$

$3m = 3$

$m = 1$

Таким образом, решение существует: $n=1$ и $m=1$. Это означает, что после первого обязательного прыжка вправо, кузнечику нужно совершить еще один прыжок вправо и один прыжок влево.

Последовательность прыжков: $0 \rightarrow 5$ (первый прыжок), $5 \rightarrow 10$ (прыжок вправо), $10 \rightarrow 7$ (прыжок влево).

Ответ: да, сможет.

2) в точку В (8)?

Аналогично предыдущему пункту, после первого прыжка кузнечик находится в точке 5. Ищем возможность попасть в точку 8. Составляем уравнение:

$5 + 5n - 3m = 8$

$5n - 3m = 8 - 5$

$5n - 3m = 3$

Ищем целые неотрицательные решения для $n$ и $m$. Подберем значение для $n$. Если $n=0$, то $-3m=3$, $m=-1$ (не подходит). Если $n=1$, то $5 - 3m = 3$, $3m=2$ (m не целое). Если $n=2$, то $10 - 3m = 3$, $3m=7$ (m не целое). Если $n=3$, то:

$5 \cdot 3 - 3m = 3$

$15 - 3m = 3$

$3m = 12$

$m = 4$

Мы нашли решение: $n=3$ и $m=4$. Это означает, что кузнечик сможет попасть в точку 8, если после первого прыжка он совершит еще 3 прыжка вправо и 4 прыжка влево.

Проверим: $5 + 3 \cdot 5 - 4 \cdot 3 = 5 + 15 - 12 = 8$.

Ответ: да, сможет.