Страница 40 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

137. Высота Исаакиевского собора (г. Санкт-Петербург) равна 102 м, что на 21 м больше высоты колокольни Ивана Великого на территории Московского Кремля. Высота колокольни Ивана Великого на 24 м меньше высоты храма Христа Спасителя в Москве. Какова высота храма Христа Спасителя?

Исаакиевский собор

Колокольня Ивана Великого

Храм Христа Спасителя

Для решения задачи выполним два последовательных действия.

1. Найдем высоту колокольни Ивана Великого.

В условии сказано, что высота Исаакиевского собора (102 м) на 21 м больше высоты колокольни. Это значит, что колокольня Ивана Великого ниже Исаакиевского собора на 21 м. Чтобы найти ее высоту, нужно из высоты собора вычесть 21 м.

$102 - 21 = 81$ (м)

Высота колокольни Ивана Великого – 81 метр.

2. Найдем высоту храма Христа Спасителя.

Далее, в условии говорится, что высота колокольни Ивана Великого (81 м) на 24 м меньше высоты храма Христа Спасителя. Следовательно, храм Христа Спасителя выше колокольни на 24 м. Чтобы найти его высоту, к высоте колокольни нужно прибавить 24 м.

$81 + 24 = 105$ (м)

Ответ: высота храма Христа Спасителя равна 105 метрам.

138. Из двух городов, расстояние между которыми равно $1008 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля и встретились через $8 \text{ ч}$ после начала движения. Скорость одного автомобиля $70 \text{ км/ч}$. Найдите скорость другого автомобиля.

Для решения задачи определим скорость сближения двух автомобилей. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

Пусть $S$ — расстояние между городами, $t$ — время до встречи, $v_1$ — скорость первого автомобиля и $v_2$ — скорость второго автомобиля.

Из условия задачи нам известно:
$S = 1008$ км
$t = 8$ ч
$v_1 = 70$ км/ч

1. Сначала вычислим скорость сближения автомобилей ($v_{сбл}$). Она равна общему расстоянию, деленному на время, за которое это расстояние было преодолено:
$v_{сбл} = S / t = 1008 / 8 = 126$ км/ч.

2. Скорость сближения также является суммой скоростей двух автомобилей:
$v_{сбл} = v_1 + v_2$.

3. Зная скорость сближения и скорость первого автомобиля, можем найти скорость второго автомобиля, вычтя из общей скорости сближения скорость первого автомобиля:
$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 126 - 70 = 56$ км/ч.

Ответ: 56 км/ч.

139. Из двух городов отправились одновременно навстречу друг другу два поезда со скоростями 48 км/ч и 54 км/ч. Найдите расстояние между городами, если поезда встретились через 4 ч после начала движения.

Чтобы найти расстояние между городами, нужно вычислить, какой путь прошли оба поезда вместе до момента встречи. Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через скорость сближения

При движении навстречу друг другу общая скорость объектов, называемая скоростью сближения, равна сумме их скоростей. Расстояние, которое они проходят вместе до встречи, равно произведению скорости сближения на время.

1. Найдём скорость сближения поездов, сложив их скорости:

   $v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 48 \text{ км/ч} + 54 \text{ км/ч} = 102 \text{ км/ч}$

2. Теперь умножим скорость сближения на время до встречи, чтобы найти расстояние между городами:

   $S = v_{сбл.} \cdot t = 102 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 408 \text{ км}$

Ответ: 408 км.

Способ 2: Через расстояние, пройденное каждым поездом

Расстояние между городами также можно найти, если сложить расстояния, которые проехал каждый поезд по отдельности до момента встречи.

1. Вычислим расстояние, которое проехал первый поезд за 4 часа:

   $S_1 = v_1 \cdot t = 48 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 192 \text{ км}$

2. Вычислим расстояние, которое проехал второй поезд за 4 часа:

   $S_2 = v_2 \cdot t = 54 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 216 \text{ км}$

3. Сложим полученные расстояния, чтобы найти общее расстояние между городами:

   $S = S_1 + S_2 = 192 \text{ км} + 216 \text{ км} = 408 \text{ км}$

Ответ: 408 км.

140. Стоимость 7 кг яблок такая же, как 4 кг груш. Сколько килограммов груш можно купить на ту же сумму, что и 42 кг яблок?

Для решения задачи определим, во сколько раз изменилось количество яблок, и применим это же изменение к количеству груш, так как речь идет о пропорциональных стоимостях.

Из условия известно, что стоимость 7 кг яблок равна стоимости 4 кг груш.

Нам нужно выяснить, сколько килограммов груш можно купить на ту же сумму, что и 42 кг яблок. Сначала найдем, во сколько раз 42 кг яблок больше, чем 7 кг яблок:

$42 \text{ кг} \div 7 \text{ кг} = 6$

Это означает, что сумма денег, необходимая для покупки 42 кг яблок, в 6 раз больше суммы, необходимой для покупки 7 кг яблок.

Поскольку стоимость 7 кг яблок равна стоимости 4 кг груш, то на сумму, которая в 6 раз больше, можно купить в 6 раз больше груш.

Вычислим, сколько это составит в килограммах:

$4 \text{ кг} \times 6 = 24 \text{ кг}$

Таким образом, на ту же сумму, что и 42 кг яблок, можно купить 24 кг груш.

Ответ: 24 кг.

141. Вдоль забора растут восемь кустов малины. Количество ягод на соседних кустах отличается на одну. Может ли на всех кустах вместе расти 225 ягод?

Пусть количество ягод на восьми кустах, растущих вдоль забора, обозначено как $n_1, n_2, \dots, n_8$. Согласно условию, количество ягод на соседних кустах отличается на единицу. Математически это можно записать так: $|n_{i+1} - n_i| = 1$ для всех $i$ от 1 до 7.

Это условие означает, что если количество ягод на одном кусте является четным числом, то на соседнем кусте оно обязательно будет нечетным, и наоборот. Таким образом, в последовательности чисел $n_1, n_2, \dots, n_8$ четные и нечетные числа будут чередоваться.

Всего кустов восемь. Независимо от того, будет ли на первом кусте ($n_1$) четное или нечетное количество ягод, в последовательности из восьми кустов всегда будет ровно четыре куста с четным количеством ягод и четыре куста с нечетным количеством ягод.

Теперь определим четность общей суммы ягод $S = n_1 + n_2 + \dots + n_8$. Эта сумма состоит из суммы четырех четных чисел и четырех нечетных чисел. Вспомним правила сложения четных и нечетных чисел:

• Сумма четных чисел всегда четна.
• Сумма двух нечетных чисел всегда четна.

Следовательно, сумма четырех четных чисел будет четной. Сумма четырех нечетных чисел также будет четной, так как ее можно сгруппировать в две пары, каждая из которых дает в сумме четное число: $(нечетное + нечетное) + (нечетное + нечетное) = четное + четное = четное$.

Таким образом, общая сумма $S$ является суммой двух четных чисел (суммы четных слагаемых и суммы нечетных слагаемых), а значит, сама $S$ должна быть четным числом.

В задаче спрашивается, может ли общее количество ягод быть равным 225. Число 225 является нечетным. Поскольку мы установили, что общее количество ягод при данных условиях должно быть четным числом, оно не может равняться 225.

Ответ: Нет, не может.