Страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) отрезком;

3) лучом.

1) точкой

Чтобы общая часть двух лучей была точкой, достаточно, чтобы у них было общее начало, но они были направлены в разные стороны. Простейший случай — два луча, лежащие на одной прямой, с общим началом, направленные в противоположные стороны.

Начертим прямую и отметим на ней точку $O$. Первый луч, $OA$, начинается в точке $O$ и идет в одном направлении. Второй луч, $OB$, также начинается в точке $O$, но идет в противоположном направлении.

Лучи $OA$ (красный) и $OB$ (синий) пересекаются только в одной точке — их общем начале $O$. Также можно было начертить два луча с общим началом, которые не лежат на одной прямой. Их общей частью тоже была бы только точка начала.

Ответ: Общей частью двух лучей будет точка, если они имеют общее начало и направлены в разные стороны (либо лежат на одной прямой и направлены противоположно, либо не лежат на одной прямой).

2) отрезком

Чтобы общая часть двух лучей была отрезком, они должны лежать на одной прямой и быть направлены навстречу друг другу.

Начертим прямую и отметим на ней две различные точки, $A$ и $B$. Первый луч будет начинаться в точке $A$ и проходить через точку $B$. Второй луч будет начинаться в точке $B$ и проходить через точку $A$.

Первый луч (красный) — это множество точек прямой, начинающееся в $A$ и продолжающееся вправо. Второй луч (синий) — это множество точек прямой, начинающееся в $B$ и продолжающееся влево. Их общая часть (показана фиолетовым) — это все точки, которые принадлежат обоим множествам, то есть отрезок $AB$.

Ответ: Общей частью двух лучей будет отрезок, если они лежат на одной прямой, их начала различны, и они направлены навстречу друг другу.

3) лучом

Чтобы общая часть двух лучей была лучом, они должны быть сонаправлены (направлены в одну сторону) и лежать на одной прямой, причем один луч должен быть частью другого.

Начертим прямую и отметим на ней две различные точки, $A$ и $B$. Пусть первый луч начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$. Пусть второй луч начинается в точке $B$ и также направлен в ту же сторону, что и первый.

Первый луч (на рисунке показан красным) начинается в точке $A$ и идет вправо. Второй луч (показан синим, смещен для наглядности) начинается в точке $B$ и также идет вправо. Все точки второго луча (с началом в $B$) также принадлежат и первому лучу (с началом в $A$). Таким образом, их общая часть (пересечение) — это в точности второй луч, то есть луч с началом в точке $B$.

Ответ: Общей частью двух лучей будет луч, если они лежат на одной прямой, направлены в одну сторону, и начало одного луча принадлежит другому лучу.

95. Отметьте на плоскости точки $M$, $K$, $T$ и $F$ так, чтобы луч $MK$ пересекал прямую $TF$, а луч $TF$ не пересекал прямую $MK$.

Для того чтобы правильно расположить точки M, K, T и F в соответствии с заданными условиями, проанализируем их по шагам и выполним построение.

Шаг 1: Анализ условия "луч TF не пересекает прямую MK".

Прямая MK делит плоскость на две полуплоскости. Чтобы луч, начинающийся в точке T и проходящий через точку F, не пересекал прямую MK, необходимо, чтобы обе эти точки (T и F) находились в одной и той же полуплоскости относительно прямой MK. Если бы они находились в разных полуплоскостях, то отрезок TF, а значит и луч TF, пересекал бы прямую MK.

Итак, начнем построение с того, что нарисуем прямую и расположим на ней точки M и K. Затем выберем одну сторону от этой прямой и поставим там обе точки, T и F.

Шаг 2: Анализ условия "луч MK пересекает прямую TF".

Теперь проведем прямую через точки T и F. Так как T и F находятся по одну сторону от прямой MK, то прямая TF не параллельна прямой MK (в общем случае) и пересекает ее в некоторой точке, назовем ее O. Важно, что точка пересечения O не лежит на отрезке TF.

Условие требует, чтобы луч MK пересекал прямую TF. Это означает, что точка их пересечения O должна лежать на луче MK. Луч MK начинается в точке M и идет в направлении точки K. Следовательно, точка O должна находиться на прямой MK так, чтобы M была началом луча, а O — одной из его точек. Например, точки могут быть расположены в порядке M-K-O.

Шаг 3: Итоговое построение.

Совместив оба условия, мы приходим к следующему расположению:

1. Проводим две пересекающиеся прямые. Точку их пересечения O пока не отмечаем.
2. На одной прямой располагаем точки M и K так, чтобы луч MK был направлен в сторону пересечения с другой прямой.
3. На второй прямой располагаем точки T и F так, чтобы они обе оказались по одну сторону от первой прямой (прямой MK). Это также означает, что точка пересечения прямых не будет лежать между T и F. Кроме того, луч TF должен быть направлен в сторону от прямой MK.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий одно из возможных решений.

Проверим условия на чертеже:

• Луч MK (зеленый) начинается в точке M, проходит через K и далее пересекает прямую TF (красная). Условие выполнено.
• Луч TF (оранжевый) начинается в точке T и проходит через F. Он целиком расположен в верхней полуплоскости относительно прямой MK (синяя) и не пересекает её. Условие выполнено.

Ответ: Пример расположения точек, удовлетворяющего условию, показан на чертеже. Необходимо, чтобы точки T и F лежали по одну сторону от прямой MK, а точка пересечения прямых MK и TF лежала на луче MK, но не на луче TF.

96. Начертите прямую $AC$, отрезки $KE$ и $BD$, луч $ST$ так, чтобы отрезок $KE$ пересекал прямую $AC$ и не пересекал луч $ST$, отрезок $BD$ не пересекал прямую $AC$ и отрезок $KE$ и пересекал луч $ST$, а прямая $AC$ и луч $ST$ пересекались.

Для построения требуемой конфигурации геометрических фигур будем действовать поэтапно, последовательно добавляя каждый элемент и проверяя выполнение условий задачи.

1. Построение прямой $AC$ и луча $ST$.
   Согласно условию, прямая $AC$ и луч $ST$ должны пересекаться. Начертим прямую $AC$. Затем начертим луч $ST$, который начинается в точке $S$ и пересекает прямую $AC$.
2. Построение отрезка $KE$.
   Отрезок $KE$ должен удовлетворять двум условиям:
   • Он должен пересекать прямую $AC$. Это означает, что его концы, точки $K$ и $E$, должны находиться по разные стороны от прямой $AC$.
   • Он не должен пересекать луч $ST$. Для этого расположим отрезок $KE$ полностью с одной стороны от луча $ST$ (например, слева).
3. Построение отрезка $BD$.
   Отрезок $BD$ должен удовлетворять трем условиям:
   • Он не должен пересекать прямую $AC$. Это означает, что его концы, точки $B$ и $D$, должны находиться по одну сторону от прямой $AC$ (например, обе сверху).
   • Он должен пересекать луч $ST$. Для этого его концы $B$ и $D$ должны располагаться по разные стороны от луча $ST$.
   • Он не должен пересекать отрезок $KE$. Это условие выполняется, если расположить отрезки $BD$ и $KE$ на достаточном расстоянии друг от друга.

В результате получаем чертеж, удовлетворяющий всем условиям задачи. Проверим:

• Отрезок $KE$ пересекает прямую $AC$: верно.
• Отрезок $KE$ не пересекает луч $ST$: верно.
• Отрезок $BD$ не пересекает прямую $AC$: верно.
• Отрезок $BD$ не пересекает отрезок $KE$: верно.
• Отрезок $BD$ пересекает луч $ST$: верно.
• Прямая $AC$ и луч $ST$ пересекаются: верно.

Ответ:

Пример возможного расположения фигур представлен на чертеже ниже.

97. Начертите луч $CD$, прямую $AB$ и отрезки $MK$ и $OP$ так, чтобы отрезок $MK$ лежал на прямой $AB$, отрезок $OP$ — на луче $CD$ и чтобы прямая $AB$ пересекала отрезок $OP$, а луч $CD$ — отрезок $MK$.

Для того чтобы начертить фигуры в соответствии с заданными условиями, проанализируем эти условия по шагам. Нам необходимо изобразить луч $CD$, прямую $AB$ и отрезки $MK$ и $OP$.

Перечислим требования к их взаимному расположению:

• Отрезок $MK$ должен лежать на прямой $AB$. Это означает, что точки $M$ и $K$ принадлежат прямой $AB$.
• Отрезок $OP$ должен лежать на луче $CD$. Это означает, что точки $O$ и $P$ принадлежат лучу, который начинается в точке $C$ и проходит через точку $D$.
• Прямая $AB$ должна пересекать отрезок $OP$. Из этого следует, что прямая $AB$ и луч $CD$ пересекаются, и их точка пересечения находится между точками $O$ и $P$.
• Луч $CD$ должен пересекать отрезок $MK$. Из этого следует, что луч $CD$ и прямая $AB$ пересекаются, и их точка пересечения находится между точками $M$ и $K$.

Из последних двух условий можно сделать вывод, что прямая $AB$ и луч $CD$ имеют общую точку пересечения, которая одновременно является внутренней точкой для отрезка $MK$ и для отрезка $OP$.

Алгоритм построения:

1. Начертим прямую $AB$ и луч $CD$, которые пересекаются. Обозначим точку их пересечения, например, буквой $E$.
2. На прямой $AB$ разместим отрезок $MK$ таким образом, чтобы точка пересечения $E$ оказалась между точками $M$ и $K$. Это удовлетворит условию, что луч $CD$ пересекает отрезок $MK$.
3. На луче $CD$ разместим отрезок $OP$ таким образом, чтобы точка пересечения $E$ оказалась между точками $O$ и $P$. При этом и точка $O$, и точка $P$ должны принадлежать лучу $CD$ (т.е. находиться "после" или в начальной точке $C$). Это удовлетворит условию, что прямая $AB$ пересекает отрезок $OP$.

Ниже приведен пример чертежа, который соответствует всем указанным условиям.

На данном чертеже точка $E$ является точкой пересечения прямой $AB$ и луча $CD$. Отрезок $MK$ лежит на прямой $AB$, и точка $E$ находится между $M$ и $K$. Отрезок $OP$ лежит на луче $CD$, и точка $E$ находится между $O$ и $P$. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ:

Чертеж, удовлетворяющий всем условиям задачи, представлен выше. Он изображает прямую $AB$ и луч $CD$, пересекающиеся в точке, которая является внутренней для отрезка $MK$, лежащего на прямой $AB$, и для отрезка $OP$, лежащего на луче $CD$.

98. Сколько лучей образуется, если на прямой отметить:

1) четыре точки;

2) 100 точек?

Каждая точка, отмеченная на прямой, делит ее на два луча, которые начинаются в этой точке и направлены в противоположные стороны. Таким образом, если на прямой отмечено $n$ точек, то общее количество лучей будет равно произведению количества точек на 2, то есть $2 \times n$.

1)Если на прямой отметить четыре точки, то есть $n=4$, то количество образовавшихся лучей будет равно:
$4 \times 2 = 8$.
Ответ: 8

2)Если на прямой отметить 100 точек, то есть $n=100$, то количество образовавшихся лучей будет равно:
$100 \times 2 = 200$.
Ответ: 200

99. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB = 24$ см, $AC = 32$ см. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, для нахождения длины отрезка BC необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения, которые удовлетворяют заданным условиям.

Найдите длину отрезка BC

Существует два возможных случая расположения точек:

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Это можно записать в виде уравнения:

$AC = AB + BC$

Чтобы найти длину отрезка BC, выразим её из уравнения:

$BC = AC - AB$

Подставляем известные значения $AC = 32$ см и $AB = 24$ см:

$BC = 32 - 24 = 8$ см.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае отрезок BC состоит из двух отрезков BA и AC. Его длина будет равна их сумме. Длина отрезка BA равна длине отрезка AB.

$BC = BA + AC$

Подставляем известные значения $BA = 24$ см и $AC = 32$ см:

$BC = 24 + 32 = 56$ см.

(Третий возможный случай, когда точка C лежит между точками A и B, невозможен, поскольку по условию $AC = 32$ см, а $AB = 24$ см. Часть отрезка (AC) не может быть длиннее всего отрезка (AB)).

Ответ: 8 см или 56 см.

Сколько решений имеет задача?

Как показано выше, существует два возможных и непротиворечивых варианта расположения точек на прямой. Каждый вариант приводит к своему уникальному значению длины отрезка BC. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

100. Точки $M, K$ и $N$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка $KN$, если $MK = 15$ см, $MN = 6$ см.

Поскольку точки M, K и N лежат на одной прямой, существует несколько возможных вариантов их взаимного расположения. Для решения задачи нужно рассмотреть те из них, которые не противоречат условию.

Случай 1: Точка N лежит между точками M и K

Если точка N расположена между M и K, то длина всего отрезка MK равна сумме длин его частей, MN и KN. Это можно записать в виде равенства:

$MK = MN + KN$

Подставим в формулу известные значения: $MK = 15$ см и $MN = 6$ см.

$15 = 6 + KN$

Чтобы найти длину KN, вычтем из длины MK длину MN:

$KN = 15 - 6 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Случай 2: Точка M лежит между точками K и N

Если точка M расположена между K и N, то длина всего отрезка KN равна сумме длин его частей, KM и MN. Равенство для этого случая:

$KN = KM + MN$

Длина отрезка KM равна длине MK, то есть $KM = 15$ см. Подставляем известные значения в формулу:

$KN = 15 + 6 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

Третий возможный случай, когда точка K лежит между M и N, невозможен. В этой ситуации должно было бы выполняться равенство $MN = MK + KN$, то есть $6 = 15 + KN$. В этом случае длина отрезка KN была бы отрицательной ($KN = -9$ см), что невозможно, так как длина не может быть отрицательным числом.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

101. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых? Наибольшее количество?

Наименьшее количество точек пересечения

Условие "попарно пересекающихся прямых" означает, что никакие две прямые не параллельны. Чтобы минимизировать число точек пересечения, нужно, чтобы как можно больше прямых проходило через одну общую точку. Рассмотрим предельный случай, когда все пять прямых пересекаются в одной-единственной точке. Такая конфигурация (похожая на звездочку) удовлетворяет условию задачи, так как любая пара прямых из этого набора имеет точку пересечения (эту общую точку). Таким образом, наименьшее возможное количество точек пересечения — это 1.

Ответ: 1.

Наибольшее количество точек пересечения

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в своей, уникальной точке. Это означает, что никакие три прямые не должны пересекаться в одной точке, а также никакие две прямые не должны быть параллельны. Условие "попарно пересекающихся" уже гарантирует отсутствие параллельных прямых.

Следовательно, количество точек пересечения будет равно общему числу пар, которые можно составить из пяти прямых. Это число можно найти с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=5$ (количество прямых), а $k=2$ (так как каждая точка пересечения определяется парой прямых).
Число точек пересечения равно:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Можно также рассуждать последовательно, добавляя прямые по одной:
• Вторая прямая пересекает первую в 1 точке.
• Третья прямая пересекает первые две, добавляя 2 новые точки.
• Четвертая прямая пересекает первые три, добавляя 3 новые точки.
• Пятая прямая пересекает первые четыре, добавляя 4 новые точки.
Общее количество точек: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10.

102. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Количество частей, на которые три прямые разбивают плоскость, зависит от их взаимного расположения: наличия параллельных прямых и точек пересечения.

Наибольшее количество частей

Чтобы получить наибольшее количество частей, нужно, чтобы каждая новая прямая пересекала все предыдущие, и все точки пересечения были различны. Это означает, что никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Рассуждаем пошагово:
1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.
2. Вторая прямая пересекает первую. При этом она проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
3. Третья прямая пересекает первые две в двух разных точках. Она проходит через 3 существующие части, делит каждую из них и, следовательно, добавляет 3 новые части. Общее количество частей: $4 + 3 = 7$.

Таким образом, три прямые, попарно пересекающиеся в трех разных точках, делят плоскость на 7 частей. Это максимальное возможное количество.

Для общего случая, максимальное количество частей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость, вычисляется по формуле: $L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.
При $n=3$, получаем: $L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7.

Наименьшее количество частей

Чтобы получить наименьшее количество частей, нужно минимизировать количество новых областей, создаваемых каждой последующей прямой. Этого можно достичь, если прямые не будут пересекаться, то есть будут параллельны друг другу. Предполагаем, что все три прямые различны.

Рассуждаем пошагово:
1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.
2. Вторая прямая, параллельная первой, проходит через одну из существующих частей и делит ее на две, добавляя 1 новую часть. Общее число частей: $2 + 1 = 3$.
3. Третья прямая, параллельная первым двум, также добавляет 1 новую часть. Общее число частей: $3 + 1 = 4$.

Это наименьшее возможное количество частей для трех различных прямых. Если рассмотреть другие конфигурации, например, пересечение всех трех прямых в одной точке или пересечение двух параллельных прямых третьей, то количество частей будет больше (6 в обоих случаях). Если же все три прямые совпадают, то они делят плоскость на 2 части, но обычно в таких задачах прямые считаются различными.

Ответ: 4.

103. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

Для решения этой задачи необходимо найти геометрическую конфигурацию из 6 прямых и 11 точек, удовлетворяющую заданным условиям. Проведем сначала комбинаторный анализ.

Пусть у нас есть $L=6$ прямых, и на каждой из них лежит ровно $k=4$ точки. Если бы все точки, отмеченные на прямых, были уникальны для каждой прямой, общее число точек было бы $L \times k = 6 \times 4 = 24$. Однако по условию у нас всего $P=11$ точек. Это означает, что некоторые точки должны принадлежать нескольким прямым одновременно, то есть быть точками их пересечения.

Суммарное количество инциденций (пар "точка-прямая") равно 24. Обозначим через $n_i$ количество прямых, проходящих через $i$-ю точку. Тогда сумма всех $n_i$ по всем 11 точкам должна быть равна 24: $$ \sum_{i=1}^{11} n_i = 24 $$ Пусть $t_j$ — это количество точек, через которые проходит ровно $j$ прямых. Тогда мы имеем систему уравнений: $$ \sum t_j = 11 \quad (\text{общее число точек}) $$ $$ \sum j \cdot t_j = 24 \quad (\text{общее число инциденций}) $$ Будем искать решение в целых неотрицательных числах, предполагая, что точки являются пересечениями как минимум двух прямых (то есть $j \ge 2$). Попробуем найти решение для $j=2$ и $j=3$: $$ t_2 + t_3 = 11 $$ $$ 2t_2 + 3t_3 = 24 $$ Из первого уравнения выразим $t_2 = 11 - t_3$ и подставим во второе: $$ 2(11 - t_3) + 3t_3 = 24 $$ $$ 22 - 2t_3 + 3t_3 = 24 $$ $$ t_3 = 2 $$ Отсюда находим $t_2 = 11 - 2 = 9$.

Итак, наша искомая конфигурация должна иметь 2 точки, в каждой из которых пересекаются по 3 прямые, и 9 точек, в каждой из которых пересекаются по 2 прямые.

Такую конфигурацию можно построить следующим образом. Сначала возьмём произвольную точку $A$ и проведём через неё три различные прямые. Затем возьмём другую точку $B$, не лежащую на этих трёх прямых, и проведём через неё ещё три другие прямые. Важно расположить эти две "звезды" из прямых так, чтобы ни одна прямая из первой группы не была параллельна ни одной прямой из второй, и чтобы ни одна прямая не проходила через обе точки $A$ и $B$.

Проверим полученную конфигурацию. Во-первых, количество прямых: мы провели две группы по три прямых, итого $3 + 3 = 6$ прямых. Во-вторых, количество точек: точками в этой конфигурации являются точка $A$, точка $B$ и точки пересечения каждой из трёх прямых первой группы с каждой из трёх прямых второй группы. Всего точек получается $1 (\text{точка } A) + 1 (\text{точка } B) + 3 \times 3 (\text{точки пересечения}) = 11$ точек. В-третьих, количество точек на каждой прямой: рассмотрим любую прямую из первой группы. Она проходит через точку $A$ и пересекает три прямые из второй группы, образуя ещё три точки. Итого на ней $1 + 3 = 4$ точки. Аналогично, любая прямая из второй группы проходит через точку $B$ и пересекает три прямые из первой группы, что также даёт $1 + 3 = 4$ точки на прямой. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Нужно взять две различные точки. Через первую точку провести три прямые. Через вторую точку провести ещё три прямые так, чтобы каждая из них пересекала все три прямые, проходящие через первую точку, в новых точках. Отмеченными точками будут две исходные точки и девять точек пересечения прямых из разных групп.

104. На плоскости проведены три прямые. На одной прямой отмечено пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Какое наименьшее количество различных точек может оказаться отмеченным?

Чтобы найти наименьшее количество различных точек, необходимо максимизировать количество точек, которые являются общими для нескольких прямых. Общие точки могут находиться только в точках пересечения прямых.

Три прямые на плоскости могут пересекаться максимум в трех точках. Это происходит, когда прямые попарно пересекаются в разных точках, образуя треугольник. Этот случай дает максимальное количество общих точек и, следовательно, приведет к наименьшему общему количеству различных точек.

Пусть на первой прямой ($l_1$) отмечено 5 точек, на второй ($l_2$) — 7 точек, и на третьей ($l_3$) — 3 точки. Если бы ни одна точка не была общей, суммарное количество точек было бы:

$5 + 7 + 3 = 15$

Когда три прямые образуют треугольник, у нас есть три точки пересечения:

1. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.
2. Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_3$.
3. Точка пересечения прямых $l_2$ и $l_3$.

Каждая из этих трех точек является общей для двух прямых, и в первоначальной сумме (15) она была посчитана дважды. Чтобы получить количество уникальных точек, мы должны вычесть по одному "лишнему" подсчету для каждой из трех точек пересечения.

Таким образом, наименьшее количество различных точек равно:

$15 - 3 = 12$

Такое расположение возможно, так как на каждой прямой должно быть по две точки пересечения, а количество отмеченных точек на каждой прямой (5, 7 и 3) не меньше двух.

Ответ: 12

105. В парке растёт 168 дубов, берёз — в 4 раза меньше, чем дубов, а клёнов — на 37 деревьев больше, чем берёз. Сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке?

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько действий.

1. Найдём количество берёз в парке.

Из условия известно, что в парке растёт 168 дубов, а берёз — в 4 раза меньше. Чтобы найти количество берёз, нужно количество дубов разделить на 4.

$168 : 4 = 42$ (берёзы)

2. Найдём количество клёнов в парке.

Также в условии сказано, что клёнов растёт на 37 деревьев больше, чем берёз. Чтобы найти количество клёнов, нужно к количеству берёз (42) прибавить 37.

$42 + 37 = 79$ (клёнов)

3. Найдём общее количество деревьев в парке.

Чтобы узнать, сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке, нужно сложить количество деревьев каждого вида.

$168 (дубов) + 42 (берёзы) + 79 (клёнов) = 289$ (деревьев)

Промежуточные вычисления: $168 + 42 = 210$; $210 + 79 = 289$.

Ответ: всего в парке растёт 289 дубов, берёз и клёнов.

106. Группа туристов прошла пешком 72 км, проехала на поезде расстояние в 5 раз больше, чем прошла пешком, а на автобусе проехала на 128 км меньше, чем на поезде. Сколько всего километров прошли и проехали туристы?

Для решения этой задачи необходимо выполнить три действия: найти расстояние, которое туристы проехали на поезде, затем на автобусе, и в конце сложить все три расстояния.

1. Найдем расстояние, которое туристы проехали на поезде.

В условии сказано, что на поезде группа проехала расстояние в 5 раз большее, чем прошла пешком. Расстояние, пройденное пешком, равно 72 км. Чтобы найти расстояние, пройденное на поезде, умножим 72 км на 5.

$72 \text{ км} \times 5 = 360 \text{ км}$

Ответ: на поезде туристы проехали 360 км.

2. Найдем расстояние, которое туристы проехали на автобусе.

Известно, что на автобусе туристы проехали на 128 км меньше, чем на поезде. Мы уже вычислили, что на поезде они проехали 360 км. Теперь вычтем 128 км из этого значения.

$360 \text{ км} - 128 \text{ км} = 232 \text{ км}$

Ответ: на автобусе туристы проехали 232 км.

3. Найдем общее расстояние, которое преодолели туристы.

Чтобы узнать, сколько всего километров прошли и проехали туристы, нужно сложить все три части пути: расстояние, пройденное пешком, на поезде и на автобусе.

$72 \text{ км} + 360 \text{ км} + 232 \text{ км} = 664 \text{ км}$

Ответ: всего туристы прошли и проехали 664 км.