Номер 103, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

103. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

Для решения этой задачи необходимо найти геометрическую конфигурацию из 6 прямых и 11 точек, удовлетворяющую заданным условиям. Проведем сначала комбинаторный анализ.

Пусть у нас есть $L=6$ прямых, и на каждой из них лежит ровно $k=4$ точки. Если бы все точки, отмеченные на прямых, были уникальны для каждой прямой, общее число точек было бы $L \times k = 6 \times 4 = 24$. Однако по условию у нас всего $P=11$ точек. Это означает, что некоторые точки должны принадлежать нескольким прямым одновременно, то есть быть точками их пересечения.

Суммарное количество инциденций (пар "точка-прямая") равно 24. Обозначим через $n_i$ количество прямых, проходящих через $i$-ю точку. Тогда сумма всех $n_i$ по всем 11 точкам должна быть равна 24: $$ \sum_{i=1}^{11} n_i = 24 $$ Пусть $t_j$ — это количество точек, через которые проходит ровно $j$ прямых. Тогда мы имеем систему уравнений: $$ \sum t_j = 11 \quad (\text{общее число точек}) $$ $$ \sum j \cdot t_j = 24 \quad (\text{общее число инциденций}) $$ Будем искать решение в целых неотрицательных числах, предполагая, что точки являются пересечениями как минимум двух прямых (то есть $j \ge 2$). Попробуем найти решение для $j=2$ и $j=3$: $$ t_2 + t_3 = 11 $$ $$ 2t_2 + 3t_3 = 24 $$ Из первого уравнения выразим $t_2 = 11 - t_3$ и подставим во второе: $$ 2(11 - t_3) + 3t_3 = 24 $$ $$ 22 - 2t_3 + 3t_3 = 24 $$ $$ t_3 = 2 $$ Отсюда находим $t_2 = 11 - 2 = 9$.

Итак, наша искомая конфигурация должна иметь 2 точки, в каждой из которых пересекаются по 3 прямые, и 9 точек, в каждой из которых пересекаются по 2 прямые.

Такую конфигурацию можно построить следующим образом. Сначала возьмём произвольную точку $A$ и проведём через неё три различные прямые. Затем возьмём другую точку $B$, не лежащую на этих трёх прямых, и проведём через неё ещё три другие прямые. Важно расположить эти две "звезды" из прямых так, чтобы ни одна прямая из первой группы не была параллельна ни одной прямой из второй, и чтобы ни одна прямая не проходила через обе точки $A$ и $B$.

Проверим полученную конфигурацию. Во-первых, количество прямых: мы провели две группы по три прямых, итого $3 + 3 = 6$ прямых. Во-вторых, количество точек: точками в этой конфигурации являются точка $A$, точка $B$ и точки пересечения каждой из трёх прямых первой группы с каждой из трёх прямых второй группы. Всего точек получается $1 (\text{точка } A) + 1 (\text{точка } B) + 3 \times 3 (\text{точки пересечения}) = 11$ точек. В-третьих, количество точек на каждой прямой: рассмотрим любую прямую из первой группы. Она проходит через точку $A$ и пересекает три прямые из второй группы, образуя ещё три точки. Итого на ней $1 + 3 = 4$ точки. Аналогично, любая прямая из второй группы проходит через точку $B$ и пересекает три прямые из первой группы, что также даёт $1 + 3 = 4$ точки на прямой. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Нужно взять две различные точки. Через первую точку провести три прямые. Через вторую точку провести ещё три прямые так, чтобы каждая из них пересекала все три прямые, проходящие через первую точку, в новых точках. Отмеченными точками будут две исходные точки и девять точек пересечения прямых из разных групп.