Номер 102, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

102. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Количество частей, на которые три прямые разбивают плоскость, зависит от их взаимного расположения: наличия параллельных прямых и точек пересечения.

Наибольшее количество частей

Чтобы получить наибольшее количество частей, нужно, чтобы каждая новая прямая пересекала все предыдущие, и все точки пересечения были различны. Это означает, что никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Рассуждаем пошагово:
1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.
2. Вторая прямая пересекает первую. При этом она проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
3. Третья прямая пересекает первые две в двух разных точках. Она проходит через 3 существующие части, делит каждую из них и, следовательно, добавляет 3 новые части. Общее количество частей: $4 + 3 = 7$.

Таким образом, три прямые, попарно пересекающиеся в трех разных точках, делят плоскость на 7 частей. Это максимальное возможное количество.

Для общего случая, максимальное количество частей $L_n$, на которые $n$ прямых могут разделить плоскость, вычисляется по формуле: $L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$.
При $n=3$, получаем: $L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7.

Наименьшее количество частей

Чтобы получить наименьшее количество частей, нужно минимизировать количество новых областей, создаваемых каждой последующей прямой. Этого можно достичь, если прямые не будут пересекаться, то есть будут параллельны друг другу. Предполагаем, что все три прямые различны.

Рассуждаем пошагово:
1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.
2. Вторая прямая, параллельная первой, проходит через одну из существующих частей и делит ее на две, добавляя 1 новую часть. Общее число частей: $2 + 1 = 3$.
3. Третья прямая, параллельная первым двум, также добавляет 1 новую часть. Общее число частей: $3 + 1 = 4$.

Это наименьшее возможное количество частей для трех различных прямых. Если рассмотреть другие конфигурации, например, пересечение всех трех прямых в одной точке или пересечение двух параллельных прямых третьей, то количество частей будет больше (6 в обоих случаях). Если же все три прямые совпадают, то они делят плоскость на 2 части, но обычно в таких задачах прямые считаются различными.

Ответ: 4.