Номер 101, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

101. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых? Наибольшее количество?

Наименьшее количество точек пересечения

Условие "попарно пересекающихся прямых" означает, что никакие две прямые не параллельны. Чтобы минимизировать число точек пересечения, нужно, чтобы как можно больше прямых проходило через одну общую точку. Рассмотрим предельный случай, когда все пять прямых пересекаются в одной-единственной точке. Такая конфигурация (похожая на звездочку) удовлетворяет условию задачи, так как любая пара прямых из этого набора имеет точку пересечения (эту общую точку). Таким образом, наименьшее возможное количество точек пересечения — это 1.

Ответ: 1.

Наибольшее количество точек пересечения

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в своей, уникальной точке. Это означает, что никакие три прямые не должны пересекаться в одной точке, а также никакие две прямые не должны быть параллельны. Условие "попарно пересекающихся" уже гарантирует отсутствие параллельных прямых.

Следовательно, количество точек пересечения будет равно общему числу пар, которые можно составить из пяти прямых. Это число можно найти с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=5$ (количество прямых), а $k=2$ (так как каждая точка пересечения определяется парой прямых).
Число точек пересечения равно:
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Можно также рассуждать последовательно, добавляя прямые по одной:
• Вторая прямая пересекает первую в 1 точке.
• Третья прямая пересекает первые две, добавляя 2 новые точки.
• Четвертая прямая пересекает первые три, добавляя 3 новые точки.
• Пятая прямая пересекает первые четыре, добавляя 4 новые точки.
Общее количество точек: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10.