Страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

73. Известно, что $KP = PE = EF = FT = 2 \text{ см}$ (рис. 29). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

Рис. 29

По условию задачи дано, что на одной прямой лежат точки K, P, E, F, T, причем длины отрезков между соседними точками равны:

$KP = PE = EF = FT = 2$ см.

Для нахождения других равных отрезков необходимо рассмотреть комбинации данных отрезков.

Равные отрезки, состоящие из двух частей

Найдем длины отрезков, каждый из которых состоит из двух исходных отрезков по 2 см.

1. Длина отрезка $KE$ равна сумме длин отрезков $KP$ и $PE$:

$KE = KP + PE = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

2. Длина отрезка $PF$ равна сумме длин отрезков $PE$ и $EF$:

$PF = PE + EF = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

3. Длина отрезка $ET$ равна сумме длин отрезков $EF$ и $FT$:

$ET = EF + FT = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Следовательно, мы нашли первую группу равных отрезков: $KE = PF = ET$.

Ответ: $KE = PF = ET = 4$ см.

Равные отрезки, состоящие из трех частей

Теперь найдем длины отрезков, каждый из которых состоит из трех исходных отрезков по 2 см.

1. Длина отрезка $KF$ равна сумме длин отрезков $KP$, $PE$ и $EF$:

$KF = KP + PE + EF = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

2. Длина отрезка $PT$ равна сумме длин отрезков $PE$, $EF$ и $FT$:

$PT = PE + EF + FT = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Следовательно, мы нашли вторую группу равных отрезков: $KF = PT$.

Ответ: $KF = PT = 6$ см.

74. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?

Чтобы определить, какое расстояние больше, нужно вычислить расстояние между крайними точками для каждого отрезка.

1. Расстояние на первом отрезке.
На отрезке отмечено 7 точек. Эти 7 точек образуют между собой $7 - 1 = 6$ промежутков. Поскольку расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, то общая длина отрезка между крайними точками будет равна произведению количества промежутков на их длину:
$L_1 = (7 - 1) \times 3 \text{ см} = 6 \times 3 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

2. Расстояние на втором отрезке.
На отрезке отмечено 10 точек. Эти 10 точек образуют между собой $10 - 1 = 9$ промежутков. Расстояние между любыми соседними точками равно 2 см, значит, общая длина отрезка между крайними точками равна:
$L_2 = (10 - 1) \times 2 \text{ см} = 9 \times 2 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

3. Сравнение расстояний.
Сравнивая полученные результаты, видим, что расстояние между крайними точками на первом отрезке ($18 \text{ см}$) равно расстоянию между крайними точками на втором отрезке ($18 \text{ см}$).
$18 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Ответ: Расстояния между крайними точками на первом и втором отрезках равны.

75. Известно, что $AE = 12$ см, $AQ = QB$, $BM = MC$, $CK = KD$, $DR = RE$, $MK = 4$ см (рис. 30). Найдите длину отрезка $QR$.

Рис. 30

Согласно условию, точки $M$ и $K$ являются серединами отрезков $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезок $MK$ состоит из отрезков $MC$ и $CK$. Таким образом, мы можем записать:

$MK = MC + CK$

Поскольку $M$ — середина $BC$, то $MC = \frac{1}{2}BC$. Аналогично, поскольку $K$ — середина $CD$, то $CK = \frac{1}{2}CD$. Подставим эти выражения в предыдущее равенство:

$MK = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BC + CD)$

Известно, что $MK = 4$ см. Следовательно:

$\frac{1}{2}(BC + CD) = 4$ см

$BC + CD = 4 \cdot 2 = 8$ см

Теперь рассмотрим весь отрезок $AE$. Его длина равна сумме длин составляющих его отрезков:

$AE = AB + BC + CD + DE$

Подставим известные значения $AE = 12$ см и $BC + CD = 8$ см:

$12 = AB + 8 + DE$

Отсюда найдем сумму длин отрезков $AB$ и $DE$:

$AB + DE = 12 - 8 = 4$ см

Теперь выразим искомую длину отрезка $QR$. Отрезок $QR$ состоит из отрезков $QB, BC, CD$ и $DR$:

$QR = QB + BC + CD + DR$

По условию, точка $Q$ — середина отрезка $AB$, а точка $R$ — середина отрезка $DE$. Это означает, что:

$QB = \frac{1}{2}AB$ и $DR = \frac{1}{2}DE$

Подставим эти выражения, а также ранее найденную сумму $BC + CD = 8$ см, в формулу для $QR$:

$QR = \frac{1}{2}AB + 8 + \frac{1}{2}DE$

Сгруппируем слагаемые:

$QR = 8 + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}DE = 8 + \frac{1}{2}(AB + DE)$

Мы уже нашли, что $AB + DE = 4$ см. Подставим это значение:

$QR = 8 + \frac{1}{2}(4) = 8 + 2 = 10$ см

Ответ: 10 см.

76. Какое наименьшее количество точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 31, чтобы на каждом из них были две отмеченные точки, не считая концов отрезков?

Рис. 31

а

б

в

г

а На рисунке изображены два непересекающихся отрезка. Условие задачи требует, чтобы на каждом из них было по две отмеченные точки, не считая концов. Так как отрезки не имеют общих точек, точки, отмеченные на одном отрезке, не могут лежать на другом. Следовательно, на первый отрезок нужно поставить 2 точки и на второй отрезок нужно поставить 2 точки. Общее минимальное количество точек составляет $2 + 2 = 4$.
Ответ: 4.

б На рисунке изображены два пересекающихся отрезка. Чтобы найти наименьшее количество точек, выгодно отметить точку их пересечения. Эта точка будет принадлежать обоим отрезкам. Теперь на каждом отрезке есть по одной отмеченной точке. Чтобы на каждом из них стало по две точки, необходимо добавить еще по одной точке на каждый отрезок. Всего понадобится $1$ (общая точка) $+ 1 + 1 = 3$ точки.
Ответ: 3.

в На рисунке изображены три отрезка, пересекающиеся в одной общей точке. По аналогии с предыдущим случаем, отметим общую точку пересечения. Она будет принадлежать сразу трем отрезкам. Чтобы на каждом отрезке стало по две точки, нужно добавить еще по одной точке на каждый из трех отрезков. Общее количество точек равно $1$ (общая точка) $+ 3 = 4$.
Ответ: 4.

г На рисунке изображены три отрезка, которые попарно пересекаются в трех разных точках. Если отметить эти три точки пересечения, то на каждом из исходных отрезков окажется ровно по две отмеченные точки (поскольку каждый отрезок содержит две из трех точек пересечения). Следовательно, условие задачи выполняется. Таким образом, достаточно отметить 3 точки. Меньшим количеством точек обойтись невозможно.
Ответ: 3.

77. У Миши есть линейка, на которой отмечены только 0 см, 5 см и 13 см (рис. 32). Как, пользуясь этой линейкой, он может построить отрезок длиной:

1) 3 см;

2) 2 см;

3) 1 см?

Рис. 32

С помощью данной линейки можно непосредственно отмерять отрезки длиной 5 см (используя деления 0 и 5), 13 см (используя деления 0 и 13), а также отрезок длиной 8 см, который является расстоянием между делениями 5 и 13 ($13 - 5 = 8$ см). Комбинируя эти длины, можно построить отрезки требуемой длины.

Чтобы построить отрезок длиной 3 см, можно из отрезка длиной 8 см вычесть отрезок длиной 5 см. Алгоритм построения следующий:

1. Начертите прямую и отметьте на ней произвольную точку А.
2. Приложите линейку так, чтобы отметка 5 см совпала с точкой А, и отметьте точку B на уровне отметки 13 см. Длина полученного отрезка AB будет равна $13 - 5 = 8$ см.
3. Теперь приложите линейку так, чтобы отметка 0 см совпала с точкой А, и отметьте на отрезке AB точку C на уровне отметки 5 см. Длина отрезка AC будет равна 5 см.
4. Отрезок CB, который является разностью отрезков AB и AC, будет иметь искомую длину: $8 \text{ см} - 5 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Ответ: Построить отрезок длиной 8 см (как расстояние между метками 5 и 13), а затем отнять от него отрезок длиной 5 см.

Для построения отрезка длиной 2 см можно скомбинировать отрезки 5 см и 8 см. Искомая длина получается как $5 \text{ см} + 5 \text{ см} - 8 \text{ см} = 2 \text{ см}$. Алгоритм построения следующий:

1. Начертите прямую и отметьте на ней точку А.
2. От точки А последовательно отложите два отрезка по 5 см, получив точку B. Длина отрезка AB будет равна $5 + 5 = 10$ см.
3. От точки B в обратном направлении (в сторону точки A) отложите отрезок BC длиной 8 см (используя деления 5 и 13 на линейке).
4. Оставшийся отрезок AC будет иметь искомую длину $10 \text{ см} - 8 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Отложить дважды отрезок по 5 см, получив 10 см, и вычесть из него отрезок длиной 8 см (расстояние между метками 5 и 13).

Чтобы получить отрезок длиной 1 см, можно использовать комбинацию отрезков по 8 см и 5 см. Искомую длину можно получить как $2 \times 8 \text{ см} - 3 \times 5 \text{ см} = 16 \text{ см} - 15 \text{ см} = 1 \text{ см}$. Алгоритм построения следующий:

1. Начертите прямую и отметьте на ней точку А.
2. От точки А последовательно отложите два отрезка по 8 см (каждый раз используя деления 5 и 13). Получится отрезок AB, длина которого равна $8 + 8 = 16$ см.
3. От той же точки А на отрезке AB последовательно отложите три отрезка по 5 см. Получится отрезок AC, длина которого равна $5 + 5 + 5 = 15$ см.
4. Отрезок CB между точками C и B будет иметь искомую длину $16 \text{ см} - 15 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Ответ: Построить отрезок длиной 16 см (дважды отложив по 8 см), а затем вычесть из него отрезок длиной 15 см (трижды отложив по 5 см).