Страница 23 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

67. Отрезки $MT$ и $FK$ равны (рис. 25).

Сравните отрезки $MF$ и $TK$.

$M$ $F$ $T$ $K$

Для решения задачи воспользуемся свойством измерения отрезков. Точки $M$, $F$, $T$ и $K$ расположены на одной прямой последовательно.

Рассмотрим отрезок $MT$. Он состоит из двух частей: отрезка $MF$ и отрезка $FT$. Следовательно, его длина равна сумме длин этих отрезков: $MT = MF + FT$

Теперь рассмотрим отрезок $FK$. Он также состоит из двух частей: отрезка $FT$ и отрезка $TK$. Его длина равна сумме длин этих отрезков: $FK = FT + TK$

По условию задачи отрезки $MT$ и $FK$ равны: $MT = FK$

Раз левые части равенств равны, значит, равны и их правые части. Приравняем выражения, которые мы получили для длин отрезков $MT$ и $FK$: $MF + FT = FT + TK$

Отрезок $FT$ является общей частью для отрезков $MT$ и $FK$. Вычтем длину общего отрезка $FT$ из обеих частей равенства: $MF + FT - FT = FT + TK - FT$

В результате получаем: $MF = TK$

Это означает, что отрезки $MF$ и $TK$ равны.

Ответ: отрезки $MF$ и $TK$ равны.

68. Постройте ломаную ACDM так, чтобы $AC = 15$ мм, $CD = 24$ мм, $DM = 32$ мм. Вычислите длину ломаной.

Построение ломаной ACDM

Для построения ломаной линии ACDM необходимо последовательно выполнить следующие шаги, используя линейку:

1. Отметить на плоскости произвольную начальную точку A.
2. От точки A отложить отрезок AC, длина которого равна 15 мм.
3. От точки C отложить отрезок CD, длина которого равна 24 мм. Направление отрезка CD можно выбрать произвольно, так как угол не задан.
4. От точки D отложить отрезок DM, длина которого равна 32 мм. Направление этого отрезка также можно выбрать произвольно.

В результате этих действий будет построена требуемая ломаная ACDM.

Ответ: построение ломаной выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом.

Вычисление длины ломаной

Длина ломаной линии определяется как сумма длин всех ее составляющих звеньев. Для ломаной ACDM звеньями являются отрезки AC, CD и DM.

Согласно условию задачи, длины звеньев равны:

• Длина $AC = 15$ мм
• Длина $CD = 24$ мм
• Длина $DM = 32$ мм

Для нахождения общей длины ломаной, обозначим ее как $L$, и сложим длины всех звеньев:
$L = AC + CD + DM$

Подставим известные значения:
$L = 15 \text{ мм} + 24 \text{ мм} + 32 \text{ мм}$

Вычислим сумму:
$15 + 24 = 39$
$39 + 32 = 71$
Таким образом, $L = 71 \text{ мм}$.

Ответ: 71 мм.

69. Постройте ломаную $CEFK$ так, чтобы звено $CE$ было равно $8$ мм, звено $EF$ было на $14$ мм больше звена $CE$, а звено $FK$ — на $7$ мм меньше звена $EF$. Вычислите длину ломаной.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить длины звеньев ломаной, а затем найти их сумму.

1. Вычисление длины звена EF

Из условия известно, что длина звена $CE$ составляет 8 мм. Звено $EF$ на 14 мм длиннее звена $CE$. Чтобы найти длину $EF$, нужно к длине $CE$ прибавить 14 мм.

$8 \text{ мм} + 14 \text{ мм} = 22 \text{ мм}$

Таким образом, длина звена $EF$ равна 22 мм.

2. Вычисление длины звена FK

Звено $FK$ на 7 мм короче звена $EF$. Мы уже знаем, что длина $EF$ составляет 22 мм. Чтобы найти длину $FK$, нужно из длины $EF$ вычесть 7 мм.

$22 \text{ мм} - 7 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$

Таким образом, длина звена $FK$ равна 15 мм.

3. Вычисление общей длины ломаной CEFK

Длина ломаной — это сумма длин всех ее звеньев. В нашем случае это звенья $CE$, $EF$ и $FK$.

Общая длина $= \text{длина } CE + \text{длина } EF + \text{длина } FK$

Подставим найденные значения:

$8 \text{ мм} + 22 \text{ мм} + 15 \text{ мм} = 45 \text{ мм}$

Ответ: 45 мм.

70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.

Рис. 26

а

$5 \text{ мм}$

б

$4 \text{ мм}$

в

$8 \text{ мм}$

а) Для вычисления длины ломаной, изображённой на рисунке а, необходимо определить масштаб и посчитать общую длину всех её сегментов в единицах сетки. Из рисунка видно, что длина стороны одной клетки сетки составляет 5 мм.

Посчитаем длину каждого сегмента ломаной в клетках, двигаясь от внешнего конца к внутреннему: первый (горизонтальный) сегмент имеет длину 8 клеток. Далее идут пары сегментов одинаковой длины: два по 7 клеток, два по 6, два по 5, два по 4, два по 3, два по 2 и два по 1 клетке.

Суммарная длина ломаной в клетках ($L_a$) равна:
$L_a = 8 + (7 \cdot 2) + (6 \cdot 2) + (5 \cdot 2) + (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2)$
$L_a = 8 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 64$ клетки.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество клеток на масштаб:
Длина = $64 \cdot 5 \text{ мм} = 320 \text{ мм}$.

Ответ: 320 мм.

б) Для ломаной, изображённой на рисунке б, сегменты являются диагоналями квадратов, составленных из клеток сетки. Масштаб задан: диагональ одной клетки (квадрата 1x1) равна 4 мм. Будем считать эту длину за одну условную единицу.

Посчитаем длину каждого сегмента в условных единицах, двигаясь от внешнего конца к внутреннему. Ломаная состоит из пар сегментов одинаковой длины:
- Два сегмента, каждый из которых является диагональю квадрата 4x4. Длина каждого — 4 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 3x3. Длина каждого — 3 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 2x2. Длина каждого — 2 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 1x1. Длина каждого — 1 условная единица.

Суммарная длина ломаной в условных единицах ($L_б$) равна:
$L_б = (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2) = 8 + 6 + 4 + 2 = 20$ условных единиц.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество условных единиц на их длину в мм:
Длина = $20 \cdot 4 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$.

Ответ: 80 мм.

в) Для ломаной, изображённой на рисунке в, сегменты также являются диагоналями квадратов, составленных из клеток сетки. Масштаб задан: диагональ квадрата 2x2 равна 8 мм. Это означает, что диагональ квадрата 1x1 (наша условная единица) равна $8 \text{ мм} \div 2 = 4 \text{ мм}$.

Посчитаем длину каждого сегмента в условных единицах, двигаясь от внешнего конца к внутреннему. Ломаная состоит из пар сегментов одинаковой длины:
- Два сегмента — диагонали квадрата 5x5. Длина каждого — 5 условных единиц.
- Два сегмента — диагонали квадрата 4x4. Длина каждого — 4 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 3x3. Длина каждого — 3 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 2x2. Длина каждого — 2 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 1x1. Длина каждого — 1 условная единица.

Суммарная длина ломаной в условных единицах ($L_в$) равна:
$L_в = (5 \cdot 2) + (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2) = 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30$ условных единиц.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество условных единиц на их длину в мм:
Длина = $30 \cdot 4 \text{ мм} = 120 \text{ мм}$.

Ответ: 120 мм.

71. Известно, что $AC = 8$ см, $BD = 6$ см, $BC = 2$ см (рис. 27). Найдите длину отрезка $AD$.

Рис. 27

Для нахождения длины отрезка AD воспользуемся данными из условия и изображением. На прямой последовательно расположены точки A, B, C, D. Это означает, что длина большего отрезка складывается из длин меньших отрезков, которые он в себя включает.

Длину искомого отрезка AD можно представить как сумму длин отрезков AC и CD: $AD = AC + CD$. Или как сумму длин отрезков AB и BD: $AD = AB + BD$.

Найдем длины отрезков AB и CD, используя известные данные.

1. Найдем длину отрезка AB.
Отрезок AC состоит из отрезков AB и BC, поэтому $AC = AB + BC$.
Из этой формулы мы можем выразить длину отрезка AB: $AB = AC - BC$.
Подставим известные значения: $AC = 8$ см, $BC = 2$ см.
$AB = 8 - 2 = 6$ см.

2. Найдем длину отрезка CD.
Отрезок BD состоит из отрезков BC и CD, поэтому $BD = BC + CD$.
Выразим длину отрезка CD: $CD = BD - BC$.
Подставим известные значения: $BD = 6$ см, $BC = 2$ см.
$CD = 6 - 2 = 4$ см.

3. Найдем длину отрезка AD.
Теперь, когда мы знаем длины всех составляющих частей, мы можем найти длину всего отрезка AD. Сложим длины отрезков AC и CD:
$AD = AC + CD$
$AD = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.
Также можно сложить длины отрезков AB, BC и CD:
$AD = AB + BC + CD$
$AD = 6 \text{ см} + 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: 12 см.

72. Известно, что $MF = 30 \text{ см}$, $ME = 18 \text{ см}$, $KF = 22 \text{ см}$ (рис. 28). Найдите длину отрезка $KE$.

Рис. 28

Согласно рисунку, точки M, K, E, F лежат на одной прямой в указанном порядке. Это значит, что длина большего отрезка равна сумме длин составляющих его меньших отрезков.

1. Найдем длину отрезка $EF$. Точка E лежит на отрезке $MF$, поэтому справедливо равенство $MF = ME + EF$. Выразим отсюда $EF$:
$EF = MF - ME$
Подставим известные значения из условия задачи: $MF = 30 \text{ см}$ и $ME = 18 \text{ см}$.
$EF = 30 - 18 = 12 \text{ см}$

2. Теперь найдем искомую длину отрезка $KE$. Точка E лежит на отрезке $KF$, следовательно, $KF = KE + EF$. Выразим отсюда $KE$:
$KE = KF - EF$
Подставим известное значение $KF = 22 \text{ см}$ и вычисленное на предыдущем шаге значение $EF = 12 \text{ см}$.
$KE = 22 - 12 = 10 \text{ см}$

Таким образом, длина отрезка $KE$ составляет 10 см.

Ответ: $10 \text{ см}$.