Номер 70, страница 23 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.

Рис. 26

а

$5 \text{ мм}$

б

$4 \text{ мм}$

в

$8 \text{ мм}$

а) Для вычисления длины ломаной, изображённой на рисунке а, необходимо определить масштаб и посчитать общую длину всех её сегментов в единицах сетки. Из рисунка видно, что длина стороны одной клетки сетки составляет 5 мм.

Посчитаем длину каждого сегмента ломаной в клетках, двигаясь от внешнего конца к внутреннему: первый (горизонтальный) сегмент имеет длину 8 клеток. Далее идут пары сегментов одинаковой длины: два по 7 клеток, два по 6, два по 5, два по 4, два по 3, два по 2 и два по 1 клетке.

Суммарная длина ломаной в клетках ($L_a$) равна:
$L_a = 8 + (7 \cdot 2) + (6 \cdot 2) + (5 \cdot 2) + (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2)$
$L_a = 8 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 64$ клетки.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество клеток на масштаб:
Длина = $64 \cdot 5 \text{ мм} = 320 \text{ мм}$.

Ответ: 320 мм.

б) Для ломаной, изображённой на рисунке б, сегменты являются диагоналями квадратов, составленных из клеток сетки. Масштаб задан: диагональ одной клетки (квадрата 1x1) равна 4 мм. Будем считать эту длину за одну условную единицу.

Посчитаем длину каждого сегмента в условных единицах, двигаясь от внешнего конца к внутреннему. Ломаная состоит из пар сегментов одинаковой длины:
- Два сегмента, каждый из которых является диагональю квадрата 4x4. Длина каждого — 4 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 3x3. Длина каждого — 3 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 2x2. Длина каждого — 2 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 1x1. Длина каждого — 1 условная единица.

Суммарная длина ломаной в условных единицах ($L_б$) равна:
$L_б = (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2) = 8 + 6 + 4 + 2 = 20$ условных единиц.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество условных единиц на их длину в мм:
Длина = $20 \cdot 4 \text{ мм} = 80 \text{ мм}$.

Ответ: 80 мм.

в) Для ломаной, изображённой на рисунке в, сегменты также являются диагоналями квадратов, составленных из клеток сетки. Масштаб задан: диагональ квадрата 2x2 равна 8 мм. Это означает, что диагональ квадрата 1x1 (наша условная единица) равна $8 \text{ мм} \div 2 = 4 \text{ мм}$.

Посчитаем длину каждого сегмента в условных единицах, двигаясь от внешнего конца к внутреннему. Ломаная состоит из пар сегментов одинаковой длины:
- Два сегмента — диагонали квадрата 5x5. Длина каждого — 5 условных единиц.
- Два сегмента — диагонали квадрата 4x4. Длина каждого — 4 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 3x3. Длина каждого — 3 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 2x2. Длина каждого — 2 условные единицы.
- Два сегмента — диагонали квадрата 1x1. Длина каждого — 1 условная единица.

Суммарная длина ломаной в условных единицах ($L_в$) равна:
$L_в = (5 \cdot 2) + (4 \cdot 2) + (3 \cdot 2) + (2 \cdot 2) + (1 \cdot 2) = 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 30$ условных единиц.

Чтобы найти общую длину в миллиметрах, умножим количество условных единиц на их длину в мм:
Длина = $30 \cdot 4 \text{ мм} = 120 \text{ мм}$.

Ответ: 120 мм.