Страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

58. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 20. Измерьте длины звеньев (в миллиметрах) и найдите длину ломаной.

Рис. 20

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага: сначала измерить длину каждого из трех звеньев ломаной линии ABCD, а затем сложить эти длины, чтобы найти общую длину ломаной. Предположим, что ломаная начерчена на стандартной тетрадной сетке, где сторона одной клетки равна 5 мм.

Измерьте длины звеньев (в миллиметрах)

Длину каждого звена можно найти, измерив его линейкой после перерисовки на тетрадный лист в клетку, или можно вычислить точнее с помощью теоремы Пифагора. Для этого представим каждое звено как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого — это смещения по горизонтали и вертикали в клетках.

• Звено AB: Смещение по горизонтали составляет 3 клетки ($3 \times 5 = 15$ мм), а по вертикали — 2 клетки ($2 \times 5 = 10$ мм). Длина звена AB равна: $L_{AB} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18,03$ мм. При измерении линейкой результат будет около 18 мм.

• Звено BC: Смещение по горизонтали составляет 4 клетки ($4 \times 5 = 20$ мм), а по вертикали — 1 клетку ($1 \times 5 = 5$ мм). Длина звена BC равна: $L_{BC} = \sqrt{20^2 + 5^2} = \sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} \approx 20,62$ мм. При измерении линейкой результат будет около 21 мм.

• Звено CD: Смещение по горизонтали составляет 3 клетки ($3 \times 5 = 15$ мм), а по вертикали — 4 клетки ($4 \times 5 = 20$ мм). Длина звена CD равна: $L_{CD} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ мм. Длина этого звена является целым числом.

Ответ: Длины звеньев ломаной: AB ≈ 18 мм, BC ≈ 21 мм, CD = 25 мм.

найдите длину ломаной

Длина всей ломаной линии — это сумма длин всех ее звеньев. Сложим полученные при измерении значения:

$L_{ломаной} = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD} \approx 18 \text{ мм} + 21 \text{ мм} + 25 \text{ мм} = 64 \text{ мм}$.

Ответ: Длина ломаной примерно равна 64 мм.

59. Известно, что отрезок $SK$ в 3 раза больше отрезка $RS$ (рис. 21). Найдите длину отрезка $RK$, если $RS = 34 \text{ см}$.

Рис. 21

Из рисунка видно, что точка S лежит на отрезке RK. Это означает, что длина всего отрезка RK равна сумме длин его частей, отрезков RS и SK.

Математически это можно записать так: $RK = RS + SK$.

По условию задачи нам дано, что длина отрезка $RS = 34$ см.

Также известно, что отрезок SK в 3 раза больше отрезка RS. Вычислим длину отрезка SK:

$SK = 3 \times RS = 3 \times 34 = 102$ см.

Теперь, когда мы знаем длины обоих отрезков, RS и SK, мы можем найти общую длину отрезка RK, сложив их значения:

$RK = 34 \text{ см} + 102 \text{ см} = 136$ см.

Ответ: 136 см.

60. Известно, что отрезок $DB$ в 5 раз меньше отрезка $AD$ (рис. 22). Найдите длину отрезка $AB$, если $AD = 135$ см.

Рис. 22

(изображение отрезка с точками A, D, B)

По условию задачи известно, что отрезок $DB$ в 5 раз меньше отрезка $AD$. Длина отрезка $AD$ составляет 135 см.

1. Найдём длину отрезка DB.
Чтобы найти длину отрезка $DB$, необходимо разделить длину отрезка $AD$ на 5: $DB = AD \div 5 = 135 \div 5 = 27$ см.

2. Найдём длину отрезка AB.
Отрезок $AB$ состоит из двух отрезков: $AD$ и $DB$. Чтобы найти его общую длину, нужно сложить длины этих двух отрезков: $AB = AD + DB = 135 + 27 = 162$ см.

Ответ: 162 см.

61. Известно, что $AC = 32 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$ (рис. 23). Найдите длины отрезков $AB$ и $BD$.

Рис. 23

AB

Для того чтобы найти длину отрезка AB, необходимо рассмотреть отрезок AC. Согласно рисунку, точка B лежит на отрезке AC. Это означает, что длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.
Математически это выражается формулой:
$AC = AB + BC$
Чтобы найти длину AB, выразим её из этой формулы:
$AB = AC - BC$
Подставим известные из условия значения, где $AC = 32$ см и $BC = 9$ см:
$AB = 32 - 9 = 23$ см.
Ответ: 23 см.

BD

Для нахождения длины отрезка BD рассмотрим отрезок, состоящий из двух частей: BC и CD. Согласно рисунку, точка C лежит между точками B и D. Это означает, что длина отрезка BD равна сумме длин отрезков BC и CD.
Математически это выражается формулой:
$BD = BC + CD$
Подставим известные из условия значения, где $BC = 9$ см и $CD = 12$ см:
$BD = 9 + 12 = 21$ см.
Ответ: 21 см.

62. Известно, что $MF = 43$ см, $ME = 26$ см, $KE = 18$ см (рис. 24). Найдите длины отрезков $MK$ и $EF$.

Рис. 24

Согласно рисунку, точки M, K, E, F лежат на одной прямой последовательно. Для решения задачи воспользуемся свойством длины отрезка: длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

1. Найдём длину отрезка MK.

Отрезок ME состоит из двух отрезков: MK и KE. Следовательно, его длина равна сумме длин этих отрезков: $ME = MK + KE$.

По условию нам известны длины отрезков $ME = 26$ см и $KE = 18$ см.

Чтобы найти длину отрезка MK, нужно из длины отрезка ME вычесть длину отрезка KE:

$MK = ME - KE = 26 - 18 = 8$ см.

2. Найдём длину отрезка EF.

Аналогично, отрезок MF состоит из двух отрезков: ME и EF. Его длина равна сумме длин этих отрезков: $MF = ME + EF$.

По условию нам известны длины отрезков $MF = 43$ см и $ME = 26$ см.

Чтобы найти длину отрезка EF, нужно из длины отрезка MF вычесть длину отрезка ME:

$EF = MF - ME = 43 - 26 = 17$ см.

Ответ: $MK = 8$ см, $EF = 17$ см.

63. Даны две точки $A$ и $B$. Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки?

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая. Отрезок, соединяющий две точки, является частью этой прямой, ограниченной данными точками. Таким образом, через две заданные точки А и В можно провести только один-единственный отрезок.

Ответ: 1.

Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков (звеньев). Ломаная, соединяющая точки А и В, может состоять из разного числа звеньев.

1. Ломаная из одного звена. Такая ломаная представляет собой сам отрезок АВ. Существует только одна такая ломаная.

2. Ломаная из двух звеньев. Чтобы построить такую ломаную, нужно выбрать третью точку С, не лежащую на отрезке АВ. Ломаная будет состоять из отрезков АС и СВ. Так как точку С можно выбрать бесконечным количеством способов на плоскости (или в пространстве), то и количество таких ломаных бесконечно.

3. Ломаная из $n$ звеньев, где $n > 2$. Для построения такой ломаной потребуется выбрать $n-1$ промежуточных точек. Это также можно сделать бесконечным числом способов.

Поскольку уже для ломаной из двух звеньев существует бесконечное множество вариантов, то общее количество всех возможных ломаных, соединяющих точки А и В, является бесконечным.

Ответ: бесконечно много.

64. Начертите отрезок $MK$ и отметьте на нём точки $A$ и $C$. Запишите все образовавшиеся отрезки.

Сначала начертим отрезок МК. Затем отметим на этом отрезке точки А и С. Порядок точек А и С между концами отрезка М и К может быть разным, но это не изменит общее количество и наименования образующихся отрезков. Для наглядности расположим точки в следующей последовательности: M, A, C, K.

Теперь запишем все отрезки, которые образовались. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. У нас есть четыре точки: M, A, C, K. Чтобы найти все отрезки, нужно составить все возможные пары из этих точек. Будем перечислять отрезки, выбирая начальную точку и соединяя её со всеми точками, расположенными правее:

• Отрезки, начинающиеся в точке M: MA, MC, MK.
• Отрезки, начинающиеся в точке A (не считая уже названного отрезка MA): AC, AK.
• Отрезок, начинающийся в точке C (не считая уже названных MC и AC): CK.

Таким образом, мы получили 6 отрезков. Общее число отрезков можно также найти по формуле числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n$ — общее количество точек, а $k=2$ (так как отрезок определяется двумя точками). В нашем случае $n=4$, поэтому количество отрезков равно $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{4} = 6$.

Перечислим все получившиеся отрезки: MA, MC, MK, AC, AK, CK.

Ответ: MA, MC, MK, AC, AK, CK.

65. Длина отрезка $AB$ равна $28$ см. Точки $M$ и $K$ принадлежат этому отрезку, причём точка $K$ лежит между точками $M$ и $B$, $AM = 12$ см, $BK = 9$ см. Найдите длину отрезка $MK$.

По условию задачи, точки М и К принадлежат отрезку АВ. Также указано, что точка К лежит между точками М и В. Это означает, что точки на отрезке расположены в следующем порядке: А, М, К, В.

Весь отрезок АВ состоит из трёх последовательных отрезков: АМ, МК и КВ. Следовательно, длина отрезка АВ равна сумме длин этих трёх отрезков:

$AB = AM + MK + KB$

Нам известны следующие длины:

• $AB = 28$ см
• $AM = 12$ см
• $BK = 9$ см (длина отрезка KB равна длине отрезка BK)

Чтобы найти длину неизвестного отрезка МК, выразим её из приведённой выше формулы:

$MK = AB - AM - KB$

Теперь подставим в эту формулу известные значения и выполним вычисления:

$MK = 28 \text{ см} - 12 \text{ см} - 9 \text{ см}$

$MK = 16 \text{ см} - 9 \text{ см}$

$MK = 7 \text{ см}$

Таким образом, длина отрезка МК составляет 7 см.

Ответ: 7 см.

66. Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, длина отрезка $AC$ равна 15 см, а отрезок $AB$ на 5 см больше отрезка $AC$. Чему равна длина отрезка $BC$? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Чему равна длина отрезка BC?
Поскольку точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, то длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, отрезков $AC$ и $BC$. Это можно записать в виде формулы:
$AB = AC + BC$
Из условия задачи также известно, что отрезок $AB$ на 5 см больше отрезка $AC$. Запишем это в виде еще одного равенства:
$AB = AC + 5$
Так как левые части обоих равенств одинаковы (это длина отрезка $AB$), мы можем приравнять их правые части:
$AC + BC = AC + 5$
Теперь, если вычесть из обеих частей уравнения длину отрезка $AC$, мы найдем искомую длину отрезка $BC$:
$BC = 5$ см.
Ответ: длина отрезка BC равна 5 см.

Есть ли в условии задачи лишние данные?
Да, в условии задачи есть лишние данные. Как видно из решения выше, для того чтобы найти длину отрезка $BC$, нам не потребовалось знать конкретную длину отрезка $AC$. Мы использовали только тот факт, что точка $C$ лежит на отрезке $AB$ и что разница длин отрезков $AB$ и $AC$ составляет 5 см. Условие "длина отрезка $AC$ равна 15 см" не было использовано в вычислениях.
Ответ: да, лишним данным является информация о том, что длина отрезка AC равна 15 см.