Страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки?

1.

Для решения этой задачи необходимо обратиться к основным аксиомам геометрии.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами.

Одна из фундаментальных аксиом геометрии (аксиома принадлежности) утверждает, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну. Это означает, что существует единственная прямая, проходящая через две заданные точки.

Так как отрезок, соединяющий эти две точки, является частью этой единственной прямой, то и сам отрезок, ограниченный данными точками, также будет единственным. Невозможно построить какой-либо другой отрезок, который бы соединял те же самые две точки.

Таким образом, для двух данных точек существует ровно один отрезок, для которого они служат концами.

Ответ: 1

2. Как обозначают отрезок?

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются концами отрезка. Существует несколько общепринятых способов обозначения отрезка в геометрии.

Обозначение двумя заглавными буквами

Это самый распространенный способ. Отрезок обозначают двумя заглавными латинскими буквами, которые являются названиями его конечных точек. Порядок букв в обозначении не имеет значения.

Например, если концами отрезка являются точки $A$ и $B$, то отрезок можно обозначить как $AB$ или как $BA$. Оба обозначения, $AB$ и $BA$, указывают на один и тот же отрезок.

Обозначение одной строчной буквой

Иногда, для удобства, отрезок могут обозначать одной строчной (маленькой) латинской буквой. Такое обозначение обычно вводится в контексте конкретной задачи.

Например, можно написать: «Рассмотрим отрезок $a$». В этом случае под буквой $a$ подразумевается конкретный отрезок, определенный на чертеже или в условии задачи.

Важно не путать обозначение самого отрезка (геометрической фигуры) с обозначением его длины. Длину отрезка $AB$ обычно обозначают как $|AB|$ или просто $AB$.

Ответ: Отрезок обозначают двумя заглавными латинскими буквами, соответствующими его концам (например, $AB$), или одной строчной латинской буквой (например, $a$).

3. Какие вы знаете единицы длины?

Существует множество единиц измерения длины, которые можно сгруппировать в различные системы в зависимости от их происхождения и области применения.

Метрическая система

Это наиболее распространенная в мире десятичная система мер. Основной единицей является метр.

• Километр (км): Единица для измерения больших расстояний. $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
• Метр (м): Основная единица длины в Международной системе единиц (СИ).
• Дециметр (дм): $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
• Сантиметр (см): Часто используется для бытовых измерений. $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
• Миллиметр (мм): Используется для точных измерений. $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
• Микрометр (мкм) и Нанометр (нм): Дольные единицы, применяемые в науке и технике для измерения микроскопических объектов. $1 \text{ мм} = 1000 \text{ мкм}$, $1 \text{ мкм} = 1000 \text{ нм}$.

Британская (имперская) и американская системы мер

Исторически сложившаяся система, которая до сих пор официально используется в США, а также частично в Великобритании и ряде других стран.

• Миля (mile): Используется для измерения расстояний в навигации и на транспорте. $1 \text{ миля} = 1760 \text{ ярдов} \approx 1,609 \text{ км}$.
• Ярд (yd): $1 \text{ ярд} = 3 \text{ фута} = 0,9144 \text{ м}$.
• Фут (ft): $1 \text{ фут} = 12 \text{ дюймов} = 30,48 \text{ см}$.
• Дюйм (in): $1 \text{ дюйм} = 2,54 \text{ см}$.

Специализированные и научные единицы

Единицы, применяемые в конкретных областях, таких как мореплавание или астрономия.

• Морская миля: Используется в мореплавании и авиации. $1 \text{ морская миля} = 1852 \text{ м}$.
• Световой год: Астрономическая единица, равная расстоянию, которое электромагнитные волны (свет) проходят в вакууме за один год. $1 \text{ световой год} \approx 9,46 \times 10^{15} \text{ м}$.
• Астрономическая единица (а.е.): Среднее расстояние от Земли до Солнца. $1 \text{ а.е.} \approx 1,496 \times 10^{11} \text{ м}$.
• Парсек (пк): Единица для измерения межзвездных расстояний. $1 \text{ пк} \approx 3,26 \text{ светового года}$.

Старорусские единицы длины

Исторические меры длины, которые использовались на Руси до введения метрической системы.

• Верста: $1 \text{ верста} \approx 1,067 \text{ км}$.
• Сажень: $1 \text{ сажень} \approx 2,134 \text{ м}$.
• Аршин: $1 \text{ аршин} \approx 71,12 \text{ см}$.
• Локоть: Длина руки от локтевого сгиба до конца среднего пальца, составляла от $38$ до $47 \text{ см}$.
• Пядь: Расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев, около $18 \text{ см}$.
• Вершок: $1 \text{ вершок} \approx 4,45 \text{ см}$.

Ответ: Известные единицы длины включают миллиметр, сантиметр, метр, километр (метрическая система); дюйм, фут, ярд, миля (имперская система); морская миля, световой год, парсек (специализированные единицы); а также старорусские единицы, такие как верста, сажень и аршин.

4. Объясните, что означает измерить длину отрезка.

Измерить длину отрезка — это значит сравнить этот отрезок с другим отрезком, который принят за единицу измерения, и выяснить, сколько раз этот единичный отрезок (и его части) укладывается в измеряемом отрезке. Результатом измерения является положительное число, которое и называется длиной отрезка.

Процесс измерения включает в себя следующие ключевые моменты:

1. Выбор единицы измерения. Необходимо выбрать эталонный отрезок, длина которого принимается за единицу. Это может быть стандартная единица (сантиметр, метр, дюйм) или любая другая, выбранная для конкретной задачи.
2. Процесс сравнения. Выбранную единицу измерения последовательно откладывают вдоль измеряемого отрезка, начиная от одного из его концов, без пропусков и наложений.
3. Определение численного значения. Подсчитывается, сколько раз единичный отрезок полностью уместился в измеряемом. Если осталась часть отрезка, меньшая, чем единичный отрезок, то определяют, какую долю единицы измерения она составляет.

Например, если единичный отрезок длиной 1 см уложился на отрезке $AB$ ровно 5 раз, то длина отрезка $AB$ равна 5 см. Если он уложился 5 раз, и осталась часть, равная половине сантиметра, то длина отрезка $AB$ равна 5,5 см.

Таким образом, длина отрезка — это числовая характеристика, обладающая следующими свойствами:

• Длина любого отрезка является положительным числом.
• Равные отрезки имеют равные длины.
• Если отрезок разделен точкой на две части, то его общая длина равна сумме длин этих частей. Например, если точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ на одном отрезке, то длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле: $|AB| = |AC| + |CB|$.

Ответ: Измерить длину отрезка означает найти число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения (и её части) содержится в данном отрезке.

5. Каким свойством обладает длина отрезка?

Длина отрезка — это неотрицательная величина, которая ставится в соответствие каждому отрезку. Ключевым свойством длины отрезка, лежащим в основе его измерения, является свойство аддитивности.

Оно заключается в следующем: если точка C лежит на отрезке AB (между точками A и B), то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей — отрезков AC и CB. Это свойство выражается формулой:

$AB = AC + CB$

Именно это свойство позволяет нам складывать и вычитать длины отрезков, находящихся на одной прямой.

Помимо аддитивности, длина отрезка обладает и другими фундаментальными свойствами. Во-первых, это свойство неотрицательности: длина любого отрезка — число неотрицательное. Длина отрезка равна нулю тогда и только тогда, когда его начало и конец совпадают, то есть отрезок является точкой ($AB \ge 0$). Во-вторых, это свойство равенства: равные (конгруэнтные) отрезки имеют равные длины. Верно и обратное: если длины двух отрезков равны, то эти отрезки равны.

Ответ: Главным свойством длины отрезка является аддитивность: длина всего отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой ($AB = AC + CB$). Также длина обладает свойством неотрицательности ($AB \ge 0$) и свойством равенства (равные отрезки имеют равные длины).

6. Какие отрезки называют равными?

Равными называют отрезки, которые имеют одинаковую длину. Это основное определение, которое используется в геометрии, поскольку длина является ключевой числовой характеристикой отрезка.

С геометрической точки зрения, два отрезка равны, если их можно совместить наложением. Это означает, что если один отрезок переместить в пространстве (без растяжения или сжатия), то он может быть наложен на второй отрезок так, что их концы совпадут.

Например, если у нас есть отрезок $AB$ и отрезок $CD$, и мы утверждаем, что они равны, это записывается как $AB = CD$. Данное равенство означает, что их длины одинаковы. Длину отрезка $AB$ также обозначают как $|AB|$. Таким образом, запись $AB = CD$ эквивалентна записи $|AB| = |CD|$.

Ответ: Равными называют отрезки, которые имеют одинаковую длину.

7. Какие длины имеют равные отрезки?

В геометрии два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это означает, что их концы совпадут.

Ключевым свойством, которое определяет равенство отрезков, является их длина. Длина отрезка — это численная характеристика его протяженности. Если два отрезка равны, то их длины обязательно будут одинаковыми.

Например, если есть отрезок $AB$ и отрезок $CD$, и они равны ($AB = CD$), то их длины, которые также обозначаются как $AB$ и $CD$ (или иногда $|AB|$ и $|CD|$), будут равны.

$AB = CD \iff \text{длина}(AB) = \text{длина}(CD)$

Таким образом, на вопрос, какие длины имеют равные отрезки, ответ будет следующим: равные отрезки имеют равные, то есть одинаковые, длины.

Ответ: Равные отрезки имеют одинаковые (равные) длины.

8. Какой из двух неравных отрезков считают большим?

8. Какой из двух неравных отрезков считают большим?

Сравнение двух отрезков сводится к сравнению их длин. Длина отрезка — это положительное число, которое показывает, сколько раз единичный отрезок (выбранная единица измерения) укладывается в измеряемом отрезке.

Пусть даны два неравных отрезка, например, $AB$ и $CD$. Большим из этих двух отрезков считается тот, у которого численное значение длины больше. Если обозначить длину отрезка $AB$ как $|AB|$, а длину отрезка $CD$ как $|CD|$, то отрезок $AB$ считается большим, чем отрезок $CD$, если выполняется неравенство $|AB| > |CD|$.

Геометрически это можно представить с помощью метода наложения. Если наложить один отрезок (например, $CD$) на другой ($AB$) так, чтобы их начала совпали (точка $C$ совпала с точкой $A$), и они лежали на одной прямой, то большим будет тот отрезок, который полностью содержит в себе другой. Поскольку отрезки неравны, конец одного из них окажется между началом и концом другого. Тот отрезок, который содержит другой, и будет большим.

Ответ: Большим из двух неравных отрезков считают тот отрезок, длина которого больше.

9. Что называют расстоянием между точками $A$ и $B$?

Расстоянием между двумя точками A и B в евклидовой геометрии называют длину отрезка прямой, который соединяет эти две точки. Этот отрезок, обозначаемый как AB, представляет собой кратчайший путь между точками A и B. Расстояние всегда является неотрицательной величиной и равно нулю только в том случае, если точки A и B совпадают.

В координатной геометрии расстояние между точками можно вычислить по формулам, которые зависят от размерности пространства.

На координатной прямой (в одномерном пространстве) для точек A с координатой $x_A$ и B с координатой $x_B$ расстояние равно модулю разности их координат: $d(A, B) = |x_B - x_A|$.

На плоскости (в двумерном пространстве) для точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ расстояние вычисляется на основе теоремы Пифагора: $d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

В трехмерном пространстве для точек $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$ формула является обобщением теоремы Пифагора: $d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

В более общем математическом смысле, расстояние (или метрика) — это функция, удовлетворяющая трем аксиомам: тождества ($d(A, B) = 0 \iff A = B$), симметрии ($d(A, B) = d(B, A)$) и неравенства треугольника ($d(A, B) \le d(A, C) + d(C, B)$).

Ответ: Расстоянием между точками A и B называют длину отрезка, соединяющего эти точки.

10. Объясните, какую геометрическую фигуру называют ломаной.

10.

Ломаная линия (или просто ломаная) — это геометрическая фигура, которая состоит из конечного числа отрезков, расположенных так, что конец первого отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего и так далее.

Для более точного определения, рассмотрим последовательность точек $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$. Фигура, образованная отрезками $A_1A_2$, $A_2A_3$, ..., $A_{n-1}A_n$, соединенными в указанном порядке, и называется ломаной.

У ломаной есть свои основные элементы:

• Вершины ломаной — это точки $A_1, A_2, \dots, A_n$, из которых она состоит.
• Звенья ломаной — это отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$, ..., $A_{n-1}A_n$, которые соединяют соседние вершины.
• Концы ломаной — это её первая ($A_1$) и последняя ($A_n$) вершины. Все остальные вершины называются внутренними.

Как правило, при определении ломаной добавляют условие, что никакие два соседних звена не лежат на одной прямой, чтобы линия была действительно "ломаной".

Ломаные линии можно классифицировать по нескольким признакам:

• Незамкнутая (открытая) ломаная: ломаная, у которой начальная и конечная точки не совпадают (то есть $A_1 \neq A_n$).
• Замкнутая ломаная: ломаная, у которой начальная и конечная точки совпадают (то есть $A_1 = A_n$). Замкнутая ломаная без самопересечений образует многоугольник.
• Простая ломаная (без самопересечений): ломаная, у которой звенья не пересекаются друг с другом, за исключением соседних звеньев, которые пересекаются в общей вершине.

Длина ломаной определяется как сумма длин всех её звеньев. Для ломаной $A_1A_2...A_n$ её длина $L$ рассчитывается по формуле:
$L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \dots + |A_{n-1}A_n|$

Пример: Ломаная $MNPQ$ состоит из вершин $M, N, P, Q$ и трех звеньев: $MN$, $NP$ и $PQ$. Точки $M$ и $Q$ являются её концами.

Ответ: Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами. Точки соединения отрезков называются вершинами, а сами отрезки — звеньями ломаной. Ломаная может быть замкнутой (если её начало и конец совпадают) или незамкнутой.

11. Что называют длиной ломаной?

Длиной ломаной линии (или просто ломаной) называется сумма длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит.

Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки, в которых они соединяются, — вершинами.

Чтобы найти длину ломаной, нужно измерить длину каждого её звена и сложить полученные значения. Если ломаная состоит из $n$ звеньев, длины которых равны $l_1, l_2, l_3, \dots, l_n$, то её общая длина $L$ вычисляется по формуле: $L = l_1 + l_2 + l_3 + \dots + l_n$

Например, если ломаная состоит из трех звеньев длиной 5 см, 7 см и 3 см, то её общая длина будет равна: $L = 5 + 7 + 3 = 15$ см.

Ответ: Длиной ломаной называют сумму длин всех её звеньев.

12. Какую ломаную называют замкнутой?

Ломаная линия — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединённых в точках, называемых вершинами. Отрезки называются звеньями ломаной. У любой ломаной есть начало (первая вершина) и конец (последняя вершина).

Ломаную называют замкнутой, если её начало и конец совпадают. Иначе говоря, первая и последняя вершины ломаной — это одна и та же точка. Такая ломаная образует замкнутый контур.

Математически, если ломаная задана последовательностью вершин $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$, то она является замкнутой при выполнении условия $A_1 = A_n$. Простейшими примерами замкнутых ломаных являются многоугольники: треугольник, квадрат, пятиугольник и т.д.

Ответ: Замкнутой называют ломаную, у которой концы (начальная и конечная точки) совпадают.

1. Какое число больше числа 46 на 9? Какое число меньше числа 72 на 15? Какое число больше числа 21 в 7 раз? Какое число меньше числа 65 в 13 раз?

Какое число больше числа 46 на 9?

Чтобы найти число, которое на 9 больше, чем 46, необходимо выполнить сложение. К числу 46 прибавляем 9.

$46 + 9 = 55$

Ответ: 55.

Какое число меньше числа 72 на 15?

Чтобы найти число, которое на 15 меньше, чем 72, необходимо выполнить вычитание. Из числа 72 вычитаем 15.

$72 - 15 = 57$

Ответ: 57.

Какое число больше числа 21 в 7 раз?

Чтобы найти число, которое в 7 раз больше, чем 21, необходимо выполнить умножение. Число 21 умножаем на 7.

$21 \times 7 = 147$

Ответ: 147.

Какое число меньше числа 65 в 13 раз?

Чтобы найти число, которое в 13 раз меньше, чем 65, необходимо выполнить деление. Число 65 делим на 13.

$65 \div 13 = 5$

Ответ: 5.