Страница 21 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

49. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку $C$ так, чтобы $CB = 3 \text{ см } 4 \text{ мм}$. Какова длина отрезка $AC$?

По условию задачи, точка C лежит на отрезке AB. Следовательно, длина всего отрезка AB складывается из длин его частей, отрезков AC и CB. Это можно записать в виде формулы: $AB = AC + CB$.

Чтобы найти длину неизвестного отрезка AC, необходимо из длины всего отрезка AB вычесть длину известной части CB.

$AC = AB - CB$

Подставим известные значения:

$AB = 8$ см $9$ мм

$CB = 3$ см $4$ мм

Для удобства вычислений отнимем миллиметры от миллиметров, а сантиметры от сантиметров:

$9$ мм $– 4$ мм $= 5$ мм

$8$ см $– 3$ см $= 5$ см

Сложив полученные результаты, получаем длину отрезка AC:

$AC = 5$ см $5$ мм

Ответ: длина отрезка AC равна 5 см 5 мм.

50. Начертите отрезок $TP$, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку $E$ так, чтобы $TE = 2 \text{ см } 6 \text{ мм}$. Какова длина отрезка $EP$?

Чтобы найти длину отрезка EP, необходимо из длины всего отрезка TP вычесть длину его известной части TE. Это следует из того, что точка E расположена на отрезке TP, и, следовательно, длина всего отрезка равна сумме длин его частей:

$TP = TE + EP$

Выразим из этой формулы искомую длину отрезка EP:

$EP = TP - TE$

Подставим значения, данные в условии задачи:

$TP = 7 \text{ см } 8 \text{ мм}$

$TE = 2 \text{ см } 6 \text{ мм}$

Теперь выполним вычитание. Удобнее всего вычитать сантиметры из сантиметров, а миллиметры из миллиметров:

$EP = (7 \text{ см } 8 \text{ мм}) - (2 \text{ см } 6 \text{ мм}) = (7 - 2) \text{ см } + (8 - 6) \text{ мм} = 5 \text{ см } 2 \text{ мм}$

Также можно выполнить вычисления, переведя все величины в миллиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$:

$TP = 7 \text{ см } 8 \text{ мм} = 7 \times 10 + 8 = 78 \text{ мм}$

$TE = 2 \text{ см } 6 \text{ мм} = 2 \times 10 + 6 = 26 \text{ мм}$

$EP = 78 \text{ мм} - 26 \text{ мм} = 52 \text{ мм}$

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры: $52 \text{ мм} = 5 \text{ см } 2 \text{ мм}$.

Ответ: 5 см 2 мм.

51. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $CD$ (рис. 17). Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 17

Сравнение на глаз

При визуальном сравнении отрезков $AB$ и $CD$ возникает оптическая иллюзия, известная как иллюзия Мюллера-Лайера. Из-за наконечников, направленных наружу, отрезок $AB$ кажется короче. Напротив, отрезок $CD$ с наконечниками, направленными внутрь, кажется длиннее. Таким образом, при оценке на глаз создается впечатление, что отрезок $CD$ длиннее отрезка $AB$.

Ответ: На глаз кажется, что $CD > AB$.

Проверка измерением

Чтобы проверить вывод, сделанный на глаз, выполним измерение отрезков с помощью линейки.
1. Приложим линейку к отрезку $AB$ так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой $A$. Зафиксируем длину отрезка, посмотрев на деление линейки, совпадающее с точкой $B$.
2. Проделаем то же самое с отрезком $CD$: приложим линейку нулевой отметкой к точке $C$ и измерим расстояние до точки $D$.
После проведения измерений мы обнаружим, что, несмотря на различие в визуальном восприятии, фактические длины отрезков одинаковы.

Ответ: Измерение показывает, что длины отрезков равны: $AB = CD$.

$52.$ Назовите все ломаные, изображённые на рисунке $11$. Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

Для ответа на данный вопрос необходим рисунок 11, который не был предоставлен. Задача требует анализа конкретного изображения для идентификации ломаных линий и подсчета их звеньев. Без этого изображения дать точный ответ невозможно. Ниже приведено общее объяснение, как бы решалась эта задача при наличии рисунка.

Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 11.

Ломаная линия — это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, соединённых последовательно. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами. Чтобы назвать ломаную, нужно перечислить её вершины в порядке их следования.

Например, если на рисунке изображена ломаная с вершинами в точках A, B, C, то она называется ломаная ABC. Её звеньями являются отрезки AB и BC.

Для решения этой части задачи нужно было бы найти на рисунке 11 все ломаные и записать их названия, перечислив последовательно буквы, обозначающие их вершины.

Ответ: Так как рисунок 11 отсутствует, перечислить изображённые на нём ломаные невозможно.

Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо для каждой ломаной, найденной в первом пункте, посчитать количество её звеньев (отрезков). Количество звеньев ломаной всегда на единицу меньше количества её вершин. Например, у ломаной ABC (3 вершины) — 2 звена, а у ломаной MNPQ (4 вершины) — 3 звена.

После подсчёта количества звеньев у каждой ломаной, нужно сравнить полученные числа и выбрать то, которое является наибольшим. Ломаная, соответствующая этому числу, и будет ответом.

Ответ: Определить ломаную с наибольшим количеством звеньев невозможно без рисунка 11.

53. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 18, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Рис. 18

Назовите звенья ломаной

Ломаная линия, изображенная на рисунке, состоит из отрезков, которые являются ее звеньями. Последовательно перечисляя отрезки от точки A до точки R, получаем следующие звенья: AB, BE, EK, KP, PR.

Ответ: звенья ломаной: AB, BE, EK, KP, PR.

Измерьте их длины (в миллиметрах)

Для измерения длин звеньев необходимо воспользоваться линейкой. Так как точное измерение возможно только на оригинальном печатном рисунке, здесь мы приведем примерные значения, полученные при измерении на изображении. (Ваши измерения могут незначительно отличаться).
Измерим каждое звено в миллиметрах:
Длина звена AB ≈ $25$ мм.
Длина звена BE ≈ $22$ мм.
Длина звена EK ≈ $28$ мм.
Длина звена KP ≈ $20$ мм.
Длина звена PR ≈ $15$ мм.

Ответ: примерные длины звеньев: AB ≈ $25$ мм, BE ≈ $22$ мм, EK ≈ $28$ мм, KP ≈ $20$ мм, PR ≈ $15$ мм.

Вычислите длину ломаной

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Чтобы вычислить общую длину, сложим длины всех измеренных звеньев:

$L = AB + BE + EK + KP + PR$

$L \approx 25 \text{ мм} + 22 \text{ мм} + 28 \text{ мм} + 20 \text{ мм} + 15 \text{ мм}$

$L \approx 110 \text{ мм}$

Полученную длину можно также выразить в сантиметрах, зная, что $1$ см = $10$ мм:

$110 \text{ мм} = 11 \text{ см}$

Ответ: примерная длина ломаной составляет $110$ мм (или $11$ см).

54. Запишите звенья ломаной, изображенной на рисунке 19, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Рис. 18

Рис. 19

Звенья ломаной на рисунке 19:

$ST$

$TK$

$KM$

$MD$

$DO$

$OF$

Запишите звенья ломаной, изображенной на рисунке 19

Ломаная, показанная на рисунке 19, состоит из последовательно соединенных отрезков, которые являются ее звеньями. Перечислим их по порядку, двигаясь от точки S к точке F:

• ST
• TK
• KM
• MD
• DO
• OF

Ответ: Звенья ломаной: ST, TK, KM, MD, DO, OF.

Измерьте их длины (в миллиметрах)

Для нахождения длин звеньев необходимо использовать линейку. Результаты измерений (могут незначительно отличаться в зависимости от масштаба изображения):

• Длина звена ST составляет 30 мм.
• Длина звена TK составляет 15 мм.
• Длина звена KM составляет 20 мм.
• Длина звена MD составляет 10 мм.
• Длина звена DO составляет 15 мм.
• Длина звена OF составляет 15 мм.

Ответ: $|ST| = 30$ мм, $|TK| = 15$ мм, $|KM| = 20$ мм, $|MD| = 10$ мм, $|DO| = 15$ мм, $|OF| = 15$ мм.

Вычислите длину ломаной

Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев. Обозначим искомую длину буквой $L$.

Формула для расчета:

$L = |ST| + |TK| + |KM| + |MD| + |DO| + |OF|$

Подставим измеренные значения длин в формулу и произведем вычисление:

$L = 30 + 15 + 20 + 10 + 15 + 15$

Сложим все значения:

$30 + 15 + 20 + 10 + 15 + 15 = 105$ мм.

Длину можно также выразить в сантиметрах: $105 \text{ мм} = 10,5 \text{ см}$.

Ответ: Длина ломаной составляет 105 мм.

55. Отметьте в узле клеток тетради точку A; точку B разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки A; точку C — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки B; точку D — на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки C; точку E — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки D. Соедините последовательно отрезками точки A, B, C, D и E. Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.

Для решения задачи представим тетрадный лист как координатную плоскость, где одна клетка соответствует одной единице. Примем точку $A$ за начало координат, то есть $A(0, 0)$. Теперь последовательно найдём координаты остальных точек, следуя условиям.

Точка $B$ размещена на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки $A$. Её координаты будут $B(0-4, 0+5)$, то есть $B(-4, 5)$.

Точка $C$ размещена на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки $B$. Её координаты будут $C(-4+3, 5+1)$, то есть $C(-1, 6)$.

Точка $D$ размещена на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки $C$. Её координаты будут $D(-1+3, 6-3)$, то есть $D(2, 3)$.

Точка $E$ размещена на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки $D$. Её координаты будут $E(2+1, 3-2)$, то есть $E(3, 1)$.

Соединив последовательно отрезками точки $A, B, C, D$ и $E$, мы получим геометрическую фигуру, состоящую из отрезков (звеньев) $AB, BC, CD$ и $DE$.

Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.

Фигура, которая образовалась в результате последовательного соединения точек отрезками, называется ломаной линией. Так как конечная точка $E$ не совпадает с начальной точкой $A$, эта ломаная является незамкнутой.
Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. В данном случае это отрезки $AB, BC, CD$ и $DE$. Подсчитав их, получаем, что количество звеньев равно 4.
Ответ: незамкнутая ломаная линия, 4 звена.

56. Вычислите длину ломаной $ABCDE$, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $CD = 23$ см, $DE = 10$ см.

Длина ломаной линии равна сумме длин всех ее звеньев (отрезков). Ломаная $ABCDE$ состоит из четырех звеньев: $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.

Для того чтобы вычислить общую длину ломаной, необходимо сложить длины всех ее звеньев. Согласно условию задачи, мы имеем следующие длины:

$AB = 8$ см

$BC = 14$ см

$CD = 23$ см

$DE = 10$ см

Сложим длины этих отрезков, чтобы найти общую длину $L$ ломаной:

$L = AB + BC + CD + DE$

$L = 8 \text{ см} + 14 \text{ см} + 23 \text{ см} + 10 \text{ см}$

Выполним вычисление:

$8 + 14 = 22$

$22 + 23 = 45$

$45 + 10 = 55$

Таким образом, длина ломаной $ABCDE$ составляет 55 см.

Ответ: 55 см.

57. Вычислите длину ломаной $MNKPEF$, если $MN = 42$ мм, $NK = 38$ мм, $KP = 19$ мм, $PE = 12$ мм, $EF = 29$ мм.

Длина ломаной линии представляет собой сумму длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит. Ломаная линия MNKPEF состоит из следующих звеньев: MN, NK, KP, PE и EF.

Чтобы найти общую длину ломаной, необходимо сложить длины всех её звеньев:

$L = MN + NK + KP + PE + EF$

Согласно условию задачи, нам известны длины каждого звена:

• $MN = 42$ мм
• $NK = 38$ мм
• $KP = 19$ мм
• $PE = 12$ мм
• $EF = 29$ мм

Подставим эти значения в формулу и произведем вычисления:

$L = 42 + 38 + 19 + 12 + 29$

Для удобства сложим числа по частям:

$42 + 38 = 80$

$80 + 19 = 99$

$99 + 12 = 111$

$111 + 29 = 140$

Таким образом, общая длина ломаной MNKPEF равна 140 мм.

Ответ: 140 мм.