Страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Назовите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6.

Чтобы найти все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6, представим такое число в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

По условию, число является двузначным, значит, первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a$ может быть от 1 до 9. Вторая цифра $b$ может быть любой от 0 до 9.

Сумма цифр должна быть равна 6, что можно записать в виде уравнения: $a + b = 6$.

Теперь systematically переберем все возможные значения для цифры $a$ от 1 до 9 и найдем соответствующее значение для $b$:

1. Если $a = 1$, то $1 + b = 6$, откуда $b = 5$. Получаем число 15.
2. Если $a = 2$, то $2 + b = 6$, откуда $b = 4$. Получаем число 24.
3. Если $a = 3$, то $3 + b = 6$, откуда $b = 3$. Получаем число 33.
4. Если $a = 4$, то $4 + b = 6$, откуда $b = 2$. Получаем число 42.
5. Если $a = 5$, то $5 + b = 6$, откуда $b = 1$. Получаем число 51.
6. Если $a = 6$, то $6 + b = 6$, откуда $b = 0$. Получаем число 60.

Если мы возьмем $a$ больше 6 (например, $a=7$), то значение $b$ станет отрицательным ($b = 6 - 7 = -1$), что невозможно, так как $b$ должно быть цифрой от 0 до 9. Таким образом, мы нашли все подходящие числа.

Ответ: 15, 24, 33, 42, 51, 60.

3. Назовите все двузначные числа, разность цифр которых равна 7.

Для решения этой задачи нам нужно найти все двузначные числа, у которых разница между цифрой десятков и цифрой единиц (по модулю) равна 7.

Пусть двузначное число состоит из цифры десятков a и цифры единиц b. Цифра десятков a может принимать значения от 1 до 9, а цифра единиц b — от 0 до 9. Условие задачи можно записать в виде математического уравнения: $|a - b| = 7$.

Это уравнение распадается на два случая:

1. $a - b = 7$
2. $b - a = 7$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $a - b = 7$

В этом случае цифра десятков больше цифры единиц. Подберем возможные пары цифр:

• Если $a = 7$, то $b = 7 - 7 = 0$. Получаем число 70.
• Если $a = 8$, то $b = 8 - 7 = 1$. Получаем число 81.
• Если $a = 9$, то $b = 9 - 7 = 2$. Получаем число 92.

Других вариантов нет, так как при $a < 7$ значение $b$ будет отрицательным, что невозможно для цифры.

Случай 2: $b - a = 7$

В этом случае цифра единиц больше цифры десятков. Подберем возможные пары цифр:

• Если $a = 1$, то $b = 1 + 7 = 8$. Получаем число 18.
• Если $a = 2$, то $b = 2 + 7 = 9$. Получаем число 29.

Других вариантов нет, так как при $a \ge 3$ значение $b$ будет больше 9, что невозможно для цифры.

Объединив результаты из обоих случаев, мы получаем полный список искомых чисел.

Ответ: 18, 29, 70, 81, 92.

4. Назовите три последовательных натуральных числа, наименьшим из которых является наибольшее четырёхзначное число.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага.

1. Определить наибольшее четырёхзначное число.
Наибольшее натуральное число, состоящее из четырех цифр, — это число, у которого в каждом разряде стоит самая большая цифра, то есть 9. Таким образом, наибольшее четырёхзначное число — это 9999.

2. Найти три последовательных натуральных числа.
По условию задачи, найденное число 9999 является наименьшим из трёх искомых последовательных чисел. Последовательные натуральные числа — это числа, которые идут друг за другом в порядке возрастания и отличаются на 1.

Пусть наименьшее число равно $n$. Тогда следующие два последовательных числа будут $n+1$ и $n+2$.

Поскольку нам известно, что $n = 9999$, мы можем найти два следующих числа:

• Первое число (наименьшее): 9999
• Второе число: $9999 + 1 = 10000$
• Третье число: $10000 + 1 = 10001$

Таким образом, искомые три последовательных натуральных числа — это 9999, 10000 и 10001.

Ответ: 9999, 10000, 10001.

5. Назовите три последовательных натуральных числа, наибольшим из которых является наименьшее четырёхзначное число.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага.

1. Найти наименьшее четырёхзначное число. Наибольшим трёхзначным числом является 999. Следующее за ним натуральное число — 1000. Оно является первым числом, для записи которого нужно четыре знака, следовательно, 1000 — это наименьшее четырёхзначное число.

2. Найти три последовательных числа. По условию, 1000 является наибольшим из трёх искомых последовательных натуральных чисел. Чтобы найти два предыдущих числа, нужно последовательно вычесть единицу.

• Наибольшее число: $1000$
• Среднее число: $1000 - 1 = 999$
• Наименьшее число: $999 - 1 = 998$

Таким образом, мы получаем три последовательных натуральных числа: 998, 999 и 1000.

Ответ: 998, 999, 1000.

6. Выразите в сантиметрах:

1) 7 дм 4 см;

2) 4 м 1 см;

3) 2 м 6 дм;

4) 1 м 2 дм 5 см.

Для того чтобы выразить данные значения в сантиметрах, необходимо использовать следующие соотношения единиц длины:

• 1 метр (м) = 100 сантиметров (см)
• 1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см)

1) 7 дм 4 см
Чтобы перевести 7 дм 4 см в сантиметры, нужно сначала перевести дециметры в сантиметры, а затем прибавить оставшиеся сантиметры.
$7 \text{ дм } = 7 \cdot 10 \text{ см } = 70 \text{ см }$.
$70 \text{ см } + 4 \text{ см } = 74 \text{ см }$.
Следовательно, $7 \text{ дм } 4 \text{ см } = 74 \text{ см }$.
Ответ: 74 см.

2) 4 м 1 см
Чтобы перевести 4 м 1 см в сантиметры, нужно перевести метры в сантиметры и прибавить оставшийся сантиметр.
$4 \text{ м } = 4 \cdot 100 \text{ см } = 400 \text{ см }$.
$400 \text{ см } + 1 \text{ см } = 401 \text{ см }$.
Следовательно, $4 \text{ м } 1 \text{ см } = 401 \text{ см }$.
Ответ: 401 см.

3) 2 м 6 дм
Чтобы перевести 2 м 6 дм в сантиметры, нужно перевести и метры, и дециметры в сантиметры, а затем сложить полученные значения.
$2 \text{ м } = 2 \cdot 100 \text{ см } = 200 \text{ см }$.
$6 \text{ дм } = 6 \cdot 10 \text{ см } = 60 \text{ см }$.
$200 \text{ см } + 60 \text{ см } = 260 \text{ см }$.
Следовательно, $2 \text{ м } 6 \text{ дм } = 260 \text{ см }$.
Ответ: 260 см.

4) 1 м 2 дм 5 см
Чтобы перевести 1 м 2 дм 5 см в сантиметры, нужно перевести метры и дециметры в сантиметры, а потом сложить все три значения.
$1 \text{ м } = 1 \cdot 100 \text{ см } = 100 \text{ см }$.
$2 \text{ дм } = 2 \cdot 10 \text{ см } = 20 \text{ см }$.
$100 \text{ см } + 20 \text{ см } + 5 \text{ см } = 125 \text{ см }$.
Следовательно, $1 \text{ м } 2 \text{ дм } 5 \text{ см } = 125 \text{ см }$.
Ответ: 125 см.

7. Выразите в дециметрах и сантиметрах:

1) 72 см;

2) 146 см;

3) 450 мм;

4) 8 м 40 мм.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими соотношениями единиц длины:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм} = 100 \text{ см}$

1) 72 см

Чтобы выразить 72 сантиметра в дециметрах и сантиметрах, нужно разделить это число на 10, так как в одном дециметре 10 сантиметров. Целая часть от деления будет количеством дециметров, а остаток — количеством сантиметров.
$72 \text{ см} = 70 \text{ см} + 2 \text{ см} = (70 \div 10) \text{ дм} + 2 \text{ см} = 7 \text{ дм } 2 \text{ см}$.
Ответ: 7 дм 2 см.

2) 146 см

Аналогично первому пункту, разделим 146 на 10.
$146 \text{ см} = 140 \text{ см} + 6 \text{ см} = (140 \div 10) \text{ дм} + 6 \text{ см} = 14 \text{ дм } 6 \text{ см}$.
Ответ: 14 дм 6 см.

3) 450 мм

Сначала переведем миллиметры в сантиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$450 \text{ мм} = (450 \div 10) \text{ см} = 45 \text{ см}$.
Теперь переведем 45 сантиметров в дециметры и сантиметры.
$45 \text{ см} = 40 \text{ см} + 5 \text{ см} = (40 \div 10) \text{ дм} + 5 \text{ см} = 4 \text{ дм } 5 \text{ см}$.
Ответ: 4 дм 5 см.

4) 8 м 40 мм

Переведем каждую часть в нужные единицы измерения, а затем сложим их.
Сначала переведем метры в дециметры: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, следовательно, $8 \text{ м} = 8 \times 10 \text{ дм} = 80 \text{ дм}$.
Затем переведем миллиметры в сантиметры: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, следовательно, $40 \text{ мм} = (40 \div 10) \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Теперь сложим полученные значения: $80 \text{ дм} + 4 \text{ см} = 80 \text{ дм } 4 \text{ см}$.
Ответ: 80 дм 4 см.

44. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 15.

Рис. 15

а) $AB$

$BC$

$AC$

$AK$

$BK$

$CK$

б) $OP$

$PT$

$OT$

$OR$

$RT$

в) $AE$

$EC$

$CD$

$AC$

$AD$

$ED$

г) $MN$

$NE$

$EP$

$PQ$

$MQ$

$ME$

$EQ$

а

На рисунке а изображены точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка K, не лежащая на этой прямой. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Перечислим все отрезки, которые можно увидеть на данном рисунке:

1. Отрезки, концы которых лежат на горизонтальной прямой: AB, BC, AC.
2. Отрезок, соединяющий точку B на прямой с точкой K: BK.

Таким образом, на рисунке изображено 4 отрезка.

Ответ: AB, BC, AC, BK.

б

На рисунке б изображен треугольник OPT и отрезок OR, где точка R лежит на стороне PT. Перечислим все отрезки:

1. Стороны треугольника OPT: OP, PT, OT.
2. Отрезок, соединяющий вершину O с точкой R на противоположной стороне: OR.
3. Точка R делит сторону PT на два отрезка: PR и RT.

Таким образом, на рисунке изображено 6 отрезков.

Ответ: OP, PT, OT, OR, PR, RT.

в

На рисунке в изображены четыре точки A, E, C, D, лежащие на одной прямой. Чтобы найти все отрезки, нужно перечислить все возможные пары точек:

1. Отрезки, начинающиеся в точке A: AE, AC, AD.
2. Отрезки, начинающиеся в точке E (двигаясь вправо): EC, ED.
3. Отрезок, начинающийся в точке C (двигаясь вправо): CD.

Всего $ (4 \cdot 3) / 2 = 6 $ отрезков.

Ответ: AE, AC, AD, EC, ED, CD.

г

На рисунке г изображен многоугольник MNEPQ. Перечислим все отрезки, которые являются его сторонами или диагоналями:

1. Стороны многоугольника: MN, NE, EP, PQ, QM.
2. Внутренние отрезки (диагонали), проведенные из вершины E: ME, EQ.

Таким образом, на рисунке изображено 7 отрезков.

Ответ: MN, NE, EP, PQ, QM, ME, EQ.

45. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 16.

Рис. 16

а) $AO$, $OD$, $AD$, $BO$, $OC$, $BC$.

б) $EF$, $ES$, $FS$, $MK$, $KN$, $NP$, $MN$, $MP$, $KP$, $EK$, $EN$, $FK$, $FN$.

а) На данном рисунке изображены два пересекающихся в точке O отрезка AC и BD, а также отрезок AD. Точка пересечения O делит отрезки AC и BD на более мелкие части, которые также являются отрезками. Чтобы найти все отрезки, перечислим их систематически:
1. Отрезки, лежащие на прямой AC: это отрезки, образованные точками A, O, C. Получаем отрезки AO, OC и составной отрезок AC.
2. Отрезки, лежащие на прямой BD: это отрезки, образованные точками B, O, D. Получаем отрезки BO, OD и составной отрезок BD.
3. Отрезок, соединяющий точки A и D: это отрезок AD.
Таким образом, всего на рисунке изображено 7 отрезков.
Ответ: AO, OC, AC, BO, OD, BD, AD.

б) На данном рисунке изображены два отрезка, EF и ES, выходящие из общей точки E. Их пересекает прямая, на которой отмечены точки M, K, N, P. Точка K лежит на отрезке EF, а точка N — на отрезке ES. Чтобы найти все отрезки, перечислим их по группам:
1. Отрезки на линии EF: точка K делит отрезок EF. Таким образом, мы имеем отрезки FK, KE и весь отрезок FE.
2. Отрезки на линии ES: точка N делит отрезок ES. Таким образом, мы имеем отрезки SN, NE и весь отрезок SE.
3. Отрезки на прямой MP: на этой прямой лежат четыре точки: M, K, N, P. Любая пара этих точек образует отрезок. Перечислим их все: MK, MN, MP, KN, KP, NP.
Суммируя все найденные отрезки (3 + 3 + 6), получаем 12 отрезков.
Ответ: FK, KE, FE, SN, NE, SE, MK, MN, MP, KN, KP, NP.

46. Отметьте в тетради точки $A$, $B$, $C$, $D$ и соедините их попарно отрезками. Сколько отрезков образовалось? Сколько образовалось отрезков с концом в точке $A$?

Чтобы решить задачу, отметим четыре точки A, B, C и D. Попарное соединение точек отрезками означает, что мы должны провести отрезок между каждыми двумя точками.

Сколько отрезков образовалось?

Можно перечислить все возможные отрезки, соединяющие 4 точки (A, B, C, D) попарно:

• Из точки A можно провести отрезки к точкам B, C и D. Это 3 отрезка: AB, AC, AD.
• Из точки B можно провести отрезки к точкам C и D (отрезок BA это то же самое, что и AB, поэтому мы его не считаем повторно). Это 2 новых отрезка: BC, BD.
• Из точки C можно провести отрезок к точке D (отрезки CA и CB уже посчитаны). Это 1 новый отрезок: CD.
• Из точки D все отрезки (DA, DB, DC) уже учтены.

Сложим количество отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$.

Также можно использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, так как каждый отрезок — это выбор двух точек из четырех без учета порядка.
Количество отрезков равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Ответ: 6 отрезков.

Сколько образовалось отрезков с концом в точке A?

Чтобы найти количество отрезков с концом в точке A, нужно посчитать, со сколькими другими точками соединена точка A. Точка A соединена с каждой из оставшихся трех точек: B, C и D.
Таким образом, образуются следующие отрезки с концом в точке A: AB, AC, AD.
Всего таких отрезков 3.
Ответ: 3 отрезка.

47. Начертите отрезки $MN$ и $AC$ так, чтобы $MN = 6 \text{ см } 3 \text{ мм}$, $AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм}$.

Для построения отрезков необходимо воспользоваться линейкой. Чтобы было удобнее откладывать длину, сначала переведем ее в миллиметры, зная, что в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Отрезок MN

Длина отрезка MN равна 6 см 3 мм. Выразим это значение в миллиметрах:
$MN = 6 \text{ см } 3 \text{ мм} = 6 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 60 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 63 \text{ мм}$.
Чтобы начертить отрезок, нужно поставить на листе бумаги точку M. Затем приложить к ней линейку так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой M. После этого найти на шкале линейки отметку 63 мм (это 6 см и 3 мм), поставить там точку N и соединить точки M и N прямой линией.

Ответ: Построен отрезок MN длиной 6 см 3 мм.

Отрезок AC

Длина отрезка AC равна 5 см 4 мм. Выразим это значение в миллиметрах:
$AC = 5 \text{ см } 4 \text{ мм} = 5 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 50 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 54 \text{ мм}$.
Чтобы начертить отрезок, нужно поставить на листе бумаги точку A. Затем приложить к ней линейку так, чтобы нулевая отметка совпала с точкой A. После этого найти на шкале линейки отметку 54 мм (это 5 см и 4 мм), поставить там точку C и соединить точки A и C прямой линией.

Ответ: Построен отрезок AC длиной 5 см 4 мм.

48. Начертите отрезки $EF$ и $BK$ так, чтобы $EF = 9 \text{ см } 2 \text{ мм}$, $BK = 7 \text{ см } 6 \text{ мм}$.

Для выполнения этого задания понадобится линейка и карандаш.

Построение отрезка EF

Длина отрезка EF задана как 9 см 2 мм. Для удобства построения можно перевести эту величину в одну единицу измерения. Вспомним, что в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Тогда длина отрезка EF в миллиметрах:
$EF = 9 \text{ см } 2 \text{ мм} = 9 \times 10 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 90 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 92 \text{ мм}$.

Или в сантиметрах:
$EF = 9 \text{ см } 2 \text{ мм} = 9 \text{ см} + \frac{2}{10} \text{ см} = 9.2 \text{ см}$.

Чтобы начертить отрезок, выполните следующие действия:

1. Поставьте на листе бумаги точку и обозначьте ее буквой E. Это будет начало отрезка.
2. Приложите линейку к точке E так, чтобы нулевая отметка на шкале совпала с этой точкой.
3. Найдите на шкале линейки отметку 9 см, а затем отсчитайте от нее еще 2 миллиметровых деления. Это будет соответствовать 9.2 см или 92 мм.
4. Напротив этой отметки поставьте вторую точку и обозначьте ее буквой F.
5. Соедините точки E и F прямой линией.

Ответ: Начерчен отрезок EF длиной 9 см 2 мм.

Построение отрезка BK

Длина отрезка BK задана как 7 см 6 мм. Переведем эту длину в одну единицу измерения.

В миллиметрах:
$BK = 7 \text{ см } 6 \text{ мм} = 7 \times 10 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 70 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 76 \text{ мм}$.

В сантиметрах:
$BK = 7 \text{ см } 6 \text{ мм} = 7 \text{ см} + \frac{6}{10} \text{ см} = 7.6 \text{ см}$.

Чтобы начертить отрезок, выполните следующие действия:

1. Поставьте на листе бумаги точку и обозначьте ее буквой B.
2. Приложите линейку к точке B так, чтобы ее нулевая отметка совпала с точкой.
3. Найдите на шкале линейки отметку 7 см, а затем отсчитайте еще 6 миллиметровых делений. Это будет соответствовать 7.6 см или 76 мм.
4. Напротив найденной отметки поставьте вторую точку и обозначьте ее буквой K.
5. Соедините точки B и K прямой линией.

Ответ: Начерчен отрезок BK длиной 7 см 6 мм.