Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

27. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

1) 34 729;

2) 75 194;

3) 478 254;

4) 189 390;

5) 23 487 901;

6) 140 028 045.

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо каждую цифру числа, отличную от нуля, умножить на значение ее разряда и сложить полученные произведения.

1) 34 729

Разложим число 34 729 по разрядам:

• 3 десятка тысяч = $3 \cdot 10 \, 000 = 30 \, 000$;
• 4 тысячи = $4 \cdot 1 \, 000 = 4 \, 000$;
• 7 сотен = $7 \cdot 100 = 700$;
• 2 десятка = $2 \cdot 10 = 20$;
• 9 единиц = $9 \cdot 1 = 9$.

Сумма разрядных слагаемых равна $30 \, 000 + 4 \, 000 + 700 + 20 + 9$.

Ответ: $34 \, 729 = 30 \, 000 + 4 \, 000 + 700 + 20 + 9$.

2) 75 194

Разложим число 75 194 по разрядам:

• 7 десятков тысяч = $70 \, 000$;
• 5 тысяч = $5 \, 000$;
• 1 сотня = $100$;
• 9 десятков = $90$;
• 4 единицы = $4$.

Сумма разрядных слагаемых равна $70 \, 000 + 5 \, 000 + 100 + 90 + 4$.

Ответ: $75 \, 194 = 70 \, 000 + 5 \, 000 + 100 + 90 + 4$.

3) 478 254

Разложим число 478 254 по разрядам:

• 4 сотни тысяч = $400 \, 000$;
• 7 десятков тысяч = $70 \, 000$;
• 8 тысяч = $8 \, 000$;
• 2 сотни = $200$;
• 5 десятков = $50$;
• 4 единицы = $4$.

Сумма разрядных слагаемых равна $400 \, 000 + 70 \, 000 + 8 \, 000 + 200 + 50 + 4$.

Ответ: $478 \, 254 = 400 \, 000 + 70 \, 000 + 8 \, 000 + 200 + 50 + 4$.

4) 189 390

Разложим число 189 390 по разрядам. Разряд единиц равен нулю, поэтому его можно не записывать в сумму.

• 1 сотня тысяч = $100 \, 000$;
• 8 десятков тысяч = $80 \, 000$;
• 9 тысяч = $9 \, 000$;
• 3 сотни = $300$;
• 9 десятков = $90$.

Сумма разрядных слагаемых равна $100 \, 000 + 80 \, 000 + 9 \, 000 + 300 + 90$.

Ответ: $189 \, 390 = 100 \, 000 + 80 \, 000 + 9 \, 000 + 300 + 90$.

5) 23 487 901

Разложим число 23 487 901 по разрядам. Разряд десятков равен нулю, поэтому его опускаем.

• 2 десятка миллионов = $20 \, 000 \, 000$;
• 3 миллиона = $3 \, 000 \, 000$;
• 4 сотни тысяч = $400 \, 000$;
• 8 десятков тысяч = $80 \, 000$;
• 7 тысяч = $7 \, 000$;
• 9 сотен = $900$;
• 1 единица = $1$.

Сумма разрядных слагаемых равна $20 \, 000 \, 000 + 3 \, 000 \, 000 + 400 \, 000 + 80 \, 000 + 7 \, 000 + 900 + 1$.

Ответ: $23 \, 487 \, 901 = 20 \, 000 \, 000 + 3 \, 000 \, 000 + 400 \, 000 + 80 \, 000 + 7 \, 000 + 900 + 1$.

6) 140 028 045

Разложим число 140 028 045 по разрядам. Разряды миллионов, сотен тысяч и сотен равны нулю, поэтому их опускаем.

• 1 сотня миллионов = $100 \, 000 \, 000$;
• 4 десятка миллионов = $40 \, 000 \, 000$;
• 2 десятка тысяч = $20 \, 000$;
• 8 тысяч = $8 \, 000$;
• 4 десятка = $40$;
• 5 единиц = $5$.

Сумма разрядных слагаемых равна $100 \, 000 \, 000 + 40 \, 000 \, 000 + 20 \, 000 + 8 \, 000 + 40 + 5$.

Ответ: $140 \, 028 \, 045 = 100 \, 000 \, 000 + 40 \, 000 \, 000 + 20 \, 000 + 8 \, 000 + 40 + 5$.

28. Запишите число, которое:

1) на 1 меньше наименьшего трёхзначного числа;

2) на 4 больше наибольшего трёхзначного числа;

3) на 5 меньше наименьшего пятизначного числа;

4) на 6 больше наибольшего шестизначного числа;

5) на 7 больше наименьшего восьмизначного числа.

1) на 1 меньше наименьшего трёхзначного числа;
Наименьшим трёхзначным числом является 100. Чтобы найти число, которое на 1 меньше, необходимо из 100 вычесть 1.
$100 - 1 = 99$
Ответ: 99.

2) на 4 больше наибольшего трёхзначного числа;
Наибольшим трёхзначным числом является 999. Чтобы найти число, которое на 4 больше, необходимо к 999 прибавить 4.
$999 + 4 = 1003$
Ответ: 1003.

3) на 5 меньше наименьшего пятизначного числа;
Наименьшим пятизначным числом является 10 000. Чтобы найти число, которое на 5 меньше, необходимо из 10 000 вычесть 5.
$10000 - 5 = 9995$
Ответ: 9995.

4) на 6 больше наибольшего шестизначного числа;
Наибольшим шестизначным числом является 999 999. Чтобы найти число, которое на 6 больше, необходимо к 999 999 прибавить 6.
$999999 + 6 = 1000005$
Ответ: 1 000 005.

5) на 7 больше наименьшего восьмизначного числа.
Наименьшим восьмизначным числом является 10 000 000. Чтобы найти число, которое на 7 больше, необходимо к 10 000 000 прибавить 7.
$10000000 + 7 = 10000007$
Ответ: 10 000 007.

29. Запишите наибольшее восьмизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

Наибольшее восьмизначное число
Чтобы получить наибольшее натуральное число, состоящее из определенного количества знаков, необходимо, чтобы каждый разряд этого числа занимала самая большая цифра, то есть 9. Восьмизначное число состоит из восьми разрядов. Следовательно, наибольшее восьмизначное число состоит из восьми девяток.
Ответ: 99 999 999.

Следующее число
Следующее число — это число, которое на единицу больше данного. Чтобы найти число, следующее за 99 999 999, нужно прибавить к нему 1.
$99\ 999\ 999 + 1 = 100\ 000\ 000$
Ответ: 100 000 000.

Предыдущее число
Предыдущее число — это число, которое на единицу меньше данного. Чтобы найти число, предыдущее 99 999 999, нужно вычесть из него 1.
$99\ 999\ 999 - 1 = 99\ 999\ 998$
Ответ: 99 999 998.

30. Запишите наименьшее семизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

Наименьшее семизначное число

Семизначное число — это натуральное число, состоящее из семи цифр. Чтобы число было наименьшим, его первая цифра слева (в разряде миллионов) должна быть наименьшей возможной, то есть 1. Ноль не может быть первой цифрой, так как в этом случае число не будет семизначным. Все последующие цифры должны быть наименьшими из возможных, то есть нулями. Таким образом, наименьшее семизначное число — это 1, за которой следуют шесть нулей.

Ответ: 1 000 000.

Следующее число

Следующее число — это число, которое на единицу больше данного. Чтобы найти его, нужно прибавить 1 к наименьшему семизначному числу. $1 000 000 + 1 = 1 000 001$.

Ответ: 1 000 001.

Предыдущее число

Предыдущее число — это число, которое на единицу меньше данного. Чтобы найти его, нужно вычесть 1 из наименьшего семизначного числа. $1 000 000 - 1 = 999 999$. Это число является наибольшим шестизначным числом.

Ответ: 999 999.

31. Двузначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное четырёхзначное число больше данного двузначного числа?

Пусть исходное двузначное число будет $N$. Любое двузначное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Если первая цифра числа (десятки) – это $a$, а вторая (единицы) – это $b$, то число $N$ можно записать как:

$N = 10a + b$

Когда мы записываем это двузначное число два раза подряд, мы получаем четырехзначное число $M$. Например, из числа 58 получится 5858. В этом новом числе цифра $a$ будет стоять в разряде тысяч и десятков, а цифра $b$ – в разряде сотен и единиц.

Выразим число $M$ через $a$ и $b$:

$M = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + a \cdot 10 + b \cdot 1$

Сгруппируем слагаемые и упростим выражение:

$M = 1010a + 101b$

Вынесем общий множитель 101 за скобки:

$M = 101 \cdot (10a + b)$

Как мы видим, выражение в скобках $10a + b$ в точности равно нашему исходному числу $N$. Таким образом, мы можем записать:

$M = 101 \cdot N$

Чтобы узнать, во сколько раз полученное четырехзначное число больше данного двузначного, нужно найти их отношение, то есть разделить $M$ на $N$:

$\frac{M}{N} = \frac{101 \cdot N}{N} = 101$

Это означает, что полученное четырехзначное число всегда будет в 101 раз больше исходного двузначного числа.

Ответ: 101

32. Трёхзначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное шестизначное число больше данного трёхзначного числа?

Обозначим исходное трёхзначное число как $N$. Любое трёхзначное число можно представить в виде $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — это его цифры, причём $a \neq 0$.

Когда это число записывают подряд два раза, получается шестизначное число, которое мы обозначим как $M$. Это число будет иметь вид $\overline{abcabc}$.

Рассмотрим структуру шестизначного числа $M$. Его можно представить как сумму двух слагаемых:

$\overline{abcabc} = \overline{abc000} + \overline{abc}$

Это то же самое, что и:

$M = \overline{abc} \cdot 1000 + \overline{abc} \cdot 1$

Поскольку мы обозначили исходное число $\overline{abc}$ как $N$, мы можем переписать это выражение:

$M = N \cdot 1000 + N$

Теперь вынесем общий множитель $N$ за скобки:

$M = N \cdot (1000 + 1) = N \cdot 1001$

Чтобы определить, во сколько раз полученное шестизначное число $M$ больше исходного трёхзначного числа $N$, необходимо найти их отношение $\frac{M}{N}$:

$\frac{M}{N} = \frac{N \cdot 1001}{N} = 1001$

Таким образом, полученное шестизначное число в 1001 раз больше исходного трёхзначного числа, независимо от того, какое именно трёхзначное число было выбрано.

Ответ: в 1001 раз.

33. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр напечатано при нумерации страниц?

Чтобы определить общее количество цифр, использованных для нумерации страниц, необходимо посчитать, сколько цифр требуется для каждой группы номеров (однозначных, двузначных, трехзначных) и затем сложить эти значения.

1. Однозначные номера (страницы с 1 по 9)

В этом диапазоне всего 9 страниц ($9 - 1 + 1 = 9$). Для нумерации каждой из них используется одна цифра.

Количество цифр: $9 \times 1 = 9$ цифр.

2. Двузначные номера (страницы с 10 по 99)

В этом диапазоне 90 страниц ($99 - 10 + 1 = 90$). Для нумерации каждой из них используется две цифры.

Количество цифр: $90 \times 2 = 180$ цифр.

3. Трехзначные номера (страницы со 100 по 172)

В этом диапазоне 73 страницы ($172 - 100 + 1 = 73$). Для нумерации каждой из них используется три цифры.

Количество цифр: $73 \times 3 = 219$ цифр.

4. Общее количество цифр

Теперь сложим количество цифр, необходимое для каждой группы страниц:

$9 + 180 + 219 = 408$ цифр.

Ответ: 408

34. Для нумерации страниц книги напечатано 2 004 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Для решения этой задачи необходимо последовательно подсчитать, сколько цифр требуется для нумерации страниц с разным количеством знаков (однозначных, двузначных, трехзначных и т.д.).

1. Страницы с однозначными номерами (с 1 по 9):
- Количество страниц: $9 - 1 + 1 = 9$ страниц.
- Количество цифр: $9 \times 1 = 9$ цифр.

2. Страницы с двузначными номерами (с 10 по 99):
- Количество страниц: $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.
- Количество цифр: $90 \times 2 = 180$ цифр.

Суммарное количество цифр для нумерации первых 99 страниц составляет $9 + 180 = 189$ цифр.Поскольку общее количество напечатанных цифр (2004) больше, чем 189, в книге есть страницы с трехзначными номерами.

Вычислим, сколько цифр осталось для нумерации трехзначных страниц. Для этого вычтем из общего количества цифр уже посчитанные:
$2004 - 189 = 1815$ цифр.

Каждый номер трехзначной страницы состоит из 3 цифр. Найдем, сколько трехзначных страниц было пронумеровано с помощью оставшихся 1815 цифр:
$1815 \div 3 = 605$ страниц.

Теперь, чтобы найти общее количество страниц в книге, сложим количество страниц с одно- и двузначными номерами (их 99) и количество страниц с трехзначными номерами (их 605):
$99 + 605 = 704$ страницы.

Ответ: 704

35. Каких трёхзначных чисел больше: все цифры которых чётные или все цифры которых нечётные?

Для того чтобы определить, каких трёхзначных чисел больше, необходимо посчитать количество чисел в каждой из двух указанных категорий и сравнить полученные значения.

все цифры которых чётные
Сначала посчитаем количество трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные. Множество чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}. Всего 5 чётных цифр.
Трёхзначное число состоит из цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц.
1. На место первой цифры (сотни) можно поставить любую чётную цифру, кроме 0, так как число должно быть трёхзначным. Таким образом, есть 4 варианта: {2, 4, 6, 8}.
2. На место второй цифры (десятки) можно поставить любую из 5 чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.
3. На место третьей цифры (единицы) также можно поставить любую из 5 чётных цифр.
Общее количество таких чисел находится по правилу произведения: количество вариантов для каждой позиции перемножается.
$N_{чёт} = 4 \times 5 \times 5 = 100$.
Итак, существует 100 трёхзначных чисел, все цифры которых чётные.

все цифры которых нечётные
Теперь посчитаем количество трёхзначных чисел, у которых все цифры нечётные. Множество нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего 5 нечётных цифр.
1. На место первой цифры (сотни) можно поставить любую из 5 нечётных цифр. Ограничение на ноль здесь не применяется, так как 0 — чётное число.
2. На место второй цифры (десятки) можно поставить любую из 5 нечётных цифр.
3. На место третьей цифры (единицы) также можно поставить любую из 5 нечётных цифр.
Общее количество таких чисел равно:
$N_{нечёт} = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
Итак, существует 125 трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные.

Сравнивая полученные результаты, видим, что $125 > 100$.
Следовательно, трёхзначных чисел, состоящих только из нечётных цифр, больше, чем чисел, состоящих только из чётных цифр.

Ответ: Больше трёхзначных чисел, все цифры которых нечётные.

36. Вычислите:

1) $24 \cdot 564;$

2) $754 \cdot 60;$

3) $2504 \cdot 82;$

4) $364 \cdot 276;$

5) $407 \cdot 306;$

6) $852 : 6;$

7) $67216 : 8;$

8) $782 : 34;$

9) $1134 : 42;$

10) $3198 : 26;$

11) $4532 : 22;$

12) $14210 : 35.$

Для того чтобы вычислить произведение $24 \cdot 564$, выполним умножение в столбик:

 564× 24----- 22561128-----13536

Сначала умножаем 564 на 4, получаем 2256. Затем умножаем 564 на 2 десятка, получаем 1128 десятков или 11280. Складываем полученные числа: $2256 + 11280 = 13536$.

Ответ: 13536

Чтобы найти произведение $754 \cdot 60$, можно умножить 754 на 6, а затем к результату приписать 0 справа.

 754× 6----- 4524

Приписав 0, получаем 45240.

Ответ: 45240

Вычислим произведение $2504 \cdot 82$ с помощью умножения в столбик:

 2504× 82------ 500820032------205328

Умножаем 2504 на 2, получаем 5008. Затем умножаем 2504 на 8 десятков, получаем 20032 десятка или 200320. Складываем $5008 + 200320 = 205328$.

Ответ: 205328

Для вычисления произведения $364 \cdot 276$ используем метод умножения в столбик:

 364× 276------ 2184 2548 728------100464

Сначала умножаем 364 на 6, получаем 2184. Затем умножаем 364 на 7 десятков (2548 десятков или 25480). После этого умножаем 364 на 2 сотни (728 сотен или 72800). Суммируем полученные значения: $2184 + 25480 + 72800 = 100464$.

Ответ: 100464

Вычислим произведение $407 \cdot 306$ умножением в столбик:

 407× 306------ 24421221------124542

Умножаем 407 на 6, получаем 2442. Умножение на 0 десятков можно пропустить. Умножаем 407 на 3 сотни, получаем 1221 сотню (122100), и записываем результат со сдвигом на две позиции влево. Складываем $2442 + 122100 = 124542$.

Ответ: 124542

Чтобы разделить 852 на 6, выполним деление в столбик:

 852 | 6-6 |--- --- | 142 25-24 --- 12 -12 --- 0

Сначала делим 8 на 6, получаем 1 и остаток 2. Сносим 5, получаем 25. Делим 25 на 6, получаем 4 и остаток 1. Сносим 2, получаем 12. Делим 12 на 6, получаем 2. Результат деления — 142.

Ответ: 142

Выполним деление $67216 : 8$ в столбик:

 67216 | 8-64 |------ --- | 8402 32 -32 --- 01 - 0 --- 16 -16 --- 0

Делим 67 на 8, получаем 8, остаток 3. Сносим 2, получаем 32. Делим 32 на 8, получаем 4. Сносим 1. 1 на 8 не делится, пишем в частное 0. Сносим 6, получаем 16. Делим 16 на 8, получаем 2. Результат — 8402.

Ответ: 8402

Разделим 782 на 34, используя деление в столбик:

 782 | 34-68 |--- --- | 23 102-102 --- 0

Делим 78 на 34, берем по 2. $34 \cdot 2 = 68$. Остаток $78 - 68 = 10$. Сносим 2, получаем 102. Делим 102 на 34, берем по 3. $34 \cdot 3 = 102$. Остаток 0. Результат — 23.

Ответ: 23

Выполним деление $1134 : 42$ в столбик:

 1134 | 42- 84 |--- ---- | 27 294 -294 --- 0

Делим 113 на 42, берем по 2. $42 \cdot 2 = 84$. Остаток $113 - 84 = 29$. Сносим 4, получаем 294. Делим 294 на 42, берем по 7. $42 \cdot 7 = 294$. Остаток 0. Результат — 27.

Ответ: 27

Разделим 3198 на 26 в столбик:

 3198 | 26-26 |--- --- | 123 59 -52 --- 78 -78 --- 0

Делим 31 на 26, берем по 1. Остаток 5. Сносим 9, получаем 59. Делим 59 на 26, берем по 2. $26 \cdot 2 = 52$. Остаток 7. Сносим 8, получаем 78. Делим 78 на 26, берем по 3. $26 \cdot 3 = 78$. Остаток 0. Результат — 123.

Ответ: 123

Вычислим частное от деления $4532 : 22$ в столбик:

 4532 | 22-44 |--- --- | 206 13 - 0 --- 132 -132 --- 0

Делим 45 на 22, берем по 2. $22 \cdot 2 = 44$. Остаток 1. Сносим 3, получаем 13. 13 меньше 22, поэтому в частное пишем 0. Сносим 2, получаем 132. Делим 132 на 22, берем по 6. $22 \cdot 6 = 132$. Остаток 0. Результат — 206.

Ответ: 206

Найдем результат деления $14210 : 35$ в столбик:

 14210 | 35-140 |--- ---- | 406 21 - 0 --- 210 -210 ---- 0

Делим 142 на 35, берем по 4. $35 \cdot 4 = 140$. Остаток 2. Сносим 1, получаем 21. 21 меньше 35, поэтому в частное пишем 0. Сносим 0, получаем 210. Делим 210 на 35, берем по 6. $35 \cdot 6 = 210$. Остаток 0. Результат — 406.

Ответ: 406

37. Выполните действия:

1) $49 + 26 \cdot (54 - 27);$

2) $36 : 9 + 18 \cdot 5;$

3) $(801 - 316) \cdot 29;$

4) $(488 + 808) : 18.$

1) $49 + 26 \cdot (54 - 27)$
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняем операцию в скобках, затем умножение, и в последнюю очередь – сложение.
1. Вычисляем значение в скобках: $54 - 27 = 27$.
2. Выполняем умножение: $26 \cdot 27 = 702$.
3. Выполняем сложение: $49 + 702 = 751$.
Полное выражение: $49 + 26 \cdot 27 = 49 + 702 = 751$.
Ответ: 751.

2) $36 : 9 + 18 \cdot 5$
В данном выражении сначала выполняются операции умножения и деления (в порядке их следования слева направо), а затем – сложение.
1. Выполняем деление: $36 : 9 = 4$.
2. Выполняем умножение: $18 \cdot 5 = 90$.
3. Выполняем сложение полученных результатов: $4 + 90 = 94$.
Полное выражение: $4 + 90 = 94$.
Ответ: 94.

3) $(801 - 316) \cdot 29$
Сначала выполняем действие в скобках, а затем – умножение.
1. Вычисляем разность в скобках: $801 - 316 = 485$.
2. Умножаем полученный результат на 29: $485 \cdot 29 = 14065$.
Полное выражение: $485 \cdot 29 = 14065$.
Ответ: 14065.

4) $(488 + 808) : 18$
Сначала выполняем действие в скобках, а затем – деление.
1. Вычисляем сумму в скобках: $488 + 808 = 1296$.
2. Делим полученный результат на 18: $1296 : 18 = 72$.
Полное выражение: $1296 : 18 = 72$.
Ответ: 72.

38. Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин. Через восемь лет после этого на Луну ступил первый человек — гражданин США Нейл Армстронг. Ещё через 31 год на Международной космической станции (МКС) начал работать первый экипаж. Сколько лет работают космонавты на МКС?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо последовательно вычислить год начала работы на Международной космической станции (МКС) и затем найти разницу между этим годом и текущим.

1. Первое событие — полёт Юрия Гагарина в космос — произошло в 1961 году.

2. Второе событие — высадка первого человека на Луну — случилось через 8 лет после полёта Гагарина. Найдём этот год:
$1961 + 8 = 1969 \text{ год}$

3. Третье событие — начало работы первого экипажа на МКС — произошло ещё через 31 год после высадки на Луну. Вычислим год начала работы на МКС:
$1969 + 31 = 2000 \text{ год}$

4. Теперь, зная, что работа на МКС началась в 2000 году, мы можем рассчитать, сколько лет космонавты там работают. Для этого вычтем из текущего года (2024) год начала работы:
$2024 - 2000 = 24 \text{ года}$

Ответ: на 2024 год космонавты работают на МКС 24 года.