Страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют числа, используемые при счёте предметов?

1. Числа, которые используются при счёте предметов, называются натуральными числами. Это числа, которые возникают естественным образом, когда мы перечисляем предметы: один, два, три, и так далее. Они являются основой арифметики и одними из самых ранних математических понятий, с которыми сталкивается человек.

Ряд натуральных чисел начинается с $1$ и продолжается бесконечно: $1, 2, 3, 4, 5, ...$ . Каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $\mathbb{N}$.

Иногда (в основном в работах зарубежных математиков) в множество натуральных чисел включают и ноль ($0$), но в российской школьной традиции натуральный ряд начинается с единицы.

Натуральные числа используются для двух основных целей:

• для определения количества предметов (например, "пять яблок");
• для определения порядка предметов при счёте (например, "пятый по счёту").

Ответ: натуральные числа.

2. Есть ли среди натуральных чисел наименьшее число? Наибольшее число? В случае утвердительного ответа назовите это число.

Есть ли среди натуральных чисел наименьшее число?

Да, среди натуральных чисел есть наименьшее число. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: $1, 2, 3, 4$ и так далее. Множество натуральных чисел обозначается буквой $N$. Самым первым и, следовательно, самым маленьким числом в этом ряду является 1. Любое другое натуральное число будет больше единицы.

Ответ: да, существует. Наименьшее натуральное число — это 1.

Наибольшее число?

Нет, наибольшего натурального числа не существует. Ряд натуральных чисел бесконечен. Это означает, что для любого, даже самого большого натурального числа $n$, которое можно себе представить, всегда найдется число, которое еще больше — например, $n+1$. Поскольку этот процесс можно продолжать до бесконечности, мы никогда не сможем указать "последнее" или "самое большое" натуральное число.

Ответ: нет, наибольшего натурального числа не существует.

3. Опишите ряд натуральных чисел.

Ряд натуральных чисел — это последовательность целых положительных чисел, которые используются для счета (перечисления) предметов и указания их порядкового номера. Этот ряд является фундаментальным понятием в математике.

В математике ряд натуральных чисел записывается следующим образом:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...$

Многоточие в конце означает, что последовательность бесконечна. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $\mathbb{N}$. Таким образом, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Основные свойства ряда натуральных чисел:

• Начальный элемент: Ряд имеет наименьшее число — это 1. Нет натурального числа, которое было бы меньше 1.
• Бесконечность: Ряд не имеет конца. Для любого, даже самого большого, натурального числа $n$ всегда найдется число, которое больше него (например, $n + 1$). Поэтому в ряду нет наибольшего числа.
• Упорядоченность: Числа в ряду строго упорядочены по возрастанию. Каждое следующее число ровно на единицу больше предыдущего. Из двух разных натуральных чисел одно всегда меньше другого.
• Последовательность: У каждого натурального числа есть ровно одно следующее за ним число (его "последователь"). Например, за числом 5 следует 6. У каждого натурального числа, кроме 1, есть ровно одно предшествующее ему число (его "предшественник"). Например, числу 5 предшествует 4. У числа 1 нет предшественника в множестве натуральных чисел.
• Дискретность (прерывность): Между двумя соседними натуральными числами, например, между 3 и 4, нет других натуральных чисел.

Стоит отметить, что в некоторых областях математики (например, в теории множеств) и в информатике к натуральным числам иногда относят и 0. В этом случае говорят о расширенном множестве натуральных чисел и обозначают его $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Однако в классическом и школьном курсе математики натуральный ряд начинается с 1.

Ответ: Ряд натуральных чисел — это бесконечная, упорядоченная по возрастанию последовательность целых положительных чисел, начинающаяся с 1, где каждое следующее число на единицу больше предыдущего ($1, 2, 3, ...$). Ключевыми свойствами ряда являются наличие наименьшего элемента (1), отсутствие наибольшего элемента, упорядоченность и дискретность.

4. Каждое ли число в ряду натуральных чисел имеет:

1) последующее число

Ряд натуральных чисел — это бесконечная последовательность чисел, начинающаяся с 1: $1, 2, 3, ..., n, ...$ . Для любого натурального числа $n$ можно найти следующее за ним, или последующее, число. Это делается путем прибавления к числу $n$ единицы. Полученное число $n+1$ всегда будет натуральным и будет следовать сразу за $n$. Поскольку у ряда натуральных чисел нет наибольшего элемента (он бесконечен), у каждого натурального числа обязательно есть последующее. Например, для числа 15 последующим будет $15+1=16$, для числа 999 последующим будет $999+1=1000$.

Ответ: да, каждое натуральное число имеет последующее число.

2) предыдущее число

Предыдущее число для натурального числа $n$ — это число, которое стоит непосредственно перед ним. Его можно найти, вычтя из $n$ единицу, то есть оно равно $n-1$. Проверим, всегда ли результат этого действия является натуральным числом. Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов ($1, 2, 3, ...$). Например, для числа 7 предыдущим является $7-1=6$, и 6 — это натуральное число. Однако, если мы возьмем самое маленькое натуральное число — 1, то предыдущее для него число будет $1-1=0$. Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Следовательно, у числа 1 нет предыдущего числа в ряду натуральных чисел.

Ответ: нет, не каждое натуральное число имеет предыдущее число. Число 1 не имеет предыдущего натурального числа.

1. Сложите:

1) 48 и 7;

2) 16 и 9;

3) 25 и 34;

4) 52 и 49.

1) Чтобы найти сумму чисел 48 и 7, выполним сложение. Для удобства можно разложить число 7 на сумму двух чисел: 2 и 5. Сначала прибавим к 48 число 2, чтобы получить круглое число 50, а затем прибавим оставшееся число 5.

$48 + 7 = 48 + (2 + 5) = (48 + 2) + 5 = 50 + 5 = 55$

Ответ: 55

2) Чтобы найти сумму чисел 16 и 9, выполним сложение. Разложим число 9 на 4 и 5. Сначала прибавим к 16 число 4, чтобы получить 20, а затем прибавим 5.

$16 + 9 = 16 + (4 + 5) = (16 + 4) + 5 = 20 + 5 = 25$

Ответ: 25

3) Чтобы найти сумму чисел 25 и 34, сложим их поразрядно. Сначала сложим десятки, а потом единицы, и затем сложим полученные результаты.

$25 + 34 = (20 + 5) + (30 + 4) = (20 + 30) + (5 + 4) = 50 + 9 = 59$

Ответ: 59

4) Чтобы найти сумму чисел 52 и 49, также воспользуемся методом поразрядного сложения.

$52 + 49 = (50 + 2) + (40 + 9) = (50 + 40) + (2 + 9) = 90 + 11 = 101$

Ответ: 101

2. Вычтите:

1) 6 из 14;

2) 7 из 23;

3) из 32 число 8;

4) из 45 число 19.

1) 6 из 14;

Чтобы вычесть 6 из 14, необходимо выполнить действие вычитания, где 14 является уменьшаемым, а 6 — вычитаемым.

$14 - 6 = 8$

Ответ: 8

2) 7 из 23;

Для того чтобы вычесть 7 из 23, нужно найти разность чисел 23 и 7.

$23 - 7 = 16$

Ответ: 16

3) из 32 число 8;

Чтобы из числа 32 вычесть число 8, необходимо от 32 отнять 8. Это можно представить как:

$32 - 8 = 24$

Ответ: 24

4) из 45 число 19.

Чтобы из числа 45 вычесть число 19, выполним вычитание. Уменьшаемое — 45, вычитаемое — 19.

$45 - 19 = 26$

Ответ: 26

3. Умножьте:

1) 12 на 4;

2) 5 на 20;

3) 13 на 6;

4) 10 на 100.

1) Чтобы найти произведение чисел 12 и 4, можно воспользоваться распределительным свойством умножения. Представим число 12 в виде суммы разрядных слагаемых 10 и 2, затем умножим каждое слагаемое на 4 и сложим полученные результаты.

$12 \times 4 = (10 + 2) \times 4 = 10 \times 4 + 2 \times 4 = 40 + 8 = 48$.

Ответ: 48

2) Для умножения 5 на 20 удобно использовать сочетательное свойство умножения. Представим число 20 как произведение $2 \times 10$.

$5 \times 20 = 5 \times (2 \times 10) = (5 \times 2) \times 10 = 10 \times 10 = 100$.

Ответ: 100

3) Чтобы умножить 13 на 6, применим распределительное свойство. Представим 13 как сумму 10 и 3.

$13 \times 6 = (10 + 3) \times 6 = 10 \times 6 + 3 \times 6 = 60 + 18 = 78$.

Ответ: 78

4) При умножении числа на 10, 100, 1000 и т.д. достаточно приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их в множителе. Чтобы умножить 10 на 100, нужно к числу 10 приписать два нуля.

$10 \times 100 = 1000$.

Ответ: 1000

4. Разделите:

1) $36 \div 12$;

2) $55 \div 11$;

3) $96 \div 8$;

4) $160 \div 20$.

1) Требуется разделить 36 на 12. Чтобы найти частное, нужно определить, сколько раз число 12 содержится в числе 36.

$36 \div 12 = 3$

Проверка: $12 \cdot 3 = 36$.

Ответ: 3

2) Требуется разделить 55 на 11. Найдем число, которое при умножении на 11 даст в результате 55.

$55 \div 11 = 5$

Проверка: $11 \cdot 5 = 55$.

Ответ: 5

3) Требуется разделить число 96 на 8. Для удобства вычисления можно представить число 96 в виде суммы слагаемых, каждое из которых легко делится на 8, например, $96 = 80 + 16$.

$96 \div 8 = (80 + 16) \div 8 = (80 \div 8) + (16 \div 8) = 10 + 2 = 12$

Проверка: $8 \cdot 12 = 96$.

Ответ: 12

4) Требуется разделить число 160 на 20. Поскольку и делимое, и делитель оканчиваются на ноль, можно упростить задачу, разделив оба числа на 10 (убрав по одному нулю).

$160 \div 20 = 16 \div 2 = 8$

Проверка: $20 \cdot 8 = 160$.

Ответ: 8

5. Около школы растут каштаны и тополя. Каштанов растёт семь, а тополей — в 3 раза больше. Сколько деревьев растёт около школы?

Для того чтобы узнать общее количество деревьев, необходимо сначала найти количество тополей, а затем сложить его с количеством каштанов.

1. Найдем, сколько тополей растет около школы.

По условию, каштанов — 7, а тополей — в 3 раза больше. Значит, количество тополей равно:

$7 \cdot 3 = 21$ (тополь)

2. Найдем, сколько всего деревьев растет около школы.

Для этого сложим количество каштанов и количество тополей:

$7 + 21 = 28$ (деревьев)

Ответ: 28 деревьев.

6. В школе учатся 370 учеников. Найдутся ли среди них хотя бы два ученика, которые отмечают день рождения в один и тот же день?

Да, среди 370 учеников обязательно найдутся хотя бы двое, отмечающие день рождения в один день. Это можно доказать с помощью принципа Дирихле.

Принцип Дирихле гласит: если множество из $N$ элементов распределить по $K$ контейнерам, и при этом $N > K$, то по крайней мере в одном контейнере окажется более одного элемента.

В данном случае:

• "Элементы" — это ученики. Их количество $N = 370$.
• "Контейнеры" — это дни в году. Максимальное возможное количество дней в году (в високосный год) равно 366. Возьмем это число, чтобы рассмотреть самый неблагоприятный случай. Таким образом, количество "контейнеров" $K = 366$.

Сравниваем количество учеников с количеством дней в году:

$370 > 366$

Поскольку число учеников больше числа дней в году ($N > K$), то, согласно принципу Дирихле, обязательно найдется по крайней мере один день в году, на который приходится день рождения как минимум двух учеников.

Ответ: Да, найдутся.

1. Назовите 14 первых натуральных чисел.

1. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1 и является бесконечным. Множество натуральных чисел можно записать так: $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\} $.

Чтобы назвать первые 14 натуральных чисел, нужно просто перечислить их по порядку, начиная с 1 и заканчивая числом 14.

Таким образом, искомая последовательность чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

2. Какого числа не хватает в записи натурального ряда чисел:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, \ldots ?$

Натуральный ряд чисел представляет собой последовательность целых положительных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Каждое следующее число в этом ряду получается путем прибавления единицы к предыдущему.

Рассмотрим начало натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Теперь сравним его с рядом, представленным в условии задачи: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, ...

Можно заметить, что после числа 7 в заданном ряду сразу следует число 9. В правильном натуральном ряду за числом 7 должно идти число, которое на единицу больше, то есть $7 + 1 = 8$. Аналогично, числу 9 должно предшествовать число, которое на единицу меньше, то есть $9 - 1 = 8$.

Таким образом, в представленной записи пропущено число 8.

Ответ: 8