Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. На сколько:

1) 18 больше 6;

2) 4 меньше 12?

1) 18 больше 6;
Чтобы определить, на сколько число 18 больше числа 6, необходимо найти их разность. Для этого из большего числа вычитаем меньшее.
$18 - 6 = 12$
Следовательно, число 18 больше числа 6 на 12.
Ответ: на 12.

2) 4 меньше 12?
Чтобы определить, на сколько число 4 меньше числа 12, необходимо также найти их разность. Для этого из большего числа (12) вычитаем меньшее (4).
$12 - 4 = 8$
Следовательно, число 4 меньше числа 12 на 8.
Ответ: на 8.

2. Во сколько раз:

1) 18 больше 6;

2) 4 меньше 12?

1) 18 больше 6;

Чтобы определить, во сколько раз одно число больше другого, необходимо большее число разделить на меньшее. В данном случае, мы делим 18 на 6.

Выполним деление:

$18 \div 6 = 3$

Следовательно, число 18 больше числа 6 в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

2) 4 меньше 12?

Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, также необходимо большее число разделить на меньшее. В данном случае, мы делим 12 на 4.

Выполним деление:

$12 \div 4 = 3$

Следовательно, число 4 меньше числа 12 в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

3. Вычислите:

1) $12 \cdot 5 + 1$;

2) $12 \cdot 5 - 1$;

3) $12 \cdot (5 + 1)$;

4) $12 \cdot (5 - 1)$;

5) $12 \div (5 + 1)$;

6) $12 \div (5 - 1)$.

1) В выражении $12 \cdot 5 + 1$ согласно порядку выполнения арифметических действий сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Выполняем умножение: $12 \cdot 5 = 60$.

2. К полученному результату прибавляем 1: $60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

2) В выражении $12 \cdot 5 - 1$ сначала выполняется умножение, а затем вычитание.

1. Выполняем умножение: $12 \cdot 5 = 60$.

2. Из полученного результата вычитаем 1: $60 - 1 = 59$.

Ответ: 59

3) В выражении $12 \cdot (5 + 1)$ сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.

1. Выполняем сложение в скобках: $5 + 1 = 6$.

2. Умножаем 12 на результат, полученный в скобках: $12 \cdot 6 = 72$.

Ответ: 72

4) В выражении $12 \cdot (5 - 1)$ сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.

1. Выполняем вычитание в скобках: $5 - 1 = 4$.

2. Умножаем 12 на результат, полученный в скобках: $12 \cdot 4 = 48$.

Ответ: 48

5) В выражении $12 : (5 + 1)$ сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.

1. Выполняем сложение в скобках: $5 + 1 = 6$.

2. Делим 12 на результат, полученный в скобках: $12 : 6 = 2$.

Ответ: 2

6) В выражении $12 : (5 - 1)$ сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.

1. Выполняем вычитание в скобках: $5 - 1 = 4$.

2. Делим 12 на результат, полученный в скобках: $12 : 4 = 3$.

Ответ: 3

4. Назовите пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

1) 423;

2) 1 658;

3) 2 997.

1) Последовательные натуральные числа — это числа, которые следуют друг за другом в натуральном ряду, и каждое следующее число больше предыдущего ровно на единицу. Чтобы найти пять последовательных натуральных чисел, начиная с 423, нужно взять это число как первое и затем четыре раза прибавить по единице для получения следующих чисел.
Первое число: $423$
Второе число: $423 + 1 = 424$
Третье число: $424 + 1 = 425$
Четвертое число: $425 + 1 = 426$
Пятое число: $426 + 1 = 427$
Искомая последовательность чисел: 423, 424, 425, 426, 427.
Ответ: 423, 424, 425, 426, 427.

2) Аналогично предыдущему пункту, найдем пять последовательных натуральных чисел, начиная с 1 658.
Первое число: $1 658$
Второе число: $1 658 + 1 = 1 659$
Третье число: $1 659 + 1 = 1 660$
Четвертое число: $1 660 + 1 = 1 661$
Пятое число: $1 661 + 1 = 1 662$
Искомая последовательность чисел: 1 658, 1 659, 1 660, 1 661, 1 662.
Ответ: 1 658, 1 659, 1 660, 1 661, 1 662.

3) Найдем пять последовательных натуральных чисел, начиная с 2 997, по тому же принципу.
Первое число: $2 997$
Второе число: $2 997 + 1 = 2 998$
Третье число: $2 998 + 1 = 2 999$
Четвертое число: $2 999 + 1 = 3 000$
Пятое число: $3 000 + 1 = 3 001$
Искомая последовательность чисел: 2 997, 2 998, 2 999, 3 000, 3 001.
Ответ: 2 997, 2 998, 2 999, 3 000, 3 001.

5. Назовите в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

1) 358;

2) 1 573;

3) 4 001.

1) Чтобы назвать в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа 358, сначала найдем эти числа в прямом порядке. Первое число — 358. Каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего. Таким образом, получаем последовательность:

$358, 359, 360, 361, 362$

Теперь запишем эти числа в обратном порядке, то есть от наибольшего к наименьшему.

Ответ: 362, 361, 360, 359, 358.

2) Аналогично поступим для числа 1 573. Пять последовательных натуральных чисел, начиная с него, это:

$1\ 573, 1\ 574, 1\ 575, 1\ 576, 1\ 577$

Запишем данную последовательность в обратном порядке.

Ответ: 1 577, 1 576, 1 575, 1 574, 1 573.

3) И для числа 4 001. Пять последовательных натуральных чисел, начиная с 4 001, образуют следующую последовательность:

$4\ 001, 4\ 002, 4\ 003, 4\ 004, 4\ 005$

Запишем эти числа в обратном порядке.

Ответ: 4 005, 4 004, 4 003, 4 002, 4 001.

6. Назовите все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2.

Для того чтобы найти все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2, представим искомое число в виде $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — его цифры.

По условию, число является четырёхзначным, это означает, что его первая цифра $a$ (цифра тысяч) не может быть нулём. Таким образом, $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а остальные цифры $b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Также по условию, сумма цифр числа равна 2:$a + b + c + d = 2$.

Поскольку $a \ge 1$, а остальные цифры $b, c, d \ge 0$, то для первой цифры $a$ возможны только два значения: 1 или 2. Если $a \ge 3$, то сумма цифр будет заведомо больше 2, что противоречит условию.

Рассмотрим оба случая поочерёдно.

Случай 1: Первая цифра $a = 2$
Подставим это значение в уравнение суммы цифр:
$2 + b + c + d = 2$
Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$b + c + d = 0$
Поскольку цифры $b, c, d$ не могут быть отрицательными, единственно возможное решение этого уравнения — это $b=0$, $c=0$, $d=0$.
Таким образом, мы получаем число 2000.

Случай 2: Первая цифра $a = 1$
Подставим это значение в уравнение суммы цифр:
$1 + b + c + d = 2$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$b + c + d = 1$
Так как $b, c, d$ — неотрицательные цифры, для выполнения этого равенства одна из них должна быть равна 1, а две другие — 0. Это даёт нам три возможные комбинации для цифр $b, c, d$:
1. $b=1, c=0, d=0$. В этом случае получаем число 1100.
2. $b=0, c=1, d=0$. В этом случае получаем число 1010.
3. $b=0, c=0, d=1$. В этом случае получаем число 1001.

Собрав все числа, найденные в обоих случаях, мы получим полный список всех четырёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 2.

Ответ: 1001, 1010, 1100, 2000.

7. Двузначное число оканчивается цифрой 4. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число 99. Найдите эти два числа.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц.

По условию задачи, число оканчивается цифрой 4. Это значит, что $b = 4$. Таким образом, первое число равно $10a + 4$.

Второе число записано теми же цифрами, но в обратном порядке. Его можно представить как $10b + a$. Подставив значение $b=4$, получим второе число: $10 \cdot 4 + a = 40 + a$.

Сумма этих двух чисел равна 99. Составим и решим уравнение:

$(10a + 4) + (40 + a) = 99$

$11a + 44 = 99$

$11a = 99 - 44$

$11a = 55$

$a = \frac{55}{11}$

$a = 5$

Теперь, зная значения $a$ и $b$, найдем искомые числа.

Первое число: $10a + 4 = 10 \cdot 5 + 4 = 54$.

Второе число: $40 + a = 40 + 5 = 45$.

Проверим: $54 + 45 = 99$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа – 54 и 45.

17. Назовите разряд, в котором стоит цифра 4 в записи числа:

1) 34;

2) 246;

3) 473;

4) 24 569.

1) 34

В двузначном числе 34 разряды считаются справа налево. Первая цифра справа (4) обозначает количество единиц, вторая (3) — количество десятков. Таким образом, цифра 4 стоит в разряде единиц.

Ответ: разряд единиц.

2) 246

В трехзначном числе 246 цифра 6 находится в разряде единиц, цифра 4 — на втором месте справа, что соответствует разряду десятков, а цифра 2 — в разряде сотен.

Ответ: разряд десятков.

3) 473

В числе 473 цифра 3 стоит в разряде единиц, 7 — в разряде десятков, а 4 — на третьем месте справа, что соответствует разряду сотен.

Ответ: разряд сотен.

4) 24 569

В пятизначном числе 24 569 разряды справа налево: 9 — единицы, 6 — десятки, 5 — сотни, 4 — единицы тысяч (или просто тысячи), 2 — десятки тысяч. Следовательно, цифра 4 стоит в разряде тысяч.

Ответ: разряд тысяч.

18. Прочитайте число:

1) $234\ 642$;

2) $502\ 013$;

3) $9\ 145\ 679$;

4) $105\ 289\ 001$;

5) $6\ 704\ 917\ 320$;

6) $72\ 016\ 050\ 400$;

7) $491\ 872\ 653\ 000$;

8) $305\ 002\ 800\ 748$.

1) Чтобы прочитать число 234 642, его необходимо разбить на классы справа налево, по три цифры в каждом. В данном числе есть класс единиц (642) и класс тысяч (234). Чтение начинается со старшего класса (тысяч): произносится число единиц в этом классе ("двести тридцать четыре") и добавляется его название ("тысячи"). Затем читается число в классе единиц ("шестьсот сорок два").
Ответ: Двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два.

2) Число 502 013 состоит из класса тысяч (502) и класса единиц (013). Сначала читаем класс тысяч: "пятьсот две тысячи" (числительное "две" используется в женском роде, так как согласуется со словом "тысяча"). Затем читаем класс единиц: "тринадцать".
Ответ: Пятьсот две тысячи тринадцать.

3) Число 9 145 679 содержит три класса: класс миллионов (9), класс тысяч (145) и класс единиц (679). Читаем последовательно, начиная с самого старшего класса: "девять миллионов", затем "сто сорок пять тысяч" и "шестьсот семьдесят девять".
Ответ: Девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят девять.

4) В числе 105 289 001 выделяем класс миллионов (105), класс тысяч (289) и класс единиц (001). Читаем по классам: "сто пять миллионов", "двести восемьдесят девять тысяч", "один".
Ответ: Сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один.

5) Число 6 704 917 320 состоит из четырех классов: класс миллиардов (6), класс миллионов (704), класс тысяч (917) и класс единиц (320). Читаем, начиная со старшего класса: "шесть миллиардов", "семьсот четыре миллиона", "девятьсот семнадцать тысяч", "триста двадцать".
Ответ: Шесть миллиардов семьсот четыре миллиона девятьсот семнадцать тысяч триста двадцать.

6) В числе 72 016 050 400 четыре класса: класс миллиардов (72), класс миллионов (016), класс тысяч (050) и класс единиц (400). Читаем по классам, пропуская ведущие нули в каждом классе: "семьдесят два миллиарда", "шестнадцать миллионов", "пятьдесят тысяч", "четыреста".
Ответ: Семьдесят два миллиарда шестнадцать миллионов пятьдесят тысяч четыреста.

7) Число 491 872 653 000 содержит классы миллиардов (491), миллионов (872) и тысяч (653). Класс единиц состоит из нулей, поэтому при чтении он опускается. Читаем: "четыреста девяносто один миллиард", "восемьсот семьдесят два миллиона", "шестьсот пятьдесят три тысячи".
Ответ: Четыреста девяносто один миллиард восемьсот семьдесят два миллиона шестьсот пятьдесят три тысячи.

8) В числе 305 002 800 748 четыре класса: класс миллиардов (305), класс миллионов (002), класс тысяч (800) и класс единиц (748). Читаем по классам: "триста пять миллиардов", "два миллиона", "восемьсот тысяч", "семьсот сорок восемь".
Ответ: Триста пять миллиардов два миллиона восемьсот тысяч семьсот сорок восемь.

19. Запишите десятичной записью число:

1) $34384523$

2) $85128023$

3) $16026004$

4) $6060017$

5) $8801030005$

6) $22033000418$

7) $251000000538$

8) $46000000854$

9) $607000000003$

1) 34 миллиона 384 тысячи 523
Для записи этого числа в десятичной форме мы последовательно записываем количество единиц в каждом классе, начиная со старшего. В каждом классе (кроме, возможно, самого старшего) должно быть три цифры.

• Класс миллионов: 34
• Класс тысяч: 384
• Класс единиц: 523

Записывая эти классы подряд, получаем число. Математически это можно представить в виде суммы: $34 \cdot 1~000~000 + 384 \cdot 1~000 + 523 = 34~000~000 + 384~000 + 523 = 34~384~523$.
Ответ: 34 384 523

2) 85 миллионов 128 тысяч 23
Число состоит из следующих классов:

• Класс миллионов: 85
• Класс тысяч: 128
• Класс единиц: 23. Так как в классе единиц должно быть три цифры, мы записываем 23 как 023.

Соединяем классы вместе: 85, затем 128, затем 023. Математически: $85 \cdot 1~000~000 + 128 \cdot 1~000 + 23 = 85~000~000 + 128~000 + 23 = 85~128~023$.
Ответ: 85 128 023

3) 16 миллионов 26 тысяч 4
Число состоит из следующих классов:

• Класс миллионов: 16
• Класс тысяч: 26. Записываем как 026.
• Класс единиц: 4. Записываем как 004.

Соединяя классы, получаем 16, затем 026, затем 004. Математически: $16 \cdot 1~000~000 + 26 \cdot 1~000 + 4 = 16~000~000 + 26~000 + 4 = 16~026~004$.
Ответ: 16 026 004

4) 6 миллионов 60 тысяч 17
Число состоит из следующих классов:

• Класс миллионов: 6
• Класс тысяч: 60. Записываем как 060.
• Класс единиц: 17. Записываем как 017.

Соединяя классы, получаем 6, затем 060, затем 017. Математически: $6 \cdot 1~000~000 + 60 \cdot 1~000 + 17 = 6~000~000 + 60~000 + 17 = 6~060~017$.
Ответ: 6 060 017

5) 8 миллиардов 801 миллион 30 тысяч 5
Число состоит из следующих классов:

• Класс миллиардов: 8
• Класс миллионов: 801
• Класс тысяч: 30. Записываем как 030.
• Класс единиц: 5. Записываем как 005.

Соединяя классы, получаем 8, затем 801, затем 030, затем 005. Математически: $8 \cdot 1~000~000~000 + 801 \cdot 1~000~000 + 30 \cdot 1~000 + 5 = 8~801~030~005$.
Ответ: 8 801 030 005

6) 22 миллиарда 33 миллиона 418
Число состоит из следующих классов. Обратите внимание, что класс тысяч не упоминается, значит, он равен нулю.

• Класс миллиардов: 22
• Класс миллионов: 33. Записываем как 033.
• Класс тысяч: 0. Записываем как 000.
• Класс единиц: 418.

Соединяя классы, получаем 22, затем 033, затем 000, затем 418. Математически: $22 \cdot 1~000~000~000 + 33 \cdot 1~000~000 + 418 = 22~033~000~418$.
Ответ: 22 033 000 418

7) 251 миллиард 538
В этом числе отсутствуют классы миллионов и тысяч.

• Класс миллиардов: 251
• Класс миллионов: 0. Записываем как 000.
• Класс тысяч: 0. Записываем как 000.
• Класс единиц: 538.

Соединяя классы, получаем 251, затем 000, затем 000, затем 538. Математически: $251 \cdot 1~000~000~000 + 538 = 251~000~000~538$.
Ответ: 251 000 000 538

8) 46 миллиардов 854
В этом числе также отсутствуют классы миллионов и тысяч.

• Класс миллиардов: 46
• Класс миллионов: 0. Записываем как 000.
• Класс тысяч: 0. Записываем как 000.
• Класс единиц: 854.

Соединяя классы, получаем 46, затем 000, затем 000, затем 854. Математически: $46 \cdot 1~000~000~000 + 854 = 46~000~000~854$.
Ответ: 46 000 000 854

9) 607 миллиардов 3
Отсутствуют классы миллионов и тысяч, а в классе единиц только одна цифра.

• Класс миллиардов: 607
• Класс миллионов: 0. Записываем как 000.
• Класс тысяч: 0. Записываем как 000.
• Класс единиц: 3. Записываем как 003.

Соединяя классы, получаем 607, затем 000, затем 000, затем 003. Математически: $607 \cdot 1~000~000~000 + 3 = 607~000~000~003$.
Ответ: 607 000 000 003

20. Запишите десятичной записью число:

1) 23275649

2) 56319048

3) 12020021

4) 8007003

5) 6325800954

6) 14052000819

7) 368000742000

8) 92000000029

1) 23 миллиона 275 тысяч 649

Число состоит из трех классов: класса миллионов, класса тысяч и класса единиц.

• Класс миллионов: 23
• Класс тысяч: 275
• Класс единиц: 649

Запишем эти числа последовательно, отделяя классы пробелами для удобства чтения. Математически это можно представить как сумму: $23 \cdot 1000000 + 275 \cdot 1000 + 649 = 23000000 + 275000 + 649 = 23275649$.
Ответ: 23 275 649.

2) 56 миллионов 319 тысяч 48

Число состоит из трех классов. Обратим внимание, что в классе единиц указано число 48, которое является двузначным. В десятичной записи каждый класс (кроме самого старшего) должен состоять из трех цифр, поэтому недостающие разряды мы заполняем нулями.

• Класс миллионов: 56
• Класс тысяч: 319
• Класс единиц: 48, что в трехзначной записи будет 048.

Запишем число: $56 \cdot 1000000 + 319 \cdot 1000 + 48 = 56000000 + 319000 + 48 = 56319048$.
Ответ: 56 319 048.

3) 12 миллионов 20 тысяч 21

В этом числе в классе тысяч и в классе единиц указаны двузначные числа. Запишем их в трехзначном формате, добавив ноль в разряд сотен.

• Класс миллионов: 12
• Класс тысяч: 20, что записывается как 020.
• Класс единиц: 21, что записывается как 021.

Получаем число: $12 \cdot 1000000 + 20 \cdot 1000 + 21 = 12000000 + 20000 + 21 = 12020021$.
Ответ: 12 020 021.

4) 8 миллионов 7 тысяч 3

В этом примере в классе тысяч и в классе единиц указаны однозначные числа. Заполняем недостающие разряды нулями.

• Класс миллионов: 8
• Класс тысяч: 7, что записывается как 007.
• Класс единиц: 3, что записывается как 003.

Получаем число: $8 \cdot 1000000 + 7 \cdot 1000 + 3 = 8000000 + 7000 + 3 = 8007003$.
Ответ: 8 007 003.

5) 6 миллиардов 325 миллионов 800 тысяч 954

Это число состоит из четырех классов: миллиардов, миллионов, тысяч и единиц. Все классы, кроме старшего (миллиардов), представлены трехзначными числами.

• Класс миллиардов: 6
• Класс миллионов: 325
• Класс тысяч: 800
• Класс единиц: 954

Запишем число: $6 \cdot 1000000000 + 325 \cdot 1000000 + 800 \cdot 1000 + 954 = 6325800954$.
Ответ: 6 325 800 954.

6) 14 миллиардов 52 миллиона 819

В этом числе пропущен класс тысяч. Это означает, что на его месте должны стоять три нуля. Класс миллионов представлен двузначным числом 52.

• Класс миллиардов: 14
• Класс миллионов: 52, что записывается как 052.
• Класс тысяч: 0, что записывается как 000.
• Класс единиц: 819

Получаем число: $14 \cdot 1000000000 + 52 \cdot 1000000 + 0 \cdot 1000 + 819 = 14052000819$.
Ответ: 14 052 000 819.

7) 368 миллиардов 742 тысячи

Здесь пропущены классы миллионов и единиц. На их месте записываем нули.

• Класс миллиардов: 368
• Класс миллионов: 0, что записывается как 000.
• Класс тысяч: 742
• Класс единиц: 0, что записывается как 000.

Получаем число: $368 \cdot 1000000000 + 742 \cdot 1000 = 368000000000 + 742000 = 368000742000$.
Ответ: 368 000 742 000.

8) 92 миллиарда 29

В этом числе пропущены классы миллионов и тысяч, а в классе единиц стоит двузначное число.

• Класс миллиардов: 92
• Класс миллионов: 0, что записывается как 000.
• Класс тысяч: 0, что записывается как 000.
• Класс единиц: 29, что записывается как 029.

Получаем число: $92 \cdot 1000000000 + 29 = 92000000000 + 29 = 92000000029$.
Ответ: 92 000 000 029.