Страница 9 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки?

Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе?
В десятичной системе счисления, которая является наиболее распространенной в мире, для записи любых чисел, включая натуральные, используется десять основных знаков. Это знаки: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Название системы "десятичная" происходит от количества используемых знаков.
Ответ: 10 знаков.

Как называют эти знаки?
Знаки, которые используются для записи чисел, называются цифрами. Соответственно, знаки $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ – это арабские цифры, лежащие в основе десятичной системы счисления.
Ответ: цифры.

2. Какие натуральные числа называют однозначными? Двузначными? Трёхзначными? Многозначными?

Однозначными называют натуральные числа, для записи которых используется одна цифра (один знак). Натуральный ряд чисел начинается с 1. Следовательно, однозначными натуральными числами являются числа от 1 до 9.
Ответ: Натуральные числа, которые записываются одной цифрой: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначными называют натуральные числа, для записи которых требуется две цифры. Наименьшим двузначным числом является 10, а наибольшим — 99. Это все натуральные числа $n$, которые удовлетворяют двойному неравенству $10 \le n \le 99$. Примеры: 25, 50, 99.
Ответ: Натуральные числа, для записи которых используются две цифры (все числа от 10 до 99 включительно).

Трёхзначными называют натуральные числа, для записи которых требуется три цифры. Наименьшим трёхзначным числом является 100, а наибольшим — 999. Это все натуральные числа $n$, которые удовлетворяют двойному неравенству $100 \le n \le 999$. Примеры: 123, 700, 999.
Ответ: Натуральные числа, для записи которых используются три цифры (все числа от 100 до 999 включительно).

Многозначными называют натуральные числа, для записи которых используется две и более цифры. Этот термин объединяет все двузначные, трёхзначные, четырёхзначные и так далее числа. То есть, это все натуральные числа, которые больше 9. Примеры: 10, 348, 5678, 10000.
Ответ: Натуральные числа, которые записываются двумя или более цифрами (все числа от 10 и больше).

3. Какая цифра не может стоять первой в записи натурального числа?

Натуральными числами называют числа, которые используются для счета предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1: $1, 2, 3, 4, 5, \dots$. Число 0 не является натуральным числом.

Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Первой (самой левой) цифрой в записи любого натурального числа может быть любая цифра от 1 до 9. Например, существуют натуральные числа 1, 25, 348, 9999, которые начинаются с цифр 1, 2, 3 и 9 соответственно.

Цифра 0 не может быть первой в записи натурального числа. По правилам позиционной системы счисления, если запись числа начинается с нуля (например, 05 или 0078), то эти нули являются незначащими и опускаются. Таким образом, число 05 — это то же самое, что и число 5, первая и единственная цифра которого — 5. Единственное число, которое записывается одной цифрой 0, — это само число 0, но оно не относится к множеству натуральных чисел.

Следовательно, в стандартной записи натурального числа на первом месте не может стоять цифра 0.

Ответ: 0.

4. Как называют группы по три цифры, на которые разбивают многозначные числа справа налево?

Группы по три цифры, на которые разбивают многозначные числа, двигаясь справа налево, называются классами. Это делается для удобства чтения и произношения больших чисел.

Каждый класс имеет свое название. Нумерация классов идет справа налево:

Первый класс — это класс единиц. Он включает в себя первые три разряда: единицы, десятки и сотни.
Второй класс — это класс тысяч. Он включает следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
Третий класс — это класс миллионов.
Четвертый класс — класс миллиардов, и так далее.

Например, число $54 \, 987 \, 654 \, 321$ разбивается на классы следующим образом:
- $321$ — класс единиц.
- $654$ — класс тысяч.
- $987$ — класс миллионов.
- $54$ — класс миллиардов. В самом левом классе может быть меньше трех цифр (одна или две).

Ответ: классы.

5. Назовите по порядку первые четыре класса в записи натуральных чисел.

В десятичной системе счисления, используемой для записи натуральных чисел, цифры при чтении справа налево группируются по три. Каждая такая группа из трех цифр называется классом. Самый правый класс (первый) — это класс единиц, следующий за ним (второй) — класс тысяч, затем (третий) — класс миллионов и так далее.

Первые четыре класса в записи натуральных чисел по порядку (справа налево):

1. Класс единиц: включает разряды единиц, десятков и сотен. Охватывает числа от $1$ до $999$.
2. Класс тысяч: включает разряды единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч. Начинается с тысячи ($10^3$).
3. Класс миллионов: включает разряды единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов. Начинается с миллиона ($10^6$).
4. Класс миллиардов: включает разряды единиц миллиардов, десятков миллиардов и сотен миллиардов. Начинается с миллиарда ($10^9$).

Ответ: Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.

6. Сколько разрядов имеет каждый класс? Как их называют?

В принятой десятичной системе счисления для удобства чтения и записи больших чисел их разбивают на группы по три цифры справа налево. Такие группы называются классами. Самый первый класс справа — это класс единиц, затем идет класс тысяч, далее — класс миллионов, миллиардов и так далее.

Каждый класс, в свою очередь, состоит из трёх позиций для цифр, которые называются разрядами. Таким образом, на первую часть вопроса "Сколько разрядов имеет каждый класс?" можно ответить, что каждый класс имеет три разряда.

Названия этих разрядов внутри любого класса, если считать справа налево, всегда одинаковы:

1. Первый разряд — разряд единиц.
2. Второй разряд — разряд десятков.
3. Третий разряд — разряд сотен.

К названию разряда добавляется название класса (кроме класса единиц). Например:

• Класс единиц: единицы, десятки, сотни.
• Класс тысяч: единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч.
• Класс миллионов: единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов.

Ответ: Каждый класс имеет три разряда. Их называют: единицы, десятки и сотни.

7. Как называют запись натурального числа, которой мы пользуемся?

Запись натурального числа, которой мы пользуемся, называется десятичной записью или десятичной системой счисления.

Это позиционная система счисления с основанием 10. Её ключевые характеристики:

1. Использование десяти цифр. Для записи любых чисел используются всего десять знаков, которые называют арабскими цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Позиционный принцип. Значение, которое обозначает цифра, зависит от её места (позиции или разряда) в записи числа. Крайняя справа цифра обозначает разряд единиц, следующая левее — разряд десятков, затем — сотен, тысяч и так далее. Каждая позиция соответствует определённой степени числа 10.

Например, в числе 525 первая цифра «5» означает 5 сотен, а последняя — 5 единиц. Это число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: $525 = 5 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$.

Ответ: десятичная запись (или десятичная система счисления).

8. С чем связано название десятичной записи натуральных чисел?

8. Название "десятичная запись" натуральных чисел напрямую связано с числом десять, которое является основанием этой системы счисления. Это проявляется в нескольких ключевых аспектах.

Во-первых, для записи любого числа в десятичной системе используются десять уникальных символов, называемых арабскими цифрами: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Во-вторых, десятичная система является позиционной. Это означает, что значение, которое представляет цифра, зависит от её места (позиции или разряда) в записи числа.

В-третьих, вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего (если смотреть справа налево). Разряды представляют собой степени числа 10. Например, крайний правый разряд — это разряд единиц ($10^0=1$), следующий — разряд десятков ($10^1=10$), затем сотен ($10^2=100$), тысяч ($10^3=1000$) и так далее.

Например, число 473 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых, что наглядно демонстрирует его десятичную природу:

$473 = 400 + 70 + 3 = 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 3 \cdot 1 = 4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$

Исторически такая система счисления, вероятно, возникла и распространилась благодаря тому, что у человека на двух руках десять пальцев, которые являются самым древним и естественным инструментом для счета.

Ответ: Название десятичной записи связано с тем, что она основана на числе 10: для записи чисел используется десять цифр, и значение каждого разряда в числе является степенью числа 10.