Страница 29 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Является ли плоскость бесконечной?

Да, в рамках евклидовой геометрии, которая является основой школьного курса, плоскость по определению является бесконечной. Это одно из ее фундаментальных, аксиоматических свойств.

Плоскость представляет собой идеализированную, абсолютно ровную двумерную поверхность, которая не имеет толщины и простирается неограниченно во всех направлениях. У плоскости нет краев или границ.

Когда мы рисуем плоскость на чертеже, например, в виде параллелограмма или прямоугольника, мы изображаем лишь ее конечный фрагмент. Это делается условно, для наглядности и удобства работы с фигурами, расположенными на этой плоскости. На самом деле, любую прямую, лежащую в этой плоскости, можно бесконечно продолжить в обе стороны, не выходя за ее пределы, что также подтверждает бесконечность самой плоскости.

Таким образом, хотя мы и работаем с конечными фигурами на плоскости, сама плоскость, как "пространство" для этих фигур, считается бесконечной.

Ответ:
Да, плоскость является бесконечной.

2. Имеет ли прямая концы?

В геометрии прямая является одним из основных понятий. Согласно аксиомам геометрии, прямая линия бесконечна. Это означает, что ее можно мысленно продолжать неограниченно в обе стороны. Следовательно, у прямой нет ни начальной, ни конечной точки, то есть у нее нет концов.

Важно отличать прямую от других геометрических фигур:
- Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. У отрезка есть два конца.
- Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и уходит в бесконечность в одном направлении. У луча есть начало (один конец), но нет второго конца.

Таким образом, в отличие от отрезка и луча, прямая линия не имеет ни одной конечной точки.
Ответ: Нет, прямая не имеет концов.

3. Сколько прямых проходит через две точки?

Этот вопрос касается одного из фундаментальных положений геометрии — аксиомы принадлежности. Согласно этой аксиоме, через любые две различные точки на плоскости или в пространстве можно провести только одну прямую.

Давайте представим две точки, например, точку А и точку В. Мы можем взять линейку и соединить их прямой линией. Если мы попробуем провести еще одну прямую, которая также будет проходить через обе эти точки, она неизбежно совпадет с первой. Невозможно провести вторую, отличную от первой, прямую через те же две точки. Это свойство уникальности прямой, заданной двумя точками, является основой для многих геометрических построений и доказательств.

Ответ: одна прямая.

4. Как обозначают прямую?

В геометрии существует два основных способа обозначения прямой линии:

По двум точкам
Прямую можно однозначно задать двумя любыми точками, которые ей принадлежат. Если на прямой лежат точки $A$ и $B$, то прямую обозначают двумя заглавными латинскими буквами, соответствующими этим точкам: $AB$ или $BA$. Порядок букв не имеет значения, так как это одна и та же прямая. Например, "прямая $MN$".

Одной буквой
Прямую также можно обозначить одной строчной (маленькой) буквой латинского алфавита. Например, прямая $a$, прямая $c$, прямая $l$. Этот способ используется для краткости, когда нет необходимости указывать конкретные точки на прямой.

Ответ: Прямую обозначают двумя заглавными латинскими буквами (например, $AB$) или одной строчной латинской буквой (например, $a$).

5. Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой? Как при этом называют эту точку?

Данный вопрос состоит из двух частей, на которые мы ответим последовательно.

Представим себе бесконечную прямую линию. Если на этой прямой отметить любую точку, она разделит прямую на две части. Каждая из этих частей начинается в отмеченной точке и уходит в бесконечность в своем направлении. Такая геометрическая фигура называется лучом или полупрямой. Таким образом, любая точка делит прямую на два луча, которые направлены в противоположные стороны и вместе составляют всю прямую.

Ответ: части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой, называют лучами или полупрямыми.

Точка, которая делит прямую на два луча, является их общим началом. Она принадлежит каждому из этих двух лучей. Эту точку называют началом луча (или началом лучей) или граничной точкой.

Ответ: точку, которая делит прямую, называют началом луча или граничной точкой.

6. Как обозначают луч?

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца, то есть она бесконечно продолжается в одном заданном направлении. Существует два основных способа обозначения луча.

1. С помощью двух заглавных латинских букв. Это наиболее распространенный и точный способ. Первая буква в обозначении всегда указывает на начальную точку (вершину) луча, а вторая — на любую другую точку, лежащую на этом луче. Например, луч с началом в точке $O$ и проходящий через точку $A$ обозначается как $OA$. Крайне важно помнить, что порядок букв имеет значение. Луч $OA$ и луч $AO$ — это два разных луча, так как у них разные начальные точки.

2. С помощью одной строчной латинской буквы. Иногда, если из контекста или чертежа понятно, о каком именно луче идет речь, его могут обозначить одной маленькой буквой, например, луч $k$.

Ответ: Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами, где первая буква — это его начальная точка, а вторая — любая другая точка на луче (например, $AB$), или одной строчной латинской буквой (например, $c$).

7. С какими геометрическими фигурами вы познакомились в этом параграфе?

Поскольку содержание конкретного параграфа неизвестно, можно предположить, что речь идет о разделе геометрии, который изучает пространственные фигуры — стереометрии. В этом случае, вы познакомились с двумя основными классами фигур: многогранниками и телами вращения.

Многогранники — это геометрические тела, поверхность которых состоит из конечного числа плоских многоугольников. Основные из них:
- Призма: многогранник, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.
- Параллелепипед: призма, в основании которой лежит параллелограмм. Если все грани — прямоугольники, то это прямоугольный параллелепипед. Если все ребра равны, а грани — квадраты, это куб.
- Пирамида: многогранник, где одна грань (основание) — это многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной.

Тела вращения — это объемные тела, которые образуются при вращении плоской фигуры вокруг неподвижной оси. Основные из них:
- Цилиндр: образуется вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Состоит из двух круглых оснований и боковой поверхности.
- Конус: образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Состоит из круглого основания и конической поверхности.
- Шар: образуется вращением полукруга вокруг его диаметра. Все точки поверхности шара (которая называется сферой) равноудалены от его центра.

Ответ: Многогранники (призма, параллелепипед, куб, пирамида) и тела вращения (цилиндр, конус, шар).

1. Вычислите:

1) $312 \cdot 10;$

2) $5 \cdot 1000;$

3) $100 \cdot 10000;$

4) $720 : 9;$

5) $480 : 4;$

6) $480 : 16;$

7) $1212 : 12;$

8) $1010 : 5;$

9) $1515 : 15.$

1) Чтобы умножить натуральное число на 10, нужно приписать к нему справа один ноль.

$312 \cdot 10 = 3120$

Ответ: 3120.

2) Чтобы умножить натуральное число на 1000, нужно приписать к нему справа три ноля.

$5 \cdot 1000 = 5000$

Ответ: 5000.

3) Чтобы перемножить круглые числа, нужно выполнить умножение, отбросив нули, а затем к результату приписать сумму отброшенных нулей. У числа 100 два ноля, у числа 10 000 — четыре ноля. Всего шесть нулей.

$100 \cdot 10000 = 1000000$

Ответ: 1 000 000.

4) Для деления круглого числа можно отбросить ноль в делимом, выполнить деление, а затем приписать ноль к результату.

$720 : 9 = (72 : 9) \cdot 10 = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: 80.

5) Для удобства вычисления представим делимое в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых легко делится на 4.

$480 : 4 = (400 + 80) : 4 = 400 : 4 + 80 : 4 = 100 + 20 = 120$

Ответ: 120.

6) Выполним деление столбиком или подбором. Мы знаем, что $16 \cdot 3 = 48$. Следовательно, чтобы получить 480, нужно умножить 16 на 30.

$480 : 16 = 30$

Ответ: 30.

7) Представим делимое 1212 в виде суммы слагаемых, которые удобно делить на 12.

$1212 : 12 = (1200 + 12) : 12 = 1200 : 12 + 12 : 12 = 100 + 1 = 101$

Ответ: 101.

8) Представим делимое 1010 в виде суммы слагаемых, которые удобно делить на 5.

$1010 : 5 = (1000 + 10) : 5 = 1000 : 5 + 10 : 5 = 200 + 2 = 202$

Ответ: 202.

9) Представим делимое 1515 в виде суммы слагаемых, которые удобно делить на 15.

$1515 : 15 = (1500 + 15) : 15 = 1500 : 15 + 15 : 15 = 100 + 1 = 101$

Ответ: 101.

2. Удвойте число 26. Найдите половину числа 26. Утройте число 27. Найдите треть числа 27.

Удвойте число 26.

Чтобы удвоить число, необходимо умножить его на 2.
$26 \times 2 = 52$
Ответ: 52

Найдите половину числа 26.

Чтобы найти половину от числа, необходимо разделить его на 2.
$26 \div 2 = 13$
Ответ: 13

Утройте число 27.

Чтобы утроить число, необходимо умножить его на 3.
$27 \times 3 = 81$
Ответ: 81

Найдите треть числа 27.

Чтобы найти треть от числа, необходимо разделить его на 3.
$27 \div 3 = 9$
Ответ: 9

3. Около школы растут берёзы и тополя, причём берёз восемь, а тополей — на 16 больше. Сколько всего деревьев растёт около школы?

Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

Сколько всего деревьев растёт около школы?

1. Сначала найдём количество тополей. В условии сказано, что их на 16 больше, чем берёз. Количество берёз равно 8.
$8 + 16 = 24$ (тополя)

2. Теперь, чтобы найти общее количество деревьев, сложим количество берёз и количество тополей.
$8 + 24 = 32$ (дерева)

Ответ: всего около школы растёт 32 дерева.

Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, необходимо большее число разделить на меньшее. В нашем случае, нужно разделить количество тополей на количество берёз.
$24 / 8 = 3$

Ответ: берёз в 3 раза меньше, чем тополей.

4. В $10 \text{ ч}$ утра со станции отправился поезд со скоростью $60 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от станции будет поезд в $15 \text{ ч}$ того же дня, если будет двигаться с этой же скоростью и без остановок?

Для того чтобы определить, на каком расстоянии от станции будет поезд в 15 часов, нужно сначала найти время, которое он проведет в пути, а затем умножить это время на его скорость.

1. Определим время в пути.

Поезд отправился в 10 часов утра, а нас интересует его положение в 15 часов того же дня. Время в пути ($t$) равно разнице между временем прибытия (или моментом времени, который нас интересует) и временем отправления.

$t = 15 \, \text{ч} - 10 \, \text{ч} = 5 \, \text{ч}$

Таким образом, поезд будет в пути 5 часов.

2. Рассчитаем расстояние.

Расстояние ($S$) вычисляется по формуле: расстояние = скорость × время.

$S = v \cdot t$

Скорость поезда ($v$) равна 60 км/ч, а время в пути ($t$) — 5 часов. Подставим эти значения в формулу:

$S = 60 \, \text{км/ч} \cdot 5 \, \text{ч} = 300 \, \text{км}$

Следовательно, в 15 часов поезд будет находиться на расстоянии 300 км от станции.

Ответ: 300 км.

5. Таня и Миша учатся в одной школе. Таня живёт в доме около одной конечной остановки автобуса, а Миша — в доме около другой конечной остановки этого же маршрута. Когда они едут в школу, то Таня выходит на пятой остановке, а Миша — на седьмой. Сколько всего остановок на этом маршруте?

Для решения этой задачи представим весь автобусный маршрут как прямую линию с остановками. Пронумеруем остановки, начиная от дома Тани.

Пусть конечная остановка, у которой живёт Таня, — это остановка №1. По условию, она выходит на пятой по счёту остановке, чтобы добраться до школы. Это значит, что школа находится у остановки №5.

Миша живёт у другой конечной остановки этого же маршрута. Обозначим общее количество остановок на маршруте за $N$. Тогда остановка Миши — это остановка №$N$. Миша едет к той же школе, то есть к остановке №5, но с другого конца маршрута. Для него эта остановка является седьмой по счёту.

Давайте выразим номер школьной остановки, считая со стороны Миши. Если он садится на остановке №$N$, то:

• 1-я по счёту для него остановка имеет номер $N$.
• 2-я по счёту остановка имеет номер $N-1$.
• 3-я по счёту остановка имеет номер $N-2$.
• ...и так далее.
• Таким образом, 7-я по счёту для него остановка будет иметь номер $N - (7-1) = N - 6$.

Так как и Таня, и Миша выходят на одной и той же остановке у школы, мы можем приравнять номер этой остановки, полученный при счёте с разных концов маршрута:

$5 = N - 6$

Теперь решим это простое уравнение, чтобы найти общее число остановок $N$:

$N = 5 + 6$

$N = 11$

Таким образом, на всём автобусном маршруте 11 остановок.

Ответ: 11

6. Верёвку разрезали на три куска так, что первый кусок оказался на 3 м короче второго и на 3 м длиннее третьего куска. На сколько метров третий кусок короче второго?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие длины кусков верёвки:

• Пусть $L_1$ — длина первого куска.
• Пусть $L_2$ — длина второго куска.
• Пусть $L_3$ — длина третьего куска.

Исходя из условия задачи, составим математические соотношения между длинами кусков.

1. Первый кусок на 3 м короче второго. Это означает, что длина второго куска на 3 м больше длины первого:

$L_2 = L_1 + 3$

2. Первый кусок на 3 м длиннее третьего. Это означает, что длина третьего куска на 3 м меньше длины первого:

$L_3 = L_1 - 3$

Вопрос задачи — "На сколько метров третий кусок короче второго?". Чтобы ответить на него, нужно найти разницу между длиной второго и третьего кусков, то есть $L_2 - L_3$.

Подставим в это выражение полученные ранее соотношения для $L_2$ и $L_3$:

$L_2 - L_3 = (L_1 + 3) - (L_1 - 3)$

Теперь раскроем скобки. Обратите внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри неё изменятся на противоположные:

$L_2 - L_3 = L_1 + 3 - L_1 + 3$

Сократим $L_1$ и $-L_1$, так как их сумма равна нулю, и сложим оставшиеся числа:

$L_2 - L_3 = 3 + 3 = 6$

Таким образом, второй кусок длиннее третьего на 6 метров, что означает, что третий кусок короче второго на 6 метров.

Ответ: на 6 метров.

85. Отметьте в тетради точки $M$ и $K$ и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке $MK$ точку $N$. Принадлежит ли точка $N$ прямой $MK$? Отметьте на прямой $MK$ точку $P$, лежащую вне отрезка $MK$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Сначала выполним все построения, описанные в задаче.
1. Отметим две произвольные точки $M$ и $K$.
2. Проведем через них прямую. По аксиоме геометрии, через две точки проходит только одна прямая.
3. На отрезке $MK$ (часть прямой между точками $M$ и $K$, включая сами точки) отметим точку $N$.
4. На прямой $MK$ отметим точку $P$, которая лежит вне отрезка $MK$. Это значит, что $P$ лежит на прямой, но не между $M$ и $K$.
Таким образом, мы получили четыре точки ($M, K, N, P$), лежащие на одной прямой.

Принадлежит ли точка N прямой МК?
Да, точка $N$ принадлежит прямой $MK$. Отрезок $MK$ является частью (подмножеством) прямой $MK$. Если точка принадлежит отрезку, она по определению принадлежит и прямой, на которой этот отрезок лежит.
Ответ: Да, принадлежит.

Запишите все возможные обозначения этой прямой.
Прямую можно обозначить любыми двумя точками, которые на ней лежат. На нашей прямой есть четыре точки: $M, K, N, P$. Мы можем составить следующие пары точек для обозначения прямой: ($M,K$), ($M,N$), ($M,P$), ($K,N$), ($K,P$), ($N,P$). Каждая пара точек дает два варианта обозначения (например, $MK$ и $KM$). Таким образом, все возможные обозначения прямой:
$MK, KM, MN, NM, MP, PM, KN, NK, KP, PK, NP, PN$.
Ответ: $MK, KM, MN, NM, MP, PM, KN, NK, KP, PK, NP, PN$.

86. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точки $A$, $B$ и $C$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

В геометрии прямую можно однозначно определить и обозначить любыми двумя точками, которые ей принадлежат. Порядок этих точек в обозначении не важен, то есть прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, может быть названа как $AB$ или как $BA$.

В условии задачи на произвольной прямой отмечены три точки: $A$, $B$ и $C$. Чтобы перечислить все возможные обозначения этой прямой, необходимо составить все возможные уникальные пары из этих трёх точек.

Составим пары из точек $A$, $B$ и $C$:

1. Пара точек $A$ и $B$. Эта пара даёт два обозначения для прямой: $AB$ и $BA$.
2. Пара точек $A$ и $C$. Эта пара даёт два обозначения для прямой: $AC$ и $CA$.
3. Пара точек $B$ и $C$. Эта пара даёт два обозначения для прямой: $BC$ и $CB$.

Следовательно, существует всего 6 возможных обозначений для данной прямой.

Ответ: $AB, BA, AC, CA, BC, CB$.