Страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

87. Рассмотрите рисунок 38. Верно ли утверждение:

1) точка $Q$ принадлежит отрезку $ME$;

2) точка $Q$ принадлежит лучу $EF$;

3) точка $Q$ принадлежит лучу $FE$;

4) точка $E$ принадлежит лучу $MF$ и лучу $FM$;

5) точка $M$ принадлежит отрезку $QE$;

6) точка $M$ принадлежит прямой $QE$?

Рис. 38

Проанализируем каждое утверждение, основываясь на расположении точек M, Q, E, F на прямой, показанной на рисунке 38.

1) точка Q принадлежит отрезку ME?

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок ME включает в себя точки M и E, а также все точки, расположенные между ними. На рисунке видно, что точка Q находится между точками M и E. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) точка Q принадлежит лучу EF?

Луч — это часть прямой, имеющая начальную точку и не имеющая конца. Луч EF начинается в точке E и продолжается в направлении точки F (вправо на рисунке). Точка Q расположена слева от начальной точки E, поэтому она не принадлежит лучу EF. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

3) точка Q принадлежит лучу FE?

Луч FE начинается в точке F и продолжается в направлении точки E (влево на рисунке). Двигаясь от точки F влево, мы проходим точку E, а затем достигаем точки Q. Таким образом, точка Q лежит на луче FE. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

4) точка E принадлежит лучу MF и лучу FM?

Это утверждение состоит из двух частей. Проверим каждую из них.
- Принадлежит ли точка E лучу MF? Луч MF начинается в точке M и продолжается в направлении точки F (вправо). Точка E лежит на этом пути. Значит, E принадлежит лучу MF.
- Принадлежит ли точка E лучу FM? Луч FM начинается в точке F и продолжается в направлении точки M (влево). Точка E лежит на этом пути. Значит, E принадлежит лучу FM.
Поскольку оба условия выполняются, утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) точка M принадлежит отрезку QE?

Отрезок QE включает в себя точки Q и E и все точки между ними. Точка M расположена слева от точки Q и не находится между Q и E. Следовательно, точка M не принадлежит отрезку QE. Утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

6) точка M принадлежит прямой QE?

Прямая — это линия, не имеющая ни начала, ни конца. Прямая QE проходит через точки Q и E и продолжается бесконечно в обе стороны. Из рисунка видно, что все четыре точки (M, Q, E, F) лежат на одной прямой. Следовательно, точка M принадлежит прямой QE. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

88. Пересекаются ли изображённые на рисунке 39:

1) прямая $CE$ и отрезок $AB$?

2) луч $OK$ и прямая $CE$;

3) луч $OK$ и отрезок $AB$?

Рис. 39

1) прямая CE и отрезок AB

По определению, прямая бесконечна и не имеет ни начала, ни конца. Отрезок является частью прямой, ограниченной двумя точками. На рисунке изображен отрезок CE. Чтобы получить прямую CE, нужно мысленно продолжить этот отрезок в обе стороны до бесконечности. Если мы продолжим отрезок CE за точку C, то полученная прямая пересечёт отрезок AB.
Ответ: да, пересекаются.

2) луч OK и прямая CE

Луч имеет начальную точку и продолжается бесконечно в одном направлении. Луч OK начинается в точке O и проходит через точку K, уходя в бесконечность. Прямая CE, как было сказано ранее, бесконечна в обе стороны. Поскольку луч OK и прямая CE не параллельны, при их продолжении они обязательно пересекутся в одной точке.
Ответ: да, пересекаются.

3) луч OK и отрезок AB

Луч OK начинается в точке O и продолжается бесконечно вниз. Отрезок AB ограничен точками A и B. На рисунке видно, что эти два геометрических объекта не имеют общих точек и расположены на некотором расстоянии друг от друга. Бесконечное продолжение луча OK вниз не приведёт к его пересечению с отрезком AB, который имеет конечную длину.
Ответ: нет, не пересекаются.

89. Пересекаются ли изображённые на рисунке 40: 1) прямая $MP$ и отрезок $EF$; 2) луч $ST$ и прямая $MP$; 3) отрезок $EF$ и луч $ST$?

Рис. 40

1) Для того чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямая $MP$ и отрезок $EF$, необходимо рассмотреть определения этих геометрических фигур.

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца, то есть она бесконечна в обе стороны. На рисунке изображена лишь часть прямой $MP$.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (в данном случае, точками $E$ и $F$).

На рисунке 40 видно, что отрезок $EF$ не имеет общих точек с видимой частью прямой $MP$. Если мысленно продолжить прямую $MP$ в обе стороны до бесконечности, она всё равно не пересечёт отрезок $EF$, который является конечным. Прямая $MP$ и прямая, содержащая отрезок $EF$, выглядят параллельными. Даже если они не параллельны, точка их пересечения будет находиться за пределами отрезка $EF$. Следовательно, прямая $MP$ и отрезок $EF$ не пересекаются.

Ответ: нет, не пересекаются.

2) Рассмотрим, пересекаются ли луч $ST$ и прямая $MP$.

Луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке (в данном случае, в точке $S$) и продолжается бесконечно в одном направлении (через точку $T$).

Прямая $MP$ бесконечна в обе стороны.

На рисунке видно, что луч $ST$, начинаясь в точке $S$ и проходя через точку $T$, пересекает прямую $MP$. Точка пересечения находится на изображённом участке прямой $MP$. Следовательно, луч $ST$ и прямая $MP$ пересекаются.

Ответ: да, пересекаются.

3) Выясним, пересекаются ли отрезок $EF$ и луч $ST$.

Отрезок $EF$ — это конечная часть прямой между точками $E$ и $F$.

Луч $ST$ — это часть прямой, которая начинается в точке $S$ и бесконечно продолжается в направлении точки $T$.

На рисунке видно, что отрезок $EF$ и видимая часть луча $ST$ не имеют общих точек. Если мысленно продолжить луч $ST$ от точки $T$ в том же направлении до бесконечности, он будет удаляться от отрезка $EF$. Таким образом, у них нет и не может быть общих точек. Следовательно, отрезок $EF$ и луч $ST$ не пересекаются.

Ответ: нет, не пересекаются.

90. Отметьте в тетради:

1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой;

2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой.

1) Чтобы отметить четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой, можно действовать следующим образом:
1. Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой. Назовем их А, В и С. Эти точки образуют вершины треугольника.
2. Теперь нужно отметить четвертую точку, D. Эта точка не должна лежать ни на одной из прямых, проходящих через пары уже отмеченных точек (то есть, не на прямых AB, BC и AC).
Самый простой способ — нарисовать выпуклый четырехугольник и отметить его вершины. Например, вершины квадрата или трапеции.
Пример расположения точек:

В этом примере, если мы попытаемся провести прямую через любые три точки (например, A, B, C), мы увидим, что это невозможно.
Ответ: Необходимо отметить вершины любого выпуклого четырехугольника.

2) Чтобы отметить пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой, можно использовать тот же принцип, что и в первом пункте, но для пяти точек.
1. Начните с четырех точек из предыдущего задания, например, вершин четырехугольника ABCD.
2. Теперь нужно добавить пятую точку, E. Эта точка не должна лежать ни на одной из прямых, которые можно провести через уже существующие пары точек (AB, AC, AD, BC, BD, CD).
Самый простой и наглядный пример — отметить вершины правильного пятиугольника. Все его вершины удовлетворяют заданному условию.
Пример расположения точек:

В этом примере точки A, B, C, D, E расположены как вершины выпуклого пятиугольника. Если проверить любую тройку точек, они не будут лежать на одной прямой.
Ответ: Необходимо отметить вершины любого выпуклого пятиугольника.

91. На прямой $AB$ отмечены две точки $M$ и $N$. Назовите фигуры, которые при этом образовались.

При нанесении двух точек M и N на прямую AB, эта прямая разделяется на несколько новых геометрических фигур, которые можно классифицировать следующим образом.

Отрезок
Образуется часть прямой, которая заключена между точками M и N. Эта фигура называется отрезком MN. Точки M и N являются его концами. Отрезок включает в себя свои концы и все точки прямой, лежащие между ними.

Лучи
Точки M и N являются началами для нескольких лучей (или полупрямых). Луч — это часть прямой, состоящая из начальной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее. В результате образуются:
- Луч MN, который начинается в точке M и проходит через точку N.
- Луч NM, который начинается в точке N и проходит через точку M.
Также можно сказать, что точки M и N разбивают всю прямую на три части: отрезок MN и два луча, которые не пересекаются. Один из этих лучей имеет начало в точке M и направлен в противоположную от N сторону, а другой имеет начало в точке N и направлен в противоположную от M сторону.

Ответ: При нанесении точек M и N на прямую образуются отрезок MN и лучи с началами в точках M и N.

92. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 41.

а.

Прямые:

$\overleftrightarrow{NC}$, $\overleftrightarrow{MB}$, $\overleftrightarrow{MD}$

Отрезки:

$NA$, $AK$, $KC$, $NK$, $NC$, $AC$, $MA$, $AB$, $MB$, $MK$, $KD$, $MD$

Лучи:

$\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{KN}$, $\overrightarrow{KC}$, $\overrightarrow{CN}$; $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BM}$; $\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{KM}$, $\overrightarrow{KD}$, $\overrightarrow{DM}$

б.

Прямые:

$\overleftrightarrow{AD}$, $\overleftrightarrow{EK}$, $\overleftrightarrow{BT}$

Отрезки:

$AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $AD$, $BD$, $EF$, $FK$, $EK$, $BF$, $FT$, $BT$

Лучи:

$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{EK}$, $\overrightarrow{KE}$, $\overrightarrow{FE}$, $\overrightarrow{FK}$; $\overrightarrow{BT}$, $\overrightarrow{TB}$, $\overrightarrow{FB}$, $\overrightarrow{FT}$

а

На рисунке а изображены три прямые, которые пересекаются друг с другом. Обозначим их по двум точкам, лежащим на каждой из прямых.

Прямые:

На рисунке изображены 3 прямые:

• Прямая, проходящая через точки B, A, M. Обозначим её $BM$.
• Прямая, проходящая через точки D, K, M. Обозначим её $DM$.
• Прямая, проходящая через точки N, A, K, C. Обозначим её $NC$.

Отрезки:

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Найдём все отрезки на каждой прямой:

• На прямой $BM$: $BA, AM, BM$.
• На прямой $DM$: $DK, KM, DM$.
• На прямой $NC$: $NA, NK, NC, AK, AC, KC$.

Лучи:

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. Для каждой точки на прямой можно построить два луча, направленных в противоположные стороны.

• Лучи, лежащие на прямой $BM$: лучи с началом в точке B ($BM$), в точке A ($AB, AM$), в точке M ($MB$). Уникальные лучи: $BM, MB, AB, AM$.
• Лучи, лежащие на прямой $DM$: лучи с началом в точке D ($DM$), в точке K ($KD, KM$), в точке M ($MD$). Уникальные лучи: $DM, MD, KD, KM$.
• Лучи, лежащие на прямой $NC$: лучи с началом в точке N ($NC$), в точке A ($AN, AC$), в точке K ($KN, KC$), в точке C ($CN$). Уникальные лучи: $NC, CN, AN, AC, KN, KC$.

Ответ: Прямые: $BM, DM, NC$. Отрезки: $BA, AM, BM, DK, KM, DM, NA, NK, NC, AK, AC, KC$. Лучи: $BM, MB, AB, AM, DM, MD, KD, KM, NC, CN, AN, AC, KN, KC$.

б

На рисунке б изображены три прямые: две горизонтальные и одна наклонная (секущая).

Прямые:

На рисунке изображены 3 прямые:

• Прямая, проходящая через точки A, B, C. Обозначим её $AC$.
• Прямая, проходящая через точки E, F. Обозначим её $EF$.
• Прямая, проходящая через точки T, F, B. Обозначим её $TB$.

Отрезки:

Найдём все отрезки, образованные отмеченными точками на каждой прямой:

• На прямой $AC$: $AB, BC, AC$.
• На прямой $EF$: $EF$.
• На прямой $TB$: $TF, FB, TB$.

Лучи:

Найдём все лучи с началами в отмеченных точках:

• Лучи, лежащие на прямой $AC$: лучи с началом в точке A ($AC$), в точке B ($BA, BC$), в точке C ($CA$). Уникальные лучи: $AC, BA, BC, CA$.
• Лучи, лежащие на прямой $EF$: лучи с началом в точке E ($EF$), в точке F ($FE$). Уникальные лучи: $EF, FE$.
• Лучи, лежащие на прямой $TB$: лучи с началом в точке T ($TB$), в точке F ($FT, FB$), в точке B ($BT$). Уникальные лучи: $TB, BT, FT, FB$.

Ответ: Прямые: $AC, EF, TB$. Отрезки: $AB, BC, AC, EF, TF, FB, TB$. Лучи: $AC, BA, BC, CA, EF, FE, TB, BT, FT, FB$.

93. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 42.

Рис. 42

Отрезки:

• $AB$
• $BC$
• $AC$
• $AD$
• $CD$
• $DB$
• $BF$
• $DF$
• $CK$
• $DK$
• $ED$
• $EB$
• $EF$
• $EC$
• $EK$

Прямые:

• $\overleftrightarrow{DF}$
• $\overleftrightarrow{DK}$

Лучи:

• $\overrightarrow{ED}$
• $\overrightarrow{EB}$
• $\overrightarrow{EF}$
• $\overrightarrow{EC}$
• $\overrightarrow{EK}$
• $\overrightarrow{DB}$
• $\overrightarrow{DF}$
• $\overrightarrow{BD}$
• $\overrightarrow{BF}$
• $\overrightarrow{FD}$
• $\overrightarrow{FB}$
• $\overrightarrow{DC}$
• $\overrightarrow{DK}$
• $\overrightarrow{CD}$
• $\overrightarrow{CK}$
• $\overrightarrow{KC}$
• $\overrightarrow{KD}$

Для решения задачи необходимо внимательно рассмотреть рисунок и определить все геометрические фигуры, соответствующие определениям отрезка, прямой и луча.

Отрезки

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. На рисунке изображены следующие отрезки:

• Отрезки, образующие фигуру, похожую на треугольник: $AB$, $BC$, $AC$.
• Отрезок $AC$ содержит точку $D$, поэтому на нём также можно выделить отрезки $AD$ и $DC$.
• На прямой, проходящей через точки $E$, $D$, $B$, $F$, можно выделить отрезки, соединяющие эти точки: $ED$, $DB$, $BF$, а также отрезки, являющиеся их объединением: $EB$, $DF$, $EF$.
• Часть луча $CK$ между точками $C$ и $K$ является отрезком $CK$.

Полный список отрезков: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $BF$, $BE$, $CD$, $CK$, $DE$, $DF$, $EF$.

Ответ: $AB, AC, AD, BC, BD, BF, BE, CD, CK, DE, DF, EF$.

Прямые

Прямая — это линия, не имеющая ни начала, ни конца, и простирающаяся бесконечно в обе стороны. На рисунке 42 изображена только одна прямая. Она проходит через точки $E$, $D$, $B$ и $F$. Для её обозначения можно использовать любые две из этих точек.

Ответ: $EF$ (или $DB$, $ED$, $BF$).

Лучи

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и продолжается бесконечно в одном направлении. На данном рисунке можно выделить следующие лучи:

• Луч с началом в точке $C$, проходящий через точку $K$: $CK$.
• Лучи, лежащие на прямой $EF$:
  • с началом в точке $E$: луч $EF$.
  • с началом в точке $D$: лучи $DE$ и $DF$.
  • с началом в точке $B$: лучи $BE$ и $BF$.
  • с началом в точке $F$: луч $FE$.

Ответ: $CK, DE, DF, BE, BF, EF, FE$.