Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что значит сравнить два различных натуральных числа?

2. Как, используя натуральный ряд, можно определить, какое из двух натуральных чисел меньше? Больше?

Натуральный ряд — это упорядоченная последовательность чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$, в которой каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Чтобы определить, какое из двух натуральных чисел больше или меньше, нужно сравнить их положение в этом ряду.

Меньше?
Из двух натуральных чисел меньшим считается то, которое в натуральном ряду появляется раньше (находится левее). При счете это число называют раньше.
Например, сравним числа 9 и 5. В натуральном ряду $1, 2, 3, 4, \textbf{5}, 6, 7, 8, \textbf{9}, \dots$ число 5 появляется раньше, чем число 9. Значит, 5 меньше 9. Математически это записывается как $5 < 9$.
Ответ: Меньшим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду появляется раньше.

Больше?
Из двух натуральных чисел большим считается то, которое в натуральном ряду появляется позже (находится правее). При счете это число называют позже.
На том же примере, сравнивая 9 и 5, мы видим, что число 9 появляется в натуральном ряду позже, чем число 5. Значит, 9 больше 5. Математически это записывается как $9 > 5$.
Ответ: Большим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду появляется позже.

3. Какое число меньше любого натурального числа?

4. Как сравнивать натуральные числа, имеющие разное количество цифр?

При сравнении двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр, используется следующее простое правило: больше то число, в котором больше цифр, и, соответственно, меньше то число, в котором цифр меньше.

Этот принцип работает благодаря позиционной системе счисления, где каждая следующая позиция (разряд) в числе в 10 раз больше предыдущей. Таким образом, даже самое маленькое число с бо́льшим количеством разрядов всегда будет больше самого большого числа с меньшим количеством разрядов. Например, самое маленькое трехзначное число (100) больше самого большого двузначного числа (99).

Примеры:

• Сравним числа 1120 и 985.
  В числе 1120 — четыре цифры.
  В числе 985 — три цифры.
  Так как количество цифр $4 > 3$, то и число $1120 > 985$.
• Сравним числа 8 и 23.
  В числе 8 — одна цифра.
  В числе 23 — две цифры.
  Так как количество цифр $1 < 2$, то и число $8 < 23$.
• Сравним числа 999 999 и 1 000 000.
  В числе 999 999 — шесть цифр.
  В числе 1 000 000 — семь цифр.
  Так как количество цифр $6 < 7$, то и число $999\;999 < 1\;000\;000$.

Таким образом, при сравнении натуральных чисел с разным количеством знаков достаточно просто посчитать их количество, не обращая внимания на сами цифры.

Ответ: Чтобы сравнить натуральные числа с разным количеством цифр, нужно посчитать количество цифр в каждом из них. Большим будет то число, у которого цифр больше, а меньшим — то, у которого цифр меньше.

5. Какое из натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше?

6. Как на координатном луче расположена точка с меньшей координатой относительно точки с большей координатой?

Координатный луч — это луч, на котором отмечено начало отсчёта, выбран единичный отрезок и указано положительное направление. Каждой точке на этом луче соответствует число, называемое её координатой. Координата показывает расстояние от начала отсчёта до точки, выраженное в единичных отрезках.

По определению, на горизонтальном координатном луче, направленном вправо, из двух различных точек левее находится та, координата которой меньше, а правее — та, координата которой больше.

Пусть у нас есть две точки: точка $A$ с координатой $a$ и точка $B$ с координатой $b$. В условии задачи сказано, что одна координата меньше другой. Допустим, $a < b$.

Исходя из правила сравнения чисел на координатном луче, раз число $a$ меньше числа $b$, то точка $A(a)$, соответствующая числу $a$, будет расположена левее точки $B(b)$, соответствующей числу $b$.

Например, сравним положение точек $C(3)$ и $D(8)$. Так как координата точки $C$ меньше координаты точки $D$ ($3 < 8$), точка $C$ расположена на координатном луче левее точки $D$.

Ответ: Точка с меньшей координатой расположена на координатном луче левее точки с большей координатой.

1. Какое из чисел 516 и 615 расположено на координатном луче левее?

2. Какое из чисел 405 и 504 расположено на координатном луче правее?

3. В 8 ч термометр показывал температуру 4°С, а в 14 ч – 12 °С. Чему равна цена деления этого термометра, если его столбик поднялся на четыре деления?

Для определения цены деления термометра необходимо найти, какое изменение температуры соответствует одному делению на шкале.

1. Сначала найдем общее изменение температуры. В 8 часов утра температура была $T_1 = 4^\circ \text{C}$, а в 14 часов дня она составила $T_2 = 12^\circ \text{C}$. Изменение температуры $(\Delta T)$ равно разности между конечным и начальным значениями:
$\Delta T = T_2 - T_1 = 12^\circ \text{C} - 4^\circ \text{C} = 8^\circ \text{C}$.

2. По условию, это изменение температуры в $8^\circ \text{C}$ привело к тому, что столбик термометра поднялся на 4 деления.

3. Теперь, чтобы найти цену одного деления, нужно общее изменение температуры разделить на количество делений, которому это изменение соответствует:
Цена деления = $\frac{\Delta T}{\text{количество делений}} = \frac{8^\circ \text{C}}{4} = 2^\circ \text{C}$.

Таким образом, каждое деление на шкале этого термометра соответствует 2 градусам Цельсия.

Ответ: 2 °C.

4. Вычислите:

1) $(27 + 13) \cdot 8;$

2) $(56 - 26) \cdot 9;$

3) $(82 - 71) \cdot 6;$

4) $(128 - 53) : 3;$

5) $63 : (25 - 16);$

6) $120 : (26 + 14).$

5. В коробке лежат пять красных и три зелёных карандаша. Наугад из неё вынимают по одному карандашу. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них были хотя бы два красных и один зелёный?

142. Прочитайте неравенство:

1) $4 < 9$;

2) $18 > 10$;

3) $257 < 263$;

4) $132 > 95$;

5) $8 < 12 < 20$;

6) $29 < 30 < 31$.

1) Неравенство $4 < 9$ читается так: «четыре меньше девяти».

Ответ: четыре меньше девяти.

2) Неравенство $18 > 10$ читается так: «восемнадцать больше десяти».

Ответ: восемнадцать больше десяти.

3) Неравенство $257 < 263$ читается так: «двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх».

Ответ: двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх.

4) Неравенство $132 > 95$ читается так: «сто тридцать два больше девяноста пяти».

Ответ: сто тридцать два больше девяноста пяти.

5) Двойное неравенство $8 < 12 < 20$ можно прочитать двумя способами. Первый, последовательно слева направо: «восемь меньше двенадцати, а двенадцать меньше двадцати». Второй, отталкиваясь от среднего числа: «двенадцать больше восьми и меньше двадцати».

Ответ: восемь меньше двенадцати, а двенадцать меньше двадцати.

6) Двойное неравенство $29 < 30 < 31$ можно прочитать двумя способами. Первый, последовательно слева направо: «двадцать девять меньше тридцати, а тридцать меньше тридцати одного». Второй, отталкиваясь от среднего числа: «тридцать больше двадцати девяти и меньше тридцати одного».

Ответ: двадцать девять меньше тридцати, а тридцать меньше тридцати одного.