Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что значит сравнить два различных натуральных числа?

Сравнить два различных натуральных числа — это значит определить, какое из этих чисел больше, а какое меньше. Поскольку в условии указано, что числа различные, они не могут быть равны друг другу.

Результатом сравнения двух различных натуральных чисел, например, a и b, является одно из двух возможных соотношений:

• число a больше числа b, что записывается в виде неравенства $a > b$;
• число a меньше числа b, что записывается в виде неравенства $a < b$.

Для сравнения натуральных чисел используют следующие правила:

1. Положение на натуральном ряду (или числовой прямой). Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете появляется раньше, и больше то, которое появляется позже. Например, в ряду чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... число 5 стоит раньше числа 7, значит $5 < 7$. На числовой прямой большее число всегда расположено правее меньшего.
2. По количеству цифр (разрядов). Если два числа имеют разное количество цифр, то большим является то число, в записи которого больше цифр. Например, число 105 (три цифры) больше числа 98 (две цифры), то есть $105 > 98$.
3. Поразрядное сравнение. Если в записи двух чисел одинаковое количество цифр, их сравнивают поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда. Большим будет то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше. Например, сравним числа 457 и 462.
   • Цифры в разряде сотен совпадают (4 и 4).
   • Переходим к разряду десятков. Здесь цифры разные: 5 и 6.
   • Поскольку $5 < 6$, то и $457 < 462$.

Таким образом, процесс сравнения заключается в установлении одного из отношений "больше" ($>$) или "меньше" ($<$) между двумя различными натуральными числами.

Ответ: Сравнить два различных натуральных числа — это значит определить, какое из них больше, а какое меньше, и записать результат с помощью знаков неравенства ($>$ или $<$).

2. Как, используя натуральный ряд, можно определить, какое из двух натуральных чисел меньше? Больше?

Натуральный ряд — это упорядоченная последовательность чисел $1, 2, 3, 4, 5, \dots$, в которой каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Чтобы определить, какое из двух натуральных чисел больше или меньше, нужно сравнить их положение в этом ряду.

Меньше?
Из двух натуральных чисел меньшим считается то, которое в натуральном ряду появляется раньше (находится левее). При счете это число называют раньше.
Например, сравним числа 9 и 5. В натуральном ряду $1, 2, 3, 4, \textbf{5}, 6, 7, 8, \textbf{9}, \dots$ число 5 появляется раньше, чем число 9. Значит, 5 меньше 9. Математически это записывается как $5 < 9$.
Ответ: Меньшим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду появляется раньше.

Больше?
Из двух натуральных чисел большим считается то, которое в натуральном ряду появляется позже (находится правее). При счете это число называют позже.
На том же примере, сравнивая 9 и 5, мы видим, что число 9 появляется в натуральном ряду позже, чем число 5. Значит, 9 больше 5. Математически это записывается как $9 > 5$.
Ответ: Большим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду появляется позже.

3. Какое число меньше любого натурального числа?

3.

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1: $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее до бесконечности.
Самым маленьким натуральным числом является 1. Чтобы найти число, которое меньше любого натурального числа, оно должно быть меньше самого маленького из них.
Таким образом, искомое число должно быть меньше 1.
Число 0 меньше, чем 1. Так как все остальные натуральные числа больше 1, то 0 будет меньше и всех остальных натуральных чисел.
Любое отрицательное число (например, $-5, -100, -0.2$) также меньше любого натурального числа, потому что любое отрицательное число меньше нуля, а ноль, в свою очередь, меньше любого натурального числа.
Однако, как правило, первым и самым простым ответом на этот вопрос является число 0.
Ответ: 0.

4. Как сравнивать натуральные числа, имеющие разное количество цифр?

При сравнении двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр, используется следующее простое правило: больше то число, в котором больше цифр, и, соответственно, меньше то число, в котором цифр меньше.

Этот принцип работает благодаря позиционной системе счисления, где каждая следующая позиция (разряд) в числе в 10 раз больше предыдущей. Таким образом, даже самое маленькое число с бо́льшим количеством разрядов всегда будет больше самого большого числа с меньшим количеством разрядов. Например, самое маленькое трехзначное число (100) больше самого большого двузначного числа (99).

Примеры:

• Сравним числа 1120 и 985.
  В числе 1120 — четыре цифры.
  В числе 985 — три цифры.
  Так как количество цифр $4 > 3$, то и число $1120 > 985$.
• Сравним числа 8 и 23.
  В числе 8 — одна цифра.
  В числе 23 — две цифры.
  Так как количество цифр $1 < 2$, то и число $8 < 23$.
• Сравним числа 999 999 и 1 000 000.
  В числе 999 999 — шесть цифр.
  В числе 1 000 000 — семь цифр.
  Так как количество цифр $6 < 7$, то и число $999\;999 < 1\;000\;000$.

Таким образом, при сравнении натуральных чисел с разным количеством знаков достаточно просто посчитать их количество, не обращая внимания на сами цифры.

Ответ: Чтобы сравнить натуральные числа с разным количеством цифр, нужно посчитать количество цифр в каждом из них. Большим будет то число, у которого цифр больше, а меньшим — то, у которого цифр меньше.

5. Какое из натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше?

Чтобы определить, какое из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше, их сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо, от старшего разряда к младшему. Этот метод также называют лексикографическим сравнением.

Правило сравнения выглядит следующим образом:

• Сначала сравниваются первые цифры (самые левые). То число, у которого первая цифра больше, является большим.
• Если первые цифры одинаковы, то сравниваются вторые цифры. Если вторая цифра одного числа больше второй цифры другого, то первое число больше.
• Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдена первая пара различающихся цифр при движении слева направо. Большим будет то число, у которого цифра в этом разряде больше.

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: Сравним числа $745$ и $699$.

Оба числа имеют по 3 цифры. Начинаем сравнение с первой цифры слева:

• Первая цифра числа $745$ — это $7$.
• Первая цифра числа $699$ — это $6$.

Поскольку $7 > 6$, сравнение на этом заканчивается. Число $745$ больше, чем $699$, несмотря на то что последующие цифры у него меньше.

Пример 2: Сравним числа $4109$ и $4121$.

Оба числа имеют по 4 цифры. Начинаем сравнение поразрядно:

• Сравнение первых цифр: $4 = 4$. Они равны, поэтому переходим к следующему разряду.
• Сравнение вторых цифр: $1 = 1$. Они также равны, переходим к следующему.
• Сравнение третьих цифр: $0$ и $2$. Поскольку $0 < 2$, то число $4109$ меньше, чем $4121$.

Следовательно, $4121$ больше, чем $4109$.

Ответ: Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше то, у которого больше первая (считая слева) из неодинаковых цифр.

6. Как на координатном луче расположена точка с меньшей координатой относительно точки с большей координатой?

Координатный луч — это луч, на котором отмечено начало отсчёта, выбран единичный отрезок и указано положительное направление. Каждой точке на этом луче соответствует число, называемое её координатой. Координата показывает расстояние от начала отсчёта до точки, выраженное в единичных отрезках.

По определению, на горизонтальном координатном луче, направленном вправо, из двух различных точек левее находится та, координата которой меньше, а правее — та, координата которой больше.

Пусть у нас есть две точки: точка $A$ с координатой $a$ и точка $B$ с координатой $b$. В условии задачи сказано, что одна координата меньше другой. Допустим, $a < b$.

Исходя из правила сравнения чисел на координатном луче, раз число $a$ меньше числа $b$, то точка $A(a)$, соответствующая числу $a$, будет расположена левее точки $B(b)$, соответствующей числу $b$.

Например, сравним положение точек $C(3)$ и $D(8)$. Так как координата точки $C$ меньше координаты точки $D$ ($3 < 8$), точка $C$ расположена на координатном луче левее точки $D$.

Ответ: Точка с меньшей координатой расположена на координатном луче левее точки с большей координатой.

1. Какое из чисел 516 и 615 расположено на координатном луче левее?

На координатном луче числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это означает, что из двух чисел левее на луче находится то, которое меньше, а правее — то, которое больше.

Чтобы определить, какое из чисел 516 и 615 расположено левее, необходимо их сравнить. Сравнение многозначных чисел начинают со старшего разряда. В нашем случае это разряд сотен.

- В числе 516 в разряде сотен находится цифра 5.
- В числе 615 в разряде сотен находится цифра 6.

Сравниваем цифры в разряде сотен: $5 < 6$.

Поскольку цифра сотен у числа 516 меньше, чем у числа 615, то и само число 516 меньше числа 615 ($516 < 615$).

Следовательно, на координатном луче число 516 расположено левее числа 615.

Ответ: 516

2. Какое из чисел 405 и 504 расположено на координатном луче правее?

На координатном луче большее число всегда расположено правее меньшего. Чтобы определить, какое из чисел 405 и 504 находится правее, нужно их сравнить.

Сравниваем числа 405 и 504. Оба числа трехзначные. Сравним их поразрядно, начиная со старшего разряда (сотен).

В числе 405 — 4 сотни.

В числе 504 — 5 сотен.

Так как 5 сотен больше, чем 4 сотни, то число 504 больше, чем число 405. Запишем это в виде неравенства: $504 > 405$.

Следовательно, на координатном луче число 504 расположено правее числа 405.

Ответ: 504.

3. В 8 ч термометр показывал температуру 4°С, а в 14 ч – 12 °С. Чему равна цена деления этого термометра, если его столбик поднялся на четыре деления?

Для определения цены деления термометра необходимо найти, какое изменение температуры соответствует одному делению на шкале.

1. Сначала найдем общее изменение температуры. В 8 часов утра температура была $T_1 = 4^\circ \text{C}$, а в 14 часов дня она составила $T_2 = 12^\circ \text{C}$. Изменение температуры $(\Delta T)$ равно разности между конечным и начальным значениями:
$\Delta T = T_2 - T_1 = 12^\circ \text{C} - 4^\circ \text{C} = 8^\circ \text{C}$.

2. По условию, это изменение температуры в $8^\circ \text{C}$ привело к тому, что столбик термометра поднялся на 4 деления.

3. Теперь, чтобы найти цену одного деления, нужно общее изменение температуры разделить на количество делений, которому это изменение соответствует:
Цена деления = $\frac{\Delta T}{\text{количество делений}} = \frac{8^\circ \text{C}}{4} = 2^\circ \text{C}$.

Таким образом, каждое деление на шкале этого термометра соответствует 2 градусам Цельсия.

Ответ: 2 °C.

4. Вычислите:

1) $(27 + 13) \cdot 8;$

2) $(56 - 26) \cdot 9;$

3) $(82 - 71) \cdot 6;$

4) $(128 - 53) : 3;$

5) $63 : (25 - 16);$

6) $120 : (26 + 14).$

1) $(27 + 13) \cdot 8$

В соответствии с порядком выполнения действий, сначала вычисляем выражение в скобках:

$27 + 13 = 40$

Затем выполняем умножение:

$40 \cdot 8 = 320$

Ответ: 320

2) $(56 - 26) \cdot 9$

Сначала выполняем вычитание в скобках:

$56 - 26 = 30$

Затем выполняем умножение:

$30 \cdot 9 = 270$

Ответ: 270

3) $(82 - 71) \cdot 6$

Сначала выполняем вычитание в скобках:

$82 - 71 = 11$

Затем выполняем умножение:

$11 \cdot 6 = 66$

Ответ: 66

4) $(128 - 53) : 3$

Сначала выполняем вычитание в скобках:

$128 - 53 = 75$

Затем выполняем деление:

$75 : 3 = 25$

Ответ: 25

5) $63 : (25 - 16)$

Сначала выполняем вычитание в скобках:

$25 - 16 = 9$

Затем выполняем деление:

$63 : 9 = 7$

Ответ: 7

6) $120 : (26 + 14)$

Сначала выполняем сложение в скобках:

$26 + 14 = 40$

Затем выполняем деление:

$120 : 40 = 3$

Ответ: 3

5. В коробке лежат пять красных и три зелёных карандаша. Наугад из неё вынимают по одному карандашу. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них были хотя бы два красных и один зелёный?

Для решения этой задачи нужно использовать принцип наихудшего случая. Мы должны рассчитать, какое максимальное количество карандашей можно вытащить, не выполнив при этом заданное условие. Следующий вытащенный карандаш гарантированно обеспечит выполнение условия.

У нас есть 5 красных и 3 зелёных карандаша.
Цель: получить хотя бы 2 красных и 1 зелёный карандаш.

Рассмотрим самый неблагоприятный сценарий. Нам "не везёт", и мы вытаскиваем карандаши, которые максимально оттягивают момент выполнения условия. Худший вариант — это вытащить сначала все карандаши того цвета, которых больше всего. В данном случае это красные карандаши.

Предположим, мы вытаскиваем подряд все 5 красных карандашей. На этом этапе у нас есть 5 красных и 0 зелёных карандашей. Условие "хотя бы два красных" выполнено, но условие "хотя бы один зелёный" — нет.

После того как мы вынули 5 карандашей, в коробке остались только 3 зелёных карандаша. Это означает, что следующий, шестой, карандаш, который мы вынем, будет гарантированно зелёным.

Таким образом, после извлечения 6 карандашей у нас в худшем случае будет 5 красных и 1 зелёный. Этот набор удовлетворяет условию задачи (иметь хотя бы 2 красных и 1 зелёный).

Математически это можно записать так:
Количество красных карандашей (худший случай) + 1 (гарантированный зелёный) = $5 + 1 = 6$.

Если бы мы взяли 5 карандашей, был бы шанс, что все они окажутся красными, и условие не будет выполнено. Следовательно, 5 карандашей недостаточно для гарантии.

Ответ: 6.

142. Прочитайте неравенство:

1) $4 < 9$;

2) $18 > 10$;

3) $257 < 263$;

4) $132 > 95$;

5) $8 < 12 < 20$;

6) $29 < 30 < 31$.

1) Неравенство $4 < 9$ читается так: «четыре меньше девяти».

Ответ: четыре меньше девяти.

2) Неравенство $18 > 10$ читается так: «восемнадцать больше десяти».

Ответ: восемнадцать больше десяти.

3) Неравенство $257 < 263$ читается так: «двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх».

Ответ: двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх.

4) Неравенство $132 > 95$ читается так: «сто тридцать два больше девяноста пяти».

Ответ: сто тридцать два больше девяноста пяти.

5) Двойное неравенство $8 < 12 < 20$ можно прочитать двумя способами. Первый, последовательно слева направо: «восемь меньше двенадцати, а двенадцать меньше двадцати». Второй, отталкиваясь от среднего числа: «двенадцать больше восьми и меньше двадцати».

Ответ: восемь меньше двенадцати, а двенадцать меньше двадцати.

6) Двойное неравенство $29 < 30 < 31$ можно прочитать двумя способами. Первый, последовательно слева направо: «двадцать девять меньше тридцати, а тридцать меньше тридцати одного». Второй, отталкиваясь от среднего числа: «тридцать больше двадцати девяти и меньше тридцати одного».

Ответ: двадцать девять меньше тридцати, а тридцать меньше тридцати одного.