Страница 44 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

154. Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2 364 и меньше 2 432, содержащее цифру 8 в разряде единиц. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.

Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2 364 и меньше 2 432, содержащее цифру 8 в разряде единиц.
Согласно условию, нам нужно найти натуральное число $N$, которое удовлетворяет двойному неравенству $2364 < N < 2432$ и при этом оканчивается на цифру 8.
Например, число 2368 удовлетворяет всем условиям: $2364 < 2368 < 2432$, и его последняя цифра — 8.
Ответ: 2368.

Сколько таких чисел можно написать?
Чтобы найти все такие числа, мы можем выписать их, начиная с наименьшего возможного. Первое число после 2364, оканчивающееся на 8, — это 2368. Следующие числа будут увеличиваться на 10.
Получаем следующий ряд чисел:
2368
2378
2388
2398
2408
2418
2428
Следующее число в этой последовательности, 2438, уже больше 2432, поэтому оно не подходит.
Подсчитав количество чисел в списке, получаем, что всего можно написать 7 таких чисел.
Ответ: 7.

Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.
Из списка, составленного в предыдущем пункте (2368, 2378, 2388, 2398, 2408, 2418, 2428), наименьшим является первое число, а наибольшим — последнее.
Наименьшее число: 2368.
Наибольшее число: 2428.
Ответ: наименьшее число — 2368, наибольшее число — 2428.

155. На координатном луче отметили числа $5$, $12$, $a$, $b$ и $c$ (рис. 64).

Сравните:

1) $a$ и $5$;

2) $12$ и $b$;

3) $a$ и $12$;

4) $c$ и $a$.

Рис. 64

На координатной прямой точки расположены в следующем порядке:

$0$, $a$, $5$, $b$, $12$, $c$

Для сравнения чисел, отмеченных на координатном луче, используется правило: из двух чисел больше то, которое расположено на луче правее, и меньше то, которое расположено левее. На данном координатном луче числа расположены в следующем порядке (слева направо): $0$, $a$, $5$, $b$, $12$, $c$.

1) а и 5;
Точка, соответствующая числу a, находится левее точки, соответствующей числу 5. Это означает, что число a меньше числа 5.
Ответ: $a < 5$.

2) 12 и b;
Точка, соответствующая числу 12, находится правее точки, соответствующей числу b. Это означает, что число 12 больше числа b.
Ответ: $12 > b$.

3) а и 12;
Точка, соответствующая числу a, находится левее точки, соответствующей числу 12. Это означает, что число a меньше числа 12.
Ответ: $a < 12$.

4) с и а.
Точка, соответствующая числу c, находится правее точки, соответствующей числу a. Это означает, что число c больше числа a.
Ответ: $c > a$.

156. Маша, Катя, Петя и Дима собирали каждый в свою корзинку грибы. В одной корзинке оказалось 34 гриба, во второй — 58 грибов, в третьей — 76 грибов, в четвёртой — 82 гриба. Сколько грибов собрал каждый из них, если Петя собрал больше грибов, чем Дима, но меньше, чем Катя, а Маша меньше, чем Дима?

Для решения задачи сначала проанализируем условия и составим цепочку неравенств, отражающую количество собранных грибов для каждого. Обозначим количество грибов, которые собрали Маша, Катя, Петя и Дима, их первыми буквами имени: М, К, П, Д.

Из условия известно:
1. Петя собрал больше грибов, чем Дима: $П > Д$.
2. Петя собрал меньше, чем Катя: $П < К$.
3. Маша собрала меньше, чем Дима: $М < Д$.

Теперь объединим эти неравенства в одно общее. Из условий 1 и 3 ($М < Д$ и $Д < П$) следует, что Маша собрала меньше Димы, а Дима меньше Пети: $М < Д < П$.

Из условия 2 ($П < К$) следует, что Петя собрал меньше Кати. Добавив это к нашей цепочке, получаем окончательный порядок по количеству собранных грибов:$М < Д < П < К$.

Это означает, что Маша собрала наименьшее количество грибов, Дима — больше Маши, Петя — больше Димы, а Катя — больше всех.

В условии даны количества грибов в корзинках: 34, 58, 76, 82. Расположим эти числа в порядке возрастания, чтобы они соответствовали нашей цепочке неравенств:$34 < 58 < 76 < 82$.

Теперь сопоставим имена с количеством грибов:
• Маша (наименьшее количество) собрала 34 гриба.
• Дима (следующий по количеству) собрал 58 грибов.
• Петя (третий по количеству) собрал 76 грибов.
• Катя (наибольшее количество) собрала 82 гриба.

Ответ: Маша собрала 34 гриба, Дима — 58 грибов, Петя — 76 грибов, Катя — 82 гриба.

157. Запишите в виде двойного неравенства утверждение:

1) число 7 больше 5 и меньше 10; $5 < 7 < 10$

2) число 62 меньше 70 и больше 60; $60 < 62 < 70$

3) число 54 меньше 94 и больше 44; $44 < 54 < 94$

4) число 128 больше 127 и меньше 129. $127 < 128 < 129$

1) Утверждение "число 7 больше 5 и меньше 10" состоит из двух неравенств: $7 > 5$ и $7 < 10$. Чтобы записать их в виде двойного неравенства, мы помещаем число 7 в центр. Слева от него ставим меньшее число (5), а справа — большее (10). Знаки неравенства должны показывать, что числа идут в порядке возрастания. Таким образом, получаем запись, которая читается как "7 больше 5 и меньше 10".
Ответ: $5 < 7 < 10$

2) Утверждение "число 62 меньше 70 и больше 60" означает, что $62 < 70$ и $62 > 60$. Переписав второе неравенство как $60 < 62$, мы можем объединить их. В двойном неравенстве числа записываются в порядке возрастания, поэтому слева будет 60, в центре 62, а справа 70.
Ответ: $60 < 62 < 70$

3) Утверждение "число 54 меньше 94 и больше 44" можно представить в виде двух отдельных условий: $54 < 94$ и $54 > 44$. Для записи в виде двойного неравенства мы располагаем число 54 между его нижней границей (44) и верхней (94), соединяя их знаками "меньше".
Ответ: $44 < 54 < 94$

4) Утверждение "число 128 больше 127 и меньше 129" состоит из двух частей: $128 > 127$ и $128 < 129$. Объединяя их в одно двойное неравенство, мы ставим число 128 между 127 и 129, так как оно больше первого и меньше второго. Числа располагаются в порядке их увеличения.
Ответ: $127 < 128 < 129$

158. Запишите в виде двойного неравенства утверждения:

1) число 56 больше 52 и меньше 58; $52 < 56 < 58$

2) число 258 больше 250 и меньше 261; $250 < 258 < 261$

3) число 4 325 меньше 4 400 и больше 4 300; $4300 < 4325 < 4400$

4) число 999 999 меньше 1 000 000 и больше 555 558; $555558 < 999999 < 1000000$

1) Утверждение "число 56 больше 52 и меньше 58" можно записать в виде двух отдельных неравенств: $56 > 52$ и $56 < 58$. Чтобы объединить их в двойное неравенство, мы располагаем числа в порядке возрастания (от меньшего к большему) и ставим между ними знаки "меньше" ($<$).
Ответ: $52 < 56 < 58$

2) Утверждение "число 258 больше 250 и меньше 261" означает, что $258 > 250$ и $258 < 261$. Запишем эти числа в порядке возрастания, чтобы составить двойное неравенство.
Ответ: $250 < 258 < 261$

3) Утверждение "число 4 325 меньше 4 400 и больше 4 300" означает, что $4\ 325 < 4\ 400$ и $4\ 325 > 4\ 300$. Располагая числа в порядке от меньшего к большему, получаем двойное неравенство.
Ответ: $4\ 300 < 4\ 325 < 4\ 400$

4) Утверждение "число 999 999 меньше 1 000 000 и больше 555 558" означает, что $999\ 999 < 1\ 000\ 000$ и $999\ 999 > 555\ 558$. Для записи в виде двойного неравенства, мы ставим меньшее число слева, большее справа, а проверяемое число — посередине.
Ответ: $555\ 558 < 999\ 999 < 1\ 000\ 000$

159. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки.

Сравните эти числа:

1) 43 *** и 48 ***;

2) 38* и 1 ***;

3) 9*4 и 9 **3;

4) 6*9 и 96*.

1) Сравниваем числа $43***$ и $48***$.
Оба числа являются пятизначными. При сравнении чисел с одинаковым количеством разрядов, сравнение производится поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда. В данных числах цифры в старшем разряде (десятки тысяч) совпадают и равны 4. Сравниваем цифры в следующем разряде (тысячи): у первого числа это 3, а у второго — 8. Так как $3 < 8$, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от того, какие цифры скрыты за звёздочками. Следовательно, $43*** < 48***$.
Ответ: $43*** < 48***$.

2) Сравниваем числа $38*$ и $1***$.
Первое число, $38*$, является трёхзначным. Его наименьшее возможное значение — 380, а наибольшее — 389. Второе число, $1***$, является четырёхзначным. Его наименьшее возможное значение — 1000, а наибольшее — 1999. При сравнении натуральных чисел, число с большим количеством цифр всегда больше числа с меньшим количеством цифр. Так как в первом числе 3 цифры, а во втором 4, то второе число всегда больше первого.
Ответ: $38* < 1***$.

3) Сравниваем числа $9*4$ и $9**3$.
Первое число, $9*4$, является трёхзначным. Второе число, $9**3$, является четырёхзначным (в нём 4 разряда: 9 в разряде тысяч, две неизвестные цифры в разрядах сотен и десятков и 3 в разряде единиц). Число, в котором больше цифр, всегда больше числа, в котором цифр меньше. Поэтому четырёхзначное число $9**3$ всегда больше трёхзначного числа $9*4$.
Ответ: $9*4 < 9**3$.

4) Сравниваем числа $6*9$ и $96*$.
Оба числа являются трёхзначными. Сравниваем их поразрядно слева направо, начиная со старшего разряда (сотни). У первого числа в разряде сотен стоит цифра 6, а у второго — цифра 9. Так как $6 < 9$, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от цифр, стоящих в младших разрядах.
Ответ: $6*9 < 96*$.

160. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки.

Сравните эти числа:

1) $35\text{***}$ и $32\text{***}$;

2) $\text{**}68$ и $86\text{*}$.

1) Сравним числа $35* ***$ и $32* ***$.

Оба числа являются шестизначными. При сравнении чисел с одинаковым количеством цифр, их сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо).
Первая цифра (в разряде сотен тысяч) у обоих чисел одинакова и равна 3.
Вторая цифра (в разряде десятков тысяч) у первого числа равна 5, а у второго — 2.
Поскольку $5 > 2$, то первое число всегда будет больше второго, независимо от того, какие цифры заменяют звёздочки.
Для проверки можно взять крайние случаи: наименьшее возможное значение первого числа — 350 000, а наибольшее возможное значение второго — 329 999. Очевидно, что $350 000 > 329 999$.
Ответ: $35* *** > 32* ***$.

2) Сравним числа $* *68$ и $86*$.

Для сравнения этих чисел в первую очередь нужно определить количество цифр (разрядов) в каждом из них.
Число $* *68$ является четырехзначным.
Число $86*$ является трехзначным.
При сравнении натуральных чисел то число больше, в котором больше цифр. Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного.
Наименьшее возможное значение первого числа — 1068, а наибольшее возможное значение второго — 869. Так как $1068 > 869$, то первое число всегда больше второго.
Ответ: $* *68 > 86*$.