Страница 47 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число в натуральном ряду является предыдущим числу 5 100?

А) 5 009

Б) 5 939

В) 5 099

Г) 5 199

В натуральном ряду чисел каждое число, начиная со второго, на единицу больше предыдущего. Следовательно, чтобы найти число, которое является предыдущим для данного натурального числа, нужно из этого числа вычесть 1.

Нам дано число 5 100. Найдем для него предыдущее число:

$5100 - 1 = 5099$

Таким образом, число, которое в натуральном ряду является предыдущим числу 5 100, – это 5 099. Этот результат соответствует варианту ответа В).

Ответ: В) 5 099

2. Сколько чисел стоит в натуральном ряду между числами 31 и 82?

А) 48

Б) 49

В) 50

Г) 51

Чтобы найти количество натуральных чисел, которые находятся между двумя заданными числами, нужно из большего числа вычесть меньшее и от полученной разности отнять единицу. Это правило применяется, потому что мы не считаем сами граничные числа (31 и 82).

Способ 1: Вычитание с коррекцией

Общая формула для нахождения количества целых чисел между $a$ и $b$ (при $b > a$) выглядит так: $N = (b - a) - 1$.

Подставим в эту формулу наши числа: $a = 31$ и $b = 82$.

Выполним вычисления:

$N = (82 - 31) - 1 = 51 - 1 = 50$

Способ 2: Подсчет чисел в новом диапазоне

Натуральные числа, расположенные между 31 и 82, — это все целые числа от 32 до 81 включительно. Чтобы найти количество чисел в диапазоне от $c$ до $d$ включительно, используется формула: $N = d - c + 1$.

В этом случае первым числом диапазона является $c = 32$, а последним — $d = 81$.

Подставим эти значения в формулу:

$N = 81 - 32 + 1 = 49 + 1 = 50$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Между числами 31 и 82 в натуральном ряду стоит 50 чисел.

Ответ: 50

3. Какая цифра записана в разряде десятков класса тысяч числа 243 786?

А) 2

Б) 4

В) 3

Г) 8

Для того чтобы определить, какая цифра записана в разряде десятков класса тысяч числа $243\,786$, необходимо разбить это число на классы и разряды. Нумерация разрядов и классов производится справа налево.

Число $243\,786$ можно представить как совокупность двух классов:

• Класс единиц, который включает последние три цифры: $786$. В этом классе:
  • $6$ — это разряд единиц.
  • $8$ — это разряд десятков.
  • $7$ — это разряд сотен.
• Класс тысяч, который включает следующие три цифры: $243$. В этом классе:
  • $3$ — это разряд единиц тысяч.
  • $4$ — это разряд десятков тысяч.
  • $2$ — это разряд сотен тысяч.

Вопрос задачи — найти цифру, которая находится в разряде десятков класса тысяч. Согласно приведенной выше структуре, этому разряду соответствует цифра $4$.

Ответ: 4

4. Как записывают цифрами число два миллиона двадцать тысяч двести?

А) 2 020 200

Б) 2 200 200

В) 2 002 200

Г) 2 200 020

Чтобы правильно записать число "два миллиона двадцать тысяч двести" цифрами, необходимо разложить его по разрядным классам: класс миллионов, класс тысяч и класс единиц. Каждый класс состоит из трех разрядов: сотен, десятков и единиц.

• Класс миллионов: "два миллиона" — это 2 в разряде единиц миллионов. Записываем как 2.
• Класс тысяч: "двадцать тысяч" — это 2 в разряде десятков тысяч и 0 в разряде единиц тысяч. Так как в классе тысяч должно быть три цифры, мы добавляем 0 в разряд сотен тысяч. Получаем 020.
• Класс единиц: "двести" — это 2 в разряде сотен, 0 в разряде десятков и 0 в разряде единиц. Получаем 200.

Теперь соединим цифры всех классов по порядку: 2 (миллионы), 020 (тысячи), 200 (единицы).

Получается число 2 020 200.

Также можно представить число в виде суммы его разрядных слагаемых:

$2 \cdot 1\,000\,000 + 20 \cdot 1\,000 + 200 = 2\,000\,000 + 20\,000 + 200 = 2\,020\,200$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) 2 020 200

5. Чему равна длина отрезка AD, изображённого на рисунке, если $AC = 18$ см, $BD = 20$ см, $BC = 6$ см?

А) 38 см

Б) 32 см

В) 28 см

Г) 26 см

Поскольку точки A, B, C, D лежат на одной прямой в указанном порядке, длина всего отрезка $AD$ равна сумме длин его составных частей: $AB$, $BC$ и $CD$.

$AD = AB + BC + CD$

Для нахождения общей длины $AD$ нам нужно вычислить длины отрезков $AB$ и $CD$, используя известные данные: $AC = 18$ см, $BD = 20$ см и $BC = 6$ см.

1. Находим длину отрезка $AB$

Отрезок $AC$ состоит из отрезков $AB$ и $BC$. Следовательно, $AC = AB + BC$. Чтобы найти длину $AB$, вычтем длину $BC$ из длины $AC$:

$AB = AC - BC = 18 \text{ см} - 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$

2. Находим длину отрезка $CD$

Аналогично, отрезок $BD$ состоит из отрезков $BC$ и $CD$. Следовательно, $BD = BC + CD$. Чтобы найти длину $CD$, вычтем длину $BC$ из длины $BD$:

$CD = BD - BC = 20 \text{ см} - 6 \text{ см} = 14 \text{ см}$

3. Находим длину отрезка $AD$

Теперь, зная длины всех трех отрезков, мы можем вычислить общую длину $AD$, сложив их:

$AD = AB + BC + CD = 12 \text{ см} + 6 \text{ см} + 14 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Альтернативный способ

Длину отрезка $AD$ можно также найти, сложив длины отрезков $AC$ и $BD$. При таком сложении их общая часть, отрезок $BC$, будет учтена дважды. Поэтому, чтобы получить верную длину $AD$, необходимо вычесть длину $BC$ из этой суммы.

$AD = AC + BD - BC$

$AD = 18 \text{ см} + 20 \text{ см} - 6 \text{ см} = 38 \text{ см} - 6 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Ответ: 32 см.

6. Какая из отмеченных точек не принадлежит лучу $BD$, изображённому на рисунке?

А) $B$

Б) $E$

В) $M$

Г) $K$

$M$ $B$ $D$ $K$ $E$

По определению, луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца. Луч, обозначенный как $BD$, начинается в точке $B$ и проходит через точку $D$, продолжаясь бесконечно в этом направлении. Таким образом, лучу $BD$ принадлежат точка $B$ и все точки прямой, которые лежат по ту же сторону от точки $B$, что и точка $D$.

Рассмотрим каждую из отмеченных точек на рисунке:

А) B: Точка $B$ является началом луча $BD$, следовательно, она принадлежит этому лучу.

Б) E: Точка $E$ лежит на прямой по ту же сторону от начальной точки $B$, что и точка $D$. Следовательно, точка $E$ принадлежит лучу $BD$.

В) M: Точка $M$ лежит на прямой с противоположной стороны от начала луча — точки $B$. Следовательно, точка $M$ не принадлежит лучу $BD$.

Г) K: Точка $K$ лежит на прямой по ту же сторону от начальной точки $B$, что и точка $D$. Следовательно, точка $K$ принадлежит лучу $BD$.

Исходя из анализа, единственная точка, которая не принадлежит лучу $BD$, — это точка $M$.

Ответ: В) M

7. Чему равна координата точки $M$, изображённой на рисунке?

А) 5

В) 7

Б) 6

Г) 8

0 1

$M$

На рисунке изображена координатная прямая. На ней отмечены точки с координатами 0 и 1. Расстояние между этими точками определяет длину единичного отрезка.

Все остальные отрезки, на которые прямая разделена штрихами, равны по длине единичному отрезку. Это означает, что каждый следующий штрих справа от 0 соответствует следующему по порядку целому числу.

Чтобы определить координату точки $M$, необходимо посчитать количество единичных отрезков от начала отсчета (точки 0) до точки $M$.

Двигаясь от 0 вправо, мы последовательно проходим точки с координатами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и, наконец, 7.

Точка $M$ расположена на седьмом штрихе после точки 0. Следовательно, координата точки $M$ равна 7.

Среди предложенных вариантов ответа (А) 5, Б) 6, В) 7, Г) 8) правильным является вариант В).

Ответ: 7

8. Чему равна координата точки $K$, изображённой на рисунке?

А) 70

Б) 75

В) 80

Г) 85

Для того чтобы определить координату точки K, изображенной на рисунке, необходимо сначала найти цену одного деления координатной прямой.

На шкале отмечены значения 0, 30, 60, 90. Рассмотрим отрезок между отметками 0 и 30. Его длина составляет $30 - 0 = 30$ единиц. Этот отрезок разделен двумя штрихами на три равные части. Следовательно, цена одного малого деления составляет:
$30 \div 3 = 10$

Таким образом, каждая следующая отметка на шкале больше предыдущей на 10. Шкала имеет следующий вид: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.

Точка K расположена на прямой между отметками, соответствующими значениям 70 и 80. По рисунку видно, что точка K находится ровно посередине между этими двумя отметками.

Чтобы найти координату точки, расположенной посередине отрезка, нужно найти среднее арифметическое его концов:
$\frac{70 + 80}{2} = \frac{150}{2} = 75$

Следовательно, координата точки K равна 75.

Ответ: Б) 75

9. Какую из данных цифр можно подставить вместо звёздочки в запись $1472 > 14*4$, чтобы образовалось верное неравенство?

А) 8 Б) 7 В) 6 Г) 9

Для того чтобы неравенство $1472 > 14*4$ было верным, необходимо сравнить числа поразрядно, начиная со старших разрядов (слева направо).

- Цифры в разряде тысяч у обоих чисел одинаковы: $1 = 1$.
- Цифры в разряде сотен также одинаковы: $4 = 4$.

Поскольку старшие разряды совпадают, результат сравнения зависит от следующего разряда — разряда десятков. В левом числе в разряде десятков стоит цифра 7. В правом числе на этом месте стоит неизвестная цифра, обозначенная звёздочкой (*).

Чтобы левое число было больше правого, цифра в первом отличающемся разряде (в данном случае, в разряде десятков) у левого числа должна быть больше.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Если цифра на месте звёздочки меньше 7 ($* < 7$), то левое число будет больше. Например, $1472 > 1464$. Это верно.
2. Если цифра на месте звёздочки равна 7 ($* = 7$), то для сравнения нужно смотреть на разряд единиц. Неравенство примет вид $1472 > 1474$. Это неверно, так как $2 < 4$.
3. Если цифра на месте звёздочки больше 7 ($* > 7$), то левое число будет меньше правого. Например, $1472 > 1484$. Это неверно.

Таким образом, для того чтобы неравенство было верным, цифра на месте звёздочки должна быть строго меньше 7.

Проверим предложенные варианты:

А) 8
Подставляем 8: $1472 > 1484$. Неверно, так как $8 > 7$.

Б) 7
Подставляем 7: $1472 > 1474$. Неверно, так как при равных десятках $2 < 4$.

В) 6
Подставляем 6: $1472 > 1464$. Верно, так как $6 < 7$.

Г) 9
Подставляем 9: $1472 > 1494$. Неверно, так как $9 > 7$.

Единственная цифра из предложенных вариантов, при которой неравенство становится верным, — это 6.

Ответ: В) 6

10. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче левее числа 15?

А) 13

Б) 14

В) 15

Г) бесконечно много

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее. Число 0 не является натуральным числом.

На координатном луче числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это означает, что любое число, расположенное левее другого, будет меньше него. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти количество всех натуральных чисел, которые меньше 15.

Запишем неравенство, которому должны удовлетворять искомые числа $n$: $n < 15$.

Теперь перечислим все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Подсчитаем количество этих чисел. Всего их 14.

Следовательно, на координатном луче левее числа 15 расположено 14 натуральных чисел. Это соответствует варианту ответа Б).

Ответ: Б) 14