Страница 53 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

181. 1) Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 12?

2) Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 23, а второе — на 17?

3) Как изменится сумма, если одно из слагаемых уменьшить на 34?

4) Как изменится сумма, если одно из слагаемых уменьшить на 16, а второе — на 9?

5) Как изменится сумма, если одно из слагаемых увеличить на 28, а второе уменьшить на 15?

6) Одно из слагаемых увеличили на 3. На сколько надо увеличить второе слагаемое, чтобы сумма увеличилась на 14?

7) Одно из слагаемых увеличили на 8. Как надо изменить второе слагаемое, чтобы сумма: а) увеличилась на 3; б) уменьшилась на 5?

1) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$. Если одно из слагаемых, например $a$, увеличить на 12, то новое слагаемое станет $a' = a + 12$. Новая сумма будет равна $S' = (a + 12) + b = (a + b) + 12 = S + 12$. Таким образом, сумма увеличится на 12.
Ответ: Сумма увеличится на 12.

2) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$. Если одно слагаемое увеличить на 23 ($a' = a + 23$), а второе увеличить на 17 ($b' = b + 17$), то новая сумма будет равна $S' = (a + 23) + (b + 17) = (a + b) + (23 + 17) = S + 40$. Таким образом, сумма увеличится на 40.
Ответ: Сумма увеличится на 40.

3) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$. Если одно из слагаемых, например $a$, уменьшить на 34, то новое слагаемое станет $a' = a - 34$. Новая сумма будет равна $S' = (a - 34) + b = (a + b) - 34 = S - 34$. Таким образом, сумма уменьшится на 34.
Ответ: Сумма уменьшится на 34.

4) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$. Если одно слагаемое уменьшить на 16 ($a' = a - 16$), а второе уменьшить на 9 ($b' = b - 9$), то новая сумма будет равна $S' = (a - 16) + (b - 9) = (a + b) - (16 + 9) = S - 25$. Таким образом, сумма уменьшится на 25.
Ответ: Сумма уменьшится на 25.

5) Пусть первоначальная сумма равна $S = a + b$. Если одно слагаемое увеличить на 28 ($a' = a + 28$), а второе уменьшить на 15 ($b' = b - 15$), то новая сумма будет равна $S' = (a + 28) + (b - 15) = (a + b) + (28 - 15) = S + 13$. Таким образом, сумма увеличится на 13.
Ответ: Сумма увеличится на 13.

6) Изменение суммы равно сумме изменений слагаемых. Пусть $x$ — это число, на которое надо увеличить второе слагаемое. Первое слагаемое увеличили на 3. Общее увеличение суммы должно составить 14. Составим уравнение: $3 + x = 14$. Отсюда $x = 14 - 3 = 11$.
Ответ: Второе слагаемое надо увеличить на 11.

7) Изменение суммы равно сумме изменений ее слагаемых. Первое слагаемое увеличили на 8. Пусть $x$ — это искомое изменение второго слагаемого. Тогда общее изменение суммы будет равно $8 + x$.
а) Сумма должна увеличиться на 3, значит, общее изменение равно +3. Получаем уравнение: $8 + x = 3$. Отсюда $x = 3 - 8 = -5$. Знак "минус" означает, что слагаемое нужно уменьшить.
Ответ: второе слагаемое надо уменьшить на 5.
б) Сумма должна уменьшиться на 5, значит, общее изменение равно -5. Получаем уравнение: $8 + x = -5$. Отсюда $x = -5 - 8 = -13$.
Ответ: второе слагаемое надо уменьшить на 13.

182. Найдите сумму:

$1) 76 \text{ м } 39 \text{ см } + 41 \text{ м } 58 \text{ см};$

$2) 4 \text{ км } 238 \text{ м } + 3 \text{ км } 474 \text{ м};$

$3) 64 \text{ м } 86 \text{ см } + 27 \text{ м } 45 \text{ см};$

$4) 16 \text{ км } 527 \text{ м } + 37 \text{ км } 783 \text{ м};$

$5) 12 \text{ ч } 24 \text{ мин } + 9 \text{ ч } 18 \text{ мин};$

$6) 35 \text{ мин } 17 \text{ с } + 16 \text{ мин } 35 \text{ с};$

$7) 18 \text{ ч } 42 \text{ мин } + 14 \text{ ч } 29 \text{ мин};$

$8) 53 \text{ мин } 32 \text{ с } + 44 \text{ мин } 56 \text{ с}.$

1) 76 м 39 см + 41 м 58 см

Для нахождения суммы сложим отдельно метры с метрами и сантиметры с сантиметрами.

Складываем метры: $76 \text{ м} + 41 \text{ м} = 117 \text{ м}$.

Складываем сантиметры: $39 \text{ см} + 58 \text{ см} = 97 \text{ см}$.

Объединяем полученные значения: $117 \text{ м } 97 \text{ см}$. Так как в одном метре $100$ сантиметров, а $97 < 100$, дальнейшее преобразование не требуется.

Ответ: $117 \text{ м } 97 \text{ см}$.

2) 4 км 238 м + 3 км 474 м

Сначала сложим километры, а затем метры.

Складываем километры: $4 \text{ км} + 3 \text{ км} = 7 \text{ км}$.

Складываем метры: $238 \text{ м} + 474 \text{ м} = 712 \text{ м}$.

Объединяем результаты: $7 \text{ км } 712 \text{ м}$. В одном километре $1000$ метров, $712 < 1000$, поэтому преобразование не нужно.

Ответ: $7 \text{ км } 712 \text{ м}$.

3) 64 м 86 см + 27 м 45 см

Сложим отдельно метры и сантиметры.

Складываем метры: $64 \text{ м} + 27 \text{ м} = 91 \text{ м}$.

Складываем сантиметры: $86 \text{ см} + 45 \text{ см} = 131 \text{ см}$.

Поскольку $131 \text{ см}$ больше, чем $100 \text{ см}$ ($1$ м), преобразуем сантиметры в метры и сантиметры: $131 \text{ см} = 1 \text{ м } 31 \text{ см}$.

Теперь добавим полученный метр к сумме метров: $91 \text{ м} + 1 \text{ м} = 92 \text{ м}$.

Итоговый результат: $92 \text{ м } 31 \text{ см}$.

Ответ: $92 \text{ м } 31 \text{ см}$.

4) 16 км 527 м + 37 км 783 м

Складываем одноименные единицы измерения.

Складываем километры: $16 \text{ км} + 37 \text{ км} = 53 \text{ км}$.

Складываем метры: $527 \text{ м} + 783 \text{ м} = 1310 \text{ м}$.

Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, преобразуем $1310 \text{ м}$ в километры и метры: $1310 \text{ м} = 1 \text{ км } 310 \text{ м}$.

Добавим этот километр к ранее полученной сумме километров: $53 \text{ км} + 1 \text{ км} = 54 \text{ км}$.

Получаем окончательный результат: $54 \text{ км } 310 \text{ м}$.

Ответ: $54 \text{ км } 310 \text{ м}$.

5) 12 ч 24 мин + 9 ч 18 мин

Складываем отдельно часы и минуты.

Складываем часы: $12 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 21 \text{ ч}$.

Складываем минуты: $24 \text{ мин} + 18 \text{ мин} = 42 \text{ мин}$.

Объединяем результаты: $21 \text{ ч } 42 \text{ мин}$. В одном часе $60$ минут, $42 < 60$, поэтому преобразование не требуется.

Ответ: $21 \text{ ч } 42 \text{ мин}$.

6) 35 мин 17 с + 16 мин 35 с

Складываем минуты с минутами и секунды с секундами.

Складываем минуты: $35 \text{ мин} + 16 \text{ мин} = 51 \text{ мин}$.

Складываем секунды: $17 \text{ с} + 35 \text{ с} = 52 \text{ с}$.

Объединяем: $51 \text{ мин } 52 \text{ с}$. Так как в одной минуте $60$ секунд, а $52 < 60$, дальнейшее преобразование не требуется.

Ответ: $51 \text{ мин } 52 \text{ с}$.

7) 18 ч 42 мин + 14 ч 29 мин

Складываем отдельно часы и минуты.

Складываем часы: $18 \text{ ч} + 14 \text{ ч} = 32 \text{ ч}$.

Складываем минуты: $42 \text{ мин} + 29 \text{ мин} = 71 \text{ мин}$.

Поскольку $71 \text{ мин}$ больше, чем $60 \text{ мин}$ ($1$ ч), преобразуем минуты в часы и минуты: $71 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 11 \text{ мин}$.

Теперь добавим полученный час к сумме часов: $32 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 33 \text{ ч}$.

Итоговый результат: $33 \text{ ч } 11 \text{ мин}$.

Ответ: $33 \text{ ч } 11 \text{ мин}$.

8) 53 мин 32 с + 44 мин 56 с

Складываем одноименные единицы времени.

Складываем минуты: $53 \text{ мин} + 44 \text{ мин} = 97 \text{ мин}$.

Складываем секунды: $32 \text{ с} + 56 \text{ с} = 88 \text{ с}$.

Так как $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$, преобразуем $88 \text{ с}$ в минуты и секунды: $88 \text{ с} = 1 \text{ мин } 28 \text{ с}$.

Добавим эту минуту к ранее полученной сумме минут: $97 \text{ мин} + 1 \text{ мин} = 98 \text{ мин}$.

Получаем $98 \text{ мин } 28 \text{ с}$.

Теперь преобразуем $98 \text{ мин}$ в часы и минуты ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$): $98 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 38 \text{ мин}$.

Окончательный результат: $1 \text{ ч } 38 \text{ мин } 28 \text{ с}$.

Ответ: $1 \text{ ч } 38 \text{ мин } 28 \text{ с}$.

183. Найдите сумму:

1) $4 \text{ дм } 6 \text{ см} + 5 \text{ дм } 8 \text{ см};$

2) $8 \text{ м } 5 \text{ см} + 6 \text{ м } 96 \text{ см};$

3) $12 \text{ км } 29 \text{ м} + 24 \text{ км } 92 \text{ м};$

4) $2 \text{ т } 4 \text{ ц } 56 \text{ кг} + 9 \text{ т } 6 \text{ ц } 48 \text{ кг};$

5) $3 \text{ ч } 48 \text{ мин} + 2 \text{ ч } 26 \text{ мин};$

6) $25 \text{ мин } 17 \text{ с} + 7 \text{ мин } 54 \text{ с}.$

1) Чтобы найти сумму 4 дм 6 см + 5 дм 8 см, сложим дециметры с дециметрами и сантиметры с сантиметрами.
Сложение дециметров: $4 \text{ дм} + 5 \text{ дм} = 9 \text{ дм}$.
Сложение сантиметров: $6 \text{ см} + 8 \text{ см} = 14 \text{ см}$.
Получается 9 дм 14 см. Поскольку в одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), мы можем преобразовать 14 см в 1 дм 4 см.
Теперь добавим этот 1 дм к 9 дм: $9 \text{ дм} + 1 \text{ дм} 4 \text{ см} = 10 \text{ дм} 4 \text{ см}$.
Ответ: 10 дм 4 см.

2) Чтобы найти сумму 8 м 5 см + 6 м 96 см, сложим метры с метрами и сантиметры с сантиметрами.
Сложение метров: $8 \text{ м} + 6 \text{ м} = 14 \text{ м}$.
Сложение сантиметров: $5 \text{ см} + 96 \text{ см} = 101 \text{ см}$.
Получается 14 м 101 см. Поскольку в одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), мы можем преобразовать 101 см в 1 м 1 см.
Теперь добавим этот 1 м к 14 м: $14 \text{ м} + 1 \text{ м} 1 \text{ см} = 15 \text{ м} 1 \text{ см}$.
Ответ: 15 м 1 см.

3) Чтобы найти сумму 12 км 29 м + 24 км 92 м, сложим километры с километрами и метры с метрами.
Сложение километров: $12 \text{ км} + 24 \text{ км} = 36 \text{ км}$.
Сложение метров: $29 \text{ м} + 92 \text{ м} = 121 \text{ м}$.
Так как 121 м меньше, чем 1000 м (количество метров в одном километре), дальнейшее преобразование не требуется.
Ответ: 36 км 121 м.

4) Чтобы найти сумму 2 т 4 ц 56 кг + 9 т 6 ц 48 кг, сложим отдельно тонны, центнеры и килограммы.
Сложение тонн: $2 \text{ т} + 9 \text{ т} = 11 \text{ т}$.
Сложение центнеров: $4 \text{ ц} + 6 \text{ ц} = 10 \text{ ц}$.
Сложение килограммов: $56 \text{ кг} + 48 \text{ кг} = 104 \text{ кг}$.
Получается 11 т 10 ц 104 кг. Теперь выполним преобразования.
Поскольку $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$, то $104 \text{ кг} = 1 \text{ ц} 4 \text{ кг}$. Добавим 1 ц к имеющимся: $10 \text{ ц} + 1 \text{ ц} = 11 \text{ ц}$. Получаем 11 т 11 ц 4 кг.
Далее, поскольку $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$, то $11 \text{ ц} = 1 \text{ т} 1 \text{ ц}$. Добавим 1 т к имеющимся: $11 \text{ т} + 1 \text{ т} = 12 \text{ т}$.
Итоговый результат: 12 т 1 ц 4 кг.
Ответ: 12 т 1 ц 4 кг.

5) Чтобы найти сумму 3 ч 48 мин + 2 ч 26 мин, сложим часы с часами и минуты с минутами.
Сложение часов: $3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$.
Сложение минут: $48 \text{ мин} + 26 \text{ мин} = 74 \text{ мин}$.
Получается 5 ч 74 мин. Поскольку в одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$), мы можем преобразовать 74 мин в 1 ч 14 мин.
Теперь добавим этот 1 ч к 5 ч: $5 \text{ ч} + 1 \text{ ч} 14 \text{ мин} = 6 \text{ ч} 14 \text{ мин}$.
Ответ: 6 ч 14 мин.

6) Чтобы найти сумму 25 мин 17 с + 7 мин 54 с, сложим минуты с минутами и секунды с секундами.
Сложение минут: $25 \text{ мин} + 7 \text{ мин} = 32 \text{ мин}$.
Сложение секунд: $17 \text{ с} + 54 \text{ с} = 71 \text{ с}$.
Получается 32 мин 71 с. Поскольку в одной минуте 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$), мы можем преобразовать 71 с в 1 мин 11 с.
Теперь добавим эту 1 мин к 32 мин: $32 \text{ мин} + 1 \text{ мин} 11 \text{ с} = 33 \text{ мин} 11 \text{ с}$.
Ответ: 33 мин 11 с.

184. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r} 17*6 \\ + 4*5* \\ \hline *082 \end{array}$

2) $\begin{array}{r} \phantom{*}253* \\ + *79*8 \\ \hline 4**97 \end{array}$

3) $\begin{array}{r} \phantom{*}8*56 \\ + *36*7 \\ \phantom{*}219* \\ \hline 6*093 \end{array}$

4) $\begin{array}{r} ** \\ + ** \\ \hline 197 \end{array}$

1)

Рассмотрим сложение в столбик, начиная с разряда единиц (справа налево).

• Разряд единиц: $6 + * = 2$. Это означает, что сумма оканчивается на 2, то есть равна 12. Неизвестная цифра равна $12 - 6 = 6$. В разряд десятков переносится 1.
• Разряд десятков: $1$ (перенос) $+ * + 5 = 8$. Отсюда $* + 6 = 8$, значит, неизвестная цифра равна $8 - 6 = 2$. Переноса в следующий разряд нет.
• Разряд сотен: $7 + * = 0$. Это означает, что сумма оканчивается на 0, то есть равна 10. Неизвестная цифра равна $10 - 7 = 3$. В разряд тысяч переносится 1.
• Разряд тысяч: $1$ (перенос) $+ 1 + 4 = *$. Сумма равна $6$.

В результате получаем пример: $1726 + 4356 = 6082$.

Ответ:

 1726+ 4356------ 6082 

2)

Решаем задачу, двигаясь справа налево по разрядам.

• Разряд единиц: $* + 8 = 7$. Сумма должна оканчиваться на 7, значит, она равна 17. Неизвестная цифра: $17 - 8 = 9$. В разряд десятков переносится 1.
• Разряд десятков: $1$ (перенос) $+ 3 + * = 9$. Отсюда $4 + * = 9$, значит, неизвестная цифра равна $9 - 4 = 5$. Переноса в следующий разряд нет.
• Разряд сотен: $5 + 9 = *$. Сумма равна 14. Значит, неизвестная цифра в сумме — это 4. В разряд тысяч переносится 1.
• Разряд тысяч: $1$ (перенос) $+ 2 + 7 = *$. Сумма равна 10. Значит, неизвестная цифра в сумме — это 0. В разряд десятков тысяч переносится 1.
• Разряд десятков тысяч: В первом слагаемом (четырёхзначном) на этом месте стоит 0. Получаем: $1$ (перенос) $+ 0 + * = 4$. Отсюда $1 + * = 4$, значит, неизвестная цифра равна $4 - 1 = 3$.

В результате получаем пример: $2539 + 37958 = 40497$.

Ответ:

 2539+ 37958------- 40497 

3)

В данном примере складываются три числа. Решаем поразрядно справа налево.

• Разряд единиц: $6 + 7 + * = 3$. Сумма оканчивается на 3. Так как $6+7=13$, то $13 + * = 13$ или $13 + * = 23$. Поскольку звёздочка — это одна цифра, то $*=0$, а сумма равна 13. В разряд десятков переносится 1.
• Разряд десятков: $1$ (перенос) $+ 5 + * + 9 = 9$. То есть $15 + * = 9$. Сумма оканчивается на 9, значит, она равна 19. Неизвестная цифра: $19 - 15 = 4$. В разряд сотен переносится 1.
• Разряд сотен: $1$ (перенос) $+ * + 6 + 1 = 0$. То есть $8 + * = 0$. Сумма оканчивается на 0, значит, она равна 10. Неизвестная цифра: $10 - 8 = 2$. В разряд тысяч переносится 1.
• Разряд тысяч: $1$ (перенос) $+ 8 + 3 + 2 = *$. Сумма равна $14$. Значит, неизвестная цифра в сумме — это 4. В разряд десятков тысяч переносится 1.
• Разряд десятков тысяч: В первом и третьем слагаемых на этом месте стоят нули. $1$ (перенос) $+ 0 + * + 0 = 6$. Отсюда $1 + * = 6$, значит, неизвестная цифра равна $6 - 1 = 5$.

В результате получаем пример: $8256 + 53647 + 2190 = 64093$.

Ответ:

 8256+ 53647 2190------- 64093 

4)

В этом примере складываются двузначное и трёхзначное числа, в результате чего получается 197. Одно из слагаемых — это трёхзначное число вида $1**$, а другое — двузначное $**$, так как если бы трёхзначное число начиналось с 2 или более, сумма была бы больше 200, а максимальная сумма двух двузначных чисел равна $99+99=198$, но по условию одно из чисел трёхзначное.

Запишем сложение в столбик, где $A, B, C, D$ - неизвестные цифры:

 1 A B+ C D--------- 1 9 7 

• Разряд сотен: Первая цифра 1 в сумме соответствует первой цифре трёхзначного числа. Это значит, что из разряда десятков не было переноса.
• Разряд десятков: Сумма цифр в разряде десятков равна 9. Таким образом, $A + C = 9$.
• Разряд единиц: Сумма цифр в разряде единиц оканчивается на 7. Возможны два случая:
  1. $B + D = 7$ (без переноса в десятки).
  2. $B + D = 17$ (с переносом 1 в десятки). Но этот случай невозможен, так как тогда в разряде десятков было бы $1+A+C=9$, то есть $A+C=8$, а мы уже установили, что переноса не было. Значит, верен только первый случай.

Итак, нам нужно найти цифры, для которых $A+C=9$ и $B+D=7$. Существует много решений. Приведём одно из них. Например, пусть $A=2$ и $C=7$, а $B=4$ и $D=3$. Тогда получаем числа 124 и 73.

Проверка: $124 + 73 = 197$.

Ответ: (представлен один из возможных вариантов)

 73+ 124----- 197 

185. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы сложение было вы-полнено верно:

1) $ \begin{array}{r} *62* \\ + 84*7 \\ \hline 2*62 \end{array} $

2) $ \begin{array}{r} 294* \\ + *76*1 \\ \hline 6***24 \end{array} $

1)

Запишем пример, обозначив неизвестные цифры буквами для удобства:

A62B
+ 84C7
------
D2E62

Сумма двух четырёхзначных чисел является пятизначным числом. Это означает, что первая цифра суммы $D$ может быть только 1, так как максимальная сумма двух четырёхзначных чисел ($9999 + 9999 = 19998$) начинается с 1.

Теперь будем находить остальные цифры, двигаясь справа налево:

• В разряде единиц: $B + 7$ даёт число, оканчивающееся на 2. Единственная подходящая цифра — это 5, так как $5 + 7 = 12$. Записываем 2 в единицы суммы и переносим 1 в разряд десятков.
• В разряде десятков: $1$ (перенос) $+ 2 + C = 6$. Отсюда $3 + C = 6$, что даёт $C = 3$. Переноса в следующий разряд нет.
• В разряде сотен: $6 + 4 = 10$. Значит, цифра в разряде сотен суммы $E$ равна 0, и 1 переносится в разряд тысяч.
• В разряде тысяч: $1$ (перенос) $+ A + 8 = 12$ (известные цифры суммы $12...$). Отсюда $A + 9 = 12$, что даёт $A = 3$.

Восстановленный пример выглядит следующим образом:

3625
+ 8437
------
12062

Ответ: $3625 + 8437 = 12062$.

2)

Запишем пример, выровняв числа по правому краю и обозначив неизвестные цифры буквами:

294A
+ B76C1
-------
6DE24

Будем решать задачу, двигаясь поразрядно справа налево:

• В разряде единиц: $A + 1 = 4$. Отсюда следует, что $A = 3$. Переноса в следующий разряд нет.
• В разряде десятков: $4 + C$ оканчивается на 2. Это означает, что $4 + C = 12$, откуда $C = 8$. Переносим 1 в разряд сотен.
• В разряде сотен: $1$ (перенос) $+ 9 + 6 = 16$. Следовательно, цифра $E$ в разряде сотен суммы равна 6. Переносим 1 в разряд тысяч.
• В разряде тысяч: $1$ (перенос) $+ 2 + 7 = 10$. Следовательно, цифра $D$ в разряде тысяч суммы равна 0. Переносим 1 в разряд десятков тысяч.
• В разряде десятков тысяч: $1$ (перенос) $+ B = 6$. Отсюда $B = 5$.

Подставив найденные цифры, получаем верное равенство:

2943
+ 57681
-------
60624

Ответ: $2943 + 57681 = 60624$.

186. Не выполняя вычислений, расположите данные суммы в порядке возрастания:

$782 + 659$;

$782 + 943$;

$288 + 659$;

$943 + 1105$;

$129 + 288$;

$1105 + 2563$.

Чтобы расположить данные суммы в порядке возрастания, не выполняя вычислений, необходимо сравнивать их слагаемые. Если две суммы имеют одно одинаковое слагаемое, то та сумма будет больше, у которой второе слагаемое больше.

Применим этот принцип для последовательного сравнения всех сумм:

Сначала найдем наименьшую сумму. Сравним $129 + 288$ и $288 + 659$. У них есть общее слагаемое $288$. Поскольку $129 < 659$, то $129 + 288 < 288 + 659$. Сумма $129 + 288$ состоит из двух наименьших чисел из всего набора, поэтому она является наименьшей.

Далее, сравним $288 + 659$ с $782 + 659$. У них есть общее слагаемое $659$. Так как $288 < 782$, то $288 + 659 < 782 + 659$.

Теперь сравним $782 + 659$ с $782 + 943$. У них есть общее слагаемое $782$. Так как $659 < 943$, то $782 + 659 < 782 + 943$.

Продолжая, сравним $782 + 943$ с $943 + 1105$. У них есть общее слагаемое $943$. Так как $782 < 1105$, то $782 + 943 < 943 + 1105$.

Наконец, сравним $943 + 1105$ с $1105 + 2563$. У них есть общее слагаемое $1105$. Так как $943 < 2563$, то $943 + 1105 < 1105 + 2563$.

Таким образом, выстроив все полученные неравенства в одну цепочку, мы получаем итоговый порядок сумм по возрастанию.

Ответ: $129 + 288;\ 288 + 659;\ 782 + 659;\ 782 + 943;\ 943 + 1105;\ 1105 + 2563$.

187. Найдите сумму наиболее удобным способом:

1) $1 + 2 + 3 + \dots + 9 + 10;$

2) $1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100.$

1) 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 10

Для нахождения суммы наиболее удобным способом, сгруппируем слагаемые парами. Будем складывать первое и последнее число, второе и предпоследнее, и так далее.

1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11

Всего у нас 10 чисел, значит, мы можем составить $10 / 2 = 5$ пар. Сумма каждой пары равна 11. Чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:

$5 \times 11 = 55$

Этот же результат можно получить, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n$ — количество членов, $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член.

В данном случае $n = 10$, $a_1 = 1$, $a_{10} = 10$.

$S_{10} = \frac{10 \times (1 + 10)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$

Ответ: 55

2) 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Используем тот же метод, что и в первом пункте. Сгруппируем слагаемые парами, складывая первое число с последним, второе с предпоследним и так далее.

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
...
50 + 51 = 101

Всего у нас 100 чисел, что позволяет составить $100 / 2 = 50$ пар. Сумма чисел в каждой паре равна 101. Найдем общую сумму, умножив сумму одной пары на количество пар:

$50 \times 101 = 5050$

Проверим результат с помощью формулы суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Здесь $n = 100$, $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$.

$S_{100} = \frac{100 \times (1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$

Ответ: 5050