Страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

221. Найдите разность:

1) $3 \text{ дм } 2 \text{ см} – 2 \text{ дм } 6 \text{ см};$

2) $54 \text{ м } 18 \text{ см} – 27 \text{ м } 35 \text{ см};$

3) $3 \text{ кг } 26 \text{ г} – 1 \text{ кг } 920 \text{ г};$

4) $4 \text{ км } 8 \text{ м} – 1 \text{ км } 19 \text{ м};$

5) $8 \text{ т } 6 \text{ ц } 25 \text{ кг} – 4 \text{ т } 8 \text{ ц } 74 \text{ кг};$

6) $16 \text{ ч } 26 \text{ мин} – 9 \text{ ч } 52 \text{ мин};$

7) $10 \text{ мин } 4 \text{ с} – 5 \text{ мин } 40 \text{ с};$

8) $2 \text{ ч } 36 \text{ мин } 16 \text{ с} – 5 \text{ мин } 35 \text{ с}.$

1) 3 дм 2 см – 2 дм 6 см
Чтобы выполнить вычитание, приведем величины к одной единице измерения, сантиметрам, зная, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
3 дм 2 см = $3 \times 10 \text{ см} + 2 \text{ см} = 32 \text{ см}$.
2 дм 6 см = $2 \times 10 \text{ см} + 6 \text{ см} = 26 \text{ см}$.
Теперь найдем разность: $32 \text{ см} - 26 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Другой способ (вычитание в столбик):
Так как из 2 см нельзя вычесть 6 см, мы "занимаем" 1 дм у 3 дм. $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Получаем: 2 дм $(10+2)$ см - 2 дм 6 см = 2 дм 12 см - 2 дм 6 см.
Вычитаем сантиметры: $12 - 6 = 6$ см.
Вычитаем дециметры: $2 - 2 = 0$ дм.
Результат: 6 см.
Ответ: 6 см.

2) 54 м 18 см – 27 м 35 см
Для вычитания "займем" 1 м у 54 м. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Получаем: 53 м $(100+18)$ см - 27 м 35 см = 53 м 118 см - 27 м 35 см.
Вычитаем сантиметры: $118 \text{ см} - 35 \text{ см} = 83 \text{ см}$.
Вычитаем метры: $53 \text{ м} - 27 \text{ м} = 26 \text{ м}$.
Результат: 26 м 83 см.
Ответ: 26 м 83 см.

3) 3 кг 26 г – 1 кг 920 г
"Займем" 1 кг у 3 кг. Мы знаем, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Получаем: 2 кг $(1000+26)$ г - 1 кг 920 г = 2 кг 1026 г - 1 кг 920 г.
Вычитаем граммы: $1026 \text{ г} - 920 \text{ г} = 106 \text{ г}$.
Вычитаем килограммы: $2 \text{ кг} - 1 \text{ кг} = 1 \text{ кг}$.
Результат: 1 кг 106 г.
Ответ: 1 кг 106 г.

4) 4 км 8 м – 1 км 19 м
"Займем" 1 км у 4 км. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Получаем: 3 км $(1000+8)$ м - 1 км 19 м = 3 км 1008 м - 1 км 19 м.
Вычитаем метры: $1008 \text{ м} - 19 \text{ м} = 989 \text{ м}$.
Вычитаем километры: $3 \text{ км} - 1 \text{ км} = 2 \text{ км}$.
Результат: 2 км 989 м.
Ответ: 2 км 989 м.

5) 8 т 6 ц 25 кг – 4 т 8 ц 74 кг
Начнем с килограммов. "Займем" 1 ц у 6 ц. Мы знаем, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Получаем: 8 т 5 ц $(100+25)$ кг - 4 т 8 ц 74 кг = 8 т 5 ц 125 кг - 4 т 8 ц 74 кг.
Вычитаем килограммы: $125 \text{ кг} - 74 \text{ кг} = 51 \text{ кг}$.
Теперь вычитаем центнеры: 5 ц - 8 ц. "Займем" 1 т у 8 т. Мы знаем, что $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
Получаем: 7 т $(10+5)$ ц - 4 т 8 ц = 7 т 15 ц - 4 т 8 ц.
Вычитаем центнеры: $15 \text{ ц} - 8 \text{ ц} = 7 \text{ ц}$.
Вычитаем тонны: $7 \text{ т} - 4 \text{ т} = 3 \text{ т}$.
Результат: 3 т 7 ц 51 кг.
Ответ: 3 т 7 ц 51 кг.

6) 16 ч 26 мин – 9 ч 52 мин
"Займем" 1 час у 16 часов. Мы знаем, что $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.
Получаем: 15 ч $(60+26)$ мин - 9 ч 52 мин = 15 ч 86 мин - 9 ч 52 мин.
Вычитаем минуты: $86 \text{ мин} - 52 \text{ мин} = 34 \text{ мин}$.
Вычитаем часы: $15 \text{ ч} - 9 \text{ ч} = 6 \text{ ч}$.
Результат: 6 ч 34 мин.
Ответ: 6 ч 34 мин.

7) 10 мин 4 с – 5 мин 40 с
"Займем" 1 минуту у 10 минут. Мы знаем, что $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
Получаем: 9 мин $(60+4)$ с - 5 мин 40 с = 9 мин 64 с - 5 мин 40 с.
Вычитаем секунды: $64 \text{ с} - 40 \text{ с} = 24 \text{ с}$.
Вычитаем минуты: $9 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.
Результат: 4 мин 24 с.
Ответ: 4 мин 24 с.

8) 2 ч 36 мин 16 с – 5 мин 35 с
Начнем с секунд. "Займем" 1 минуту у 36 минут. Мы знаем, что $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.
Получаем: 2 ч 35 мин $(60+16)$ с - 5 мин 35 с = 2 ч 35 мин 76 с - 5 мин 35 с.
Вычитаем секунды: $76 \text{ с} - 35 \text{ с} = 41 \text{ с}$.
Вычитаем минуты: $35 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$.
Часы остаются без изменений: 2 ч.
Результат: 2 ч 30 мин 41 с.
Ответ: 2 ч 30 мин 41 с.

222. Как изменится разность, если:

1) уменьшаемое увеличить на 8;

2) уменьшаемое уменьшить на 4;

3) вычитаемое увеличить на 7;

4) вычитаемое уменьшить на 5;

5) уменьшаемое увеличить на 10, а вычитаемое — на 6;

6) уменьшаемое увеличить на 9, а вычитаемое — на 12;

7) уменьшаемое уменьшить на 14, а вычитаемое — на 9;

8) уменьшаемое уменьшить на 7, а вычитаемое — на 11;

9) уменьшаемое увеличить на 16, а вычитаемое уменьшить на 8;

10) уменьшаемое увеличить на 3, а вычитаемое уменьшить на 6;

11) уменьшаемое уменьшить на 20, а вычитаемое увеличить на 15;

12) уменьшаемое уменьшить на 10, а вычитаемое увеличить на 30?

Чтобы определить, как изменится разность, введем обозначения: пусть $a$ — первоначальное уменьшаемое, $b$ — первоначальное вычитаемое, а $d$ — их разность. Тогда справедливо равенство: $d = a - b$.

1) Если уменьшаемое увеличить на 8, то новое уменьшаемое станет $a + 8$. Новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a + 8) - b = (a - b) + 8 = d + 8$. Это означает, что разность увеличится на 8. Ответ: увеличится на 8.

2) Если уменьшаемое уменьшить на 4, то новое уменьшаемое станет $a - 4$. Новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a - 4) - b = (a - b) - 4 = d - 4$. Это означает, что разность уменьшится на 4. Ответ: уменьшится на 4.

3) Если вычитаемое увеличить на 7, то новое вычитаемое станет $b + 7$. Новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = a - (b + 7) = a - b - 7 = d - 7$. Это означает, что разность уменьшится на 7. Ответ: уменьшится на 7.

4) Если вычитаемое уменьшить на 5, то новое вычитаемое станет $b - 5$. Новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = a - (b - 5) = a - b + 5 = d + 5$. Это означает, что разность увеличится на 5. Ответ: увеличится на 5.

5) Если уменьшаемое увеличить на 10 ($a + 10$), а вычитаемое — на 6 ($b + 6$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a + 10) - (b + 6) = a + 10 - b - 6 = (a - b) + (10 - 6) = d + 4$. Это означает, что разность увеличится на 4. Ответ: увеличится на 4.

6) Если уменьшаемое увеличить на 9 ($a + 9$), а вычитаемое — на 12 ($b + 12$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a + 9) - (b + 12) = a + 9 - b - 12 = (a - b) + (9 - 12) = d - 3$. Это означает, что разность уменьшится на 3. Ответ: уменьшится на 3.

7) Если уменьшаемое уменьшить на 14 ($a - 14$), а вычитаемое — на 9 ($b - 9$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a - 14) - (b - 9) = a - 14 - b + 9 = (a - b) + (-14 + 9) = d - 5$. Это означает, что разность уменьшится на 5. Ответ: уменьшится на 5.

8) Если уменьшаемое уменьшить на 7 ($a - 7$), а вычитаемое — на 11 ($b - 11$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a - 7) - (b - 11) = a - 7 - b + 11 = (a - b) + (-7 + 11) = d + 4$. Это означает, что разность увеличится на 4. Ответ: увеличится на 4.

9) Если уменьшаемое увеличить на 16 ($a + 16$), а вычитаемое уменьшить на 8 ($b - 8$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a + 16) - (b - 8) = a + 16 - b + 8 = (a - b) + (16 + 8) = d + 24$. Это означает, что разность увеличится на 24. Ответ: увеличится на 24.

10) Если уменьшаемое увеличить на 3 ($a + 3$), а вычитаемое уменьшить на 6 ($b - 6$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a + 3) - (b - 6) = a + 3 - b + 6 = (a - b) + (3 + 6) = d + 9$. Это означает, что разность увеличится на 9. Ответ: увеличится на 9.

11) Если уменьшаемое уменьшить на 20 ($a - 20$), а вычитаемое увеличить на 15 ($b + 15$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a - 20) - (b + 15) = a - 20 - b - 15 = (a - b) - (20 + 15) = d - 35$. Это означает, что разность уменьшится на 35. Ответ: уменьшится на 35.

12) Если уменьшаемое уменьшить на 10 ($a - 10$), а вычитаемое увеличить на 30 ($b + 30$), то новая разность $d_{new}$ будет равна: $d_{new} = (a - 10) - (b + 30) = a - 10 - b - 30 = (a - b) - (10 + 30) = d - 40$. Это означает, что разность уменьшится на 40. Ответ: уменьшится на 40.

223. 1) Уменьшаемое увеличили на 2. Как надо изменить вычитаемое, чтобы разность:

а) уменьшилась на 12;

б) увеличилась на 6;

в) уменьшилась на 2;

г) увеличилась на 2;

д) не изменилась;

е) увеличилась на 1?

2) Вычитаемое уменьшили на 8. Как надо изменить уменьшаемое, чтобы разность:

а) увеличилась на 3;

б) уменьшилась на 5;

в) увеличилась на 4;

г) уменьшилась на 10;

д) увеличилась на 8;

е) не изменилась?

1) Уменьшаемое увеличили на 2. Как надо изменить вычитаемое, чтобы разность:

Обозначим исходное выражение как $a - b = c$, где $a$ - уменьшаемое, $b$ - вычитаемое, а $c$ - разность. По условию, уменьшаемое увеличили на 2, новое уменьшаемое стало $a+2$. Пусть вычитаемое нужно изменить на $x$. Тогда новое вычитаемое будет $b+x$. Если $x$ — положительное число, вычитаемое нужно увеличить, если отрицательное — уменьшить. Новое выражение будет выглядеть так: $(a+2) - (b+x) = c_{новая}$. Раскроем скобки: $a - b + 2 - x = c_{новая}$. Поскольку $a - b = c$, получаем уравнение: $c + 2 - x = c_{новая}$. Из этого уравнения можно выразить $x$: $x = c - c_{новая} + 2$.

а) уменьшилась на 12

Новая разность $c_{новая} = c - 12$. Подставим это в наше уравнение для $x$: $x = c - (c - 12) + 2 = c - c + 12 + 2 = 14$. Так как $x=14$ (положительное число), вычитаемое нужно увеличить на 14. Ответ: увеличить на 14.

б) увеличилась на 6

Новая разность $c_{новая} = c + 6$. $x = c - (c + 6) + 2 = c - c - 6 + 2 = -4$. Так как $x=-4$ (отрицательное число), вычитаемое нужно уменьшить на 4. Ответ: уменьшить на 4.

в) уменьшилась на 2

Новая разность $c_{новая} = c - 2$. $x = c - (c - 2) + 2 = c - c + 2 + 2 = 4$. Так как $x=4$, вычитаемое нужно увеличить на 4. Ответ: увеличить на 4.

г) увеличилась на 2

Новая разность $c_{новая} = c + 2$. $x = c - (c + 2) + 2 = c - c - 2 + 2 = 0$. Так как $x=0$, вычитаемое изменять не нужно. Ответ: не изменять.

д) не изменилась

Новая разность $c_{новая} = c$. $x = c - c + 2 = 2$. Так как $x=2$, вычитаемое нужно увеличить на 2. Ответ: увеличить на 2.

е) увеличилась на 1

Новая разность $c_{новая} = c + 1$. $x = c - (c + 1) + 2 = c - c - 1 + 2 = 1$. Так как $x=1$, вычитаемое нужно увеличить на 1. Ответ: увеличить на 1.

2) Вычитаемое уменьшили на 8. Как надо изменить уменьшаемое, чтобы разность:

Обозначим исходное выражение как $a - b = c$. По условию, вычитаемое уменьшили на 8, новое вычитаемое стало $b-8$. Пусть уменьшаемое нужно изменить на $y$. Тогда новое уменьшаемое будет $a+y$. Если $y$ — положительное число, уменьшаемое нужно увеличить, если отрицательное — уменьшить. Новое выражение: $(a+y) - (b-8) = c_{новая}$. Раскроем скобки: $a - b + y + 8 = c_{новая}$. Поскольку $a - b = c$, получаем уравнение: $c + y + 8 = c_{новая}$. Из этого уравнения можно выразить $y$: $y = c_{новая} - c - 8$.

а) увеличилась на 3

Новая разность $c_{новая} = c + 3$. Подставим это в наше уравнение для $y$: $y = (c + 3) - c - 8 = 3 - 8 = -5$. Так как $y=-5$, уменьшаемое нужно уменьшить на 5. Ответ: уменьшить на 5.

б) уменьшилась на 5

Новая разность $c_{новая} = c - 5$. $y = (c - 5) - c - 8 = -5 - 8 = -13$. Так как $y=-13$, уменьшаемое нужно уменьшить на 13. Ответ: уменьшить на 13.

в) увеличилась на 4

Новая разность $c_{новая} = c + 4$. $y = (c + 4) - c - 8 = 4 - 8 = -4$. Так как $y=-4$, уменьшаемое нужно уменьшить на 4. Ответ: уменьшить на 4.

г) уменьшилась на 10

Новая разность $c_{новая} = c - 10$. $y = (c - 10) - c - 8 = -10 - 8 = -18$. Так как $y=-18$, уменьшаемое нужно уменьшить на 18. Ответ: уменьшить на 18.

д) увеличилась на 8

Новая разность $c_{новая} = c + 8$. $y = (c + 8) - c - 8 = 0$. Так как $y=0$, уменьшаемое изменять не нужно. Ответ: не изменять.

е) не изменилась

Новая разность $c_{новая} = c$. $y = c - c - 8 = -8$. Так как $y=-8$, уменьшаемое нужно уменьшить на 8. Ответ: уменьшить на 8.

224. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы вычитание было вы-полнено верно:

1) $\begin{array}{r} \_ \ast\ast\ast\ast \\ \llap{-} \quad\quad\quad \ast\ast \\ \hline \quad\quad\quad\quad 1 \end{array}$

2) $\begin{array}{r} \_ \ast 6 5 \ast\ast \\ \llap{-} \quad\quad \ast 1 7 2 \\ \hline \quad 7 7 \ast 6 9 \end{array}$

3) $\begin{array}{r} 7 2 \ast\ast \\ \llap{-} \ast 3 5 9 \\ \hline 2 \ast 1 9 \end{array}$

4) $\begin{array}{r} \ast 9 4 \ast 7 6 \\ \llap{-} 1 \ast 7 8 \ast 9 \\ \hline 1 3 \ast 8 0 \ast \end{array}$

5) $\begin{array}{r} \ast 0 0 \ast 0 0 \\ \llap{-} \quad \ast 2 7 \ast\ast \\ \hline \quad 5 \ast 1 4 3 \end{array}$

6) $\begin{array}{r} 5 \ast 5 \ast 5 \ast \\ \llap{-} \quad 4 8 4 8 \ast \\ \hline \quad\quad\quad \ast 8 7 \end{array}$