Страница 65 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Опишите, что представляет собой числовое выражение.

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Такая запись должна иметь смысл, то есть все указанные в ней действия должны быть выполнимы в определенном порядке. Ключевая особенность числового выражения заключается в том, что оно не содержит переменных (букв).

Основные составляющие числового выражения:

1. Числа. Это могут быть любые числа: целые ($10$, $-5$), дробные ($\frac{3}{4}$, $2.5$), иррациональные ($\sqrt{2}$, $\pi$) и т.д.

2. Знаки арифметических действий. К ним относятся сложение ($+$), вычитание ($-$), умножение ($\cdot$ или $*$), деление ($:$ или $/$), а также возведение в степень и извлечение корня.

3. Скобки. Скобки $()$ используются для изменения стандартного порядка выполнения действий. Согласно правилам, действия в скобках выполняются в первую очередь.

Если выполнить все действия в числовом выражении, соблюдая правильный порядок (сначала действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание), то результатом будет одно-единственное число. Это число называют значением числового выражения.

Например, $5 \cdot (12 - 8)$ — это числовое выражение. Его значение равно $5 \cdot 4 = 20$.

А запись $5 \cdot (x - 8)$ не является числовым выражением, так как содержит переменную $x$. Это алгебраическое выражение.

Ответ: Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел, знаков арифметических действий и скобок. В результате вычисления числового выражения всегда получается одно число, называемое его значением. Числовые выражения не содержат переменных.

2. Опишите, что представляет собой буквенное выражение.

Буквенное выражение — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв (переменных), знаков арифметических действий и, возможно, скобок. В отличие от числового выражения, которое содержит только числа и знаки действий, буквенное выражение включает в себя одну или несколько букв, каждая из которых обозначает некоторое число, которое может изменяться.

Основное назначение буквенных выражений — это запись в обобщенном виде законов, правил, свойств и формул. Буквы в таких выражениях позволяют описать математическую зависимость, справедливую для любых чисел из определенного множества.

Компонентами буквенного выражения являются: числа (например, коэффициент 3 в выражении $3x$ или свободный член 5 в выражении $y + 5$); буквы-переменные (например, $a, b, x, y$); знаки арифметических действий (+, -, *, /); и скобки для определения порядка действий.

Примерами буквенных выражений могут служить: $a + 10$ (сумма числа $a$ и 10); $2x - 5y$ (разность удвоенного числа $x$ и числа $y$, умноженного на 5); $S = v \cdot t$ (формула для нахождения расстояния).

Чтобы найти значение буквенного выражения, необходимо подставить вместо каждой буквы её конкретное числовое значение и выполнить указанные действия. Например, если в выражении $3c + 4$ переменная $c = 5$, то значение выражения будет $3 \cdot 5 + 4 = 15 + 4 = 19$.

Ответ: Буквенное выражение — это запись, состоящая из букв, чисел, знаков математических действий и скобок, где буквы обозначают переменные, которые могут принимать различные числовые значения.

3. Какое равенство называют формулой пути?

Формулой пути называют равенство, которое устанавливает зависимость между тремя физическими величинами: расстоянием (пройденным путем), скоростью и временем. Эта формула применяется для описания равномерного прямолинейного движения, то есть движения, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния, двигаясь с постоянной скоростью.

Словесно это правило формулируется так: чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. В виде математического равенства это выглядит следующим образом:

$s = v \cdot t$

В данной формуле используются следующие обозначения:

• $s$ – это пройденный путь или расстояние;
• $v$ – это скорость движения объекта;
• $t$ – это время, в течение которого объект двигался.

Из основной формулы пути можно выразить скорость и время движения:

• Формула для нахождения скорости: $v = \frac{s}{t}$
• Формула для нахождения времени: $t = \frac{s}{v}$

Таким образом, зная любые две из этих трех величин, всегда можно найти третью.

Ответ: Равенство $s = v \cdot t$, где $s$ — это путь, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Какое число стоит в конце цепочки вычислений?

$14 \xrightarrow{+16} \square \xrightarrow{-18} \square \xrightarrow{+73} \square \xrightarrow{-39} \square$

Для того чтобы найти число в конце цепочки вычислений, необходимо последовательно выполнить все указанные арифметические операции, начиная с числа 14.

1. Сначала к числу 14 прибавляем 16:
$14 + 16 = 30$

2. Затем из полученного результата (30) вычитаем 18:
$30 - 18 = 12$

3. Далее к результату (12) прибавляем 73:
$12 + 73 = 85$

4. В последнем действии из числа 85 вычитаем 39:
$85 - 39 = 46$

Таким образом, в конце цепочки вычислений стоит число 46.

Ответ: 46.

2. Какое число надо прибавить к 18, чтобы получить 64?

Чтобы найти число, которое нужно прибавить к 18 для получения 64, необходимо из результата (суммы) вычесть известное слагаемое. Обозначим искомое число через $x$. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

$18 + x = 64$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы 64 вычесть известное слагаемое 18:

$x = 64 - 18$

Выполним вычитание:

$x = 46$

Таким образом, к числу 18 надо прибавить 46, чтобы получить 64.

Проверка: $18 + 46 = 64$.

Ответ: 46

3. Из какого числа надо вычесть 36, чтобы получить 16?

Для того чтобы найти число, из которого нужно вычесть 36, чтобы получить 16, можно составить и решить уравнение. Обозначим искомое число переменной $x$.

Условие задачи можно записать в виде следующего математического выражения:

$x - 36 = 16$

В этом уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить вычитаемое (36) и разность (16).

Выполним это действие:

$x = 16 + 36$

$x = 52$

Таким образом, искомое число равно 52.

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение:

$52 - 36 = 16$

Вычисление верно.

Ответ: 52

4. Какое число надо вычесть из числа 82, чтобы получить 24?

Для решения этой задачи необходимо найти неизвестное вычитаемое. Обозначим искомое число переменной $x$.

Согласно условию, если из числа 82 вычесть число $x$, получится 24. Это можно записать в виде математического уравнения:

$82 - x = 24$

В данном уравнении:

• 82 – это уменьшаемое;
• $x$ – это вычитаемое (которое нам нужно найти);
• 24 – это разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 82 - 24$

Выполним вычисление:

$x = 58$

Проверим, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$82 - 58 = 24$

$24 = 24$

Равенство верно, значит, искомое число – 58.

Ответ: 58

5. Две черепахи ползут со скоростью 6 м/мин и 4 м/мин. С какой скоростью они отдаляются друг от друга, если ползут в противоположных направлениях?

Чтобы найти скорость, с которой черепахи отдаляются друг от друга, необходимо сложить их скорости, так как они движутся в противоположных направлениях. Эта общая скорость называется скоростью удаления.

Обозначим скорость первой черепахи как $v_1$, а скорость второй черепахи — как $v_2$.

Из условия задачи нам известно:
Скорость первой черепахи: $v_1 = 6$ м/мин.
Скорость второй черепахи: $v_2 = 4$ м/мин.

Скорость удаления ($v_{уд}$) вычисляется по формуле:

$v_{уд} = v_1 + v_2$

Подставим значения скоростей в формулу и выполним сложение:

$v_{уд} = 6 \text{ м/мин} + 4 \text{ м/мин} = 10 \text{ м/мин}$

Следовательно, черепахи отдаляются друг от друга со скоростью 10 метров в минуту.

Ответ: 10 м/мин.

6. Сначала книга стала дешевле на 24 р., а потом подорожала на 16 р. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, по сравнению с начальной ценой цена книги и на сколько?

Чтобы определить, как и на сколько изменилась цена книги по сравнению с начальной, нужно найти общее (итоговое) изменение цены. Уменьшение цены можно рассматривать как отрицательное изменение, а увеличение — как положительное.

1. Сначала цена книги уменьшилась на 24 рубля. Это изменение можно записать как $-24$ р.

2. Затем цена книги увеличилась на 16 рублей. Это изменение можно записать как $+16$ р.

3. Чтобы найти итоговое изменение, необходимо сложить эти два значения:

$-24 + 16 = -8$ р.

Результат равен $-8$ р. Знак "минус" означает, что итоговая цена стала меньше начальной, то есть цена уменьшилась. Число 8 показывает, на сколько именно она уменьшилась.

Таким образом, по сравнению с начальной ценой, цена книги уменьшилась.

Ответ: цена книги уменьшилась на 8 рублей.

241. Прочитайте числовые выражения, используя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное»:

1) $12 + 16;$

2) $39 - 24;$

3) $18 \cdot 19;$

4) $98 : 14;$

5) $(238 + 124) - 95;$

6) $39 \cdot 16 + 48 \cdot 2;$

7) $204 : 6 - 102 : 3;$

8) $(53 + 38) \cdot (53 - 38).$

1) Сумма чисел 12 и 16.
$12 + 16 = 28$
Ответ: 28

2) Разность чисел 39 и 24.
$39 - 24 = 15$
Ответ: 15

3) Произведение чисел 18 и 19.
$18 \cdot 19 = 342$
Ответ: 342

4) Частное чисел 98 и 14.
$98 : 14 = 7$
Ответ: 7

5) Разность суммы чисел 238 и 124 и числа 95.
Сначала находим сумму в скобках: $238 + 124 = 362$.
Затем вычитаем: $362 - 95 = 267$.
$(238 + 124) - 95 = 362 - 95 = 267$.
Ответ: 267

6) Сумма произведения чисел 39 и 16 и произведения чисел 48 и 2.
Сначала выполняем умножение:
$39 \cdot 16 = 624$
$48 \cdot 2 = 96$
Затем находим сумму результатов: $624 + 96 = 720$.
Ответ: 720

7) Разность частного чисел 204 и 6 и частного чисел 102 и 3.
Сначала выполняем деление:
$204 : 6 = 34$
$102 : 3 = 34$
Затем находим разность результатов: $34 - 34 = 0$.
Ответ: 0

8) Произведение суммы чисел 53 и 38 на их разность.
Сначала вычисляем значения в скобках:
Сумма: $53 + 38 = 91$.
Разность: $53 - 38 = 15$.
Затем находим их произведение: $91 \cdot 15 = 1365$.
$(53 + 38) \cdot (53 - 38) = 91 \cdot 15 = 1365$.
Ответ: 1365

242. Найдите значение выражения:

1) $56 + 42 / 14 - 7$;

2) $(56 + 42) / (14 - 7)$;

3) $(56 + 42) / 14 - 7$;

4) $56 + 42 / (14 - 7)$.

Для решения данных выражений необходимо соблюдать правильный порядок выполнения арифметических действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

1) $56 + 42 : 14 - 7$

В этом выражении нет скобок. Первым действием выполняется деление, затем сложение и вычитание по порядку.

1. Деление: $42 : 14 = 3$.

2. Сложение: $56 + 3 = 59$.

3. Вычитание: $59 - 7 = 52$.

Таким образом, $56 + 42 : 14 - 7 = 56 + 3 - 7 = 59 - 7 = 52$.

Ответ: 52

2) $(56 + 42) : (14 - 7)$

Сначала выполняем действия в каждой из скобок, а затем деление полученных результатов.

1. Сложение в первой скобке: $56 + 42 = 98$.

2. Вычитание во второй скобке: $14 - 7 = 7$.

3. Деление результатов: $98 : 7 = 14$.

Таким образом, $(56 + 42) : (14 - 7) = 98 : 7 = 14$.

Ответ: 14

3) $(56 + 42) : 14 - 7$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в конце вычитание.

1. Сложение в скобке: $56 + 42 = 98$.

2. Деление: $98 : 14 = 7$.

3. Вычитание: $7 - 7 = 0$.

Таким образом, $(56 + 42) : 14 - 7 = 98 : 14 - 7 = 7 - 7 = 0$.

Ответ: 0

4) $56 + 42 : (14 - 7)$

Сначала выполняем действие в скобках, затем деление, и в конце сложение.

1. Вычитание в скобке: $14 - 7 = 7$.

2. Деление: $42 : 7 = 6$.

3. Сложение: $56 + 6 = 62$.

Таким образом, $56 + 42 : (14 - 7) = 56 + 42 : 7 = 56 + 6 = 62$.

Ответ: 62